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高中数学几类不同增长的函数模型练习与解析 新课标 人教版 必修1(A)


几类不同增长的函数模型 练习与解析
一、选择题 1.老师今年用 7200 元买一台笔记本.电子技术的飞速发展,计算机成本不断降低,每隔一年计算机 的价格降低三分之一.三年后老师这台笔记本还值( A.7200×( C.7200×(
1 3 1 3


2 3 2 3 2 3

)元 )元
2

>
3

B.7200×( D.7200×(

)元 )元 ,再过一年
2

3

解析:此题关键是读懂每隔一年价格降低三分之一的含义.设原价为 1,一年后降价为 降价为
2

×

2

,??,三年后降价为

2 3

×

2 3

×

2 3

=(

2 3

) ,故选 B.

3

3 3 答案:B

2.某工厂 1996 年生产电子元件 2 万件,计划从 1997 年起每年比上一年增产 10 尹%,则 2000 年可 生产电子元件(精确到 0.01 万件) ( A.2.42 万件 C.2.93 万件
4

) B.2.66 万件 D.3.22 万件

解析:2000 年可生产 2(1+10%) ≈2.93 万件, ∴选 C. 答案:C 3.向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 y 与水深入的函数关系的图象如右图所示,那么水 瓶的形状是??( )

解析:本题要求根据上边函数关系的大约图象(粗略的) ,对图中四个形状容器可能相符的容器作出 判断,这里没有数值的运算,甚至没有严格的形式推理,生活常识、图形的变化趋势(性质)是判断的依 据.从上图图象可见,若水深 h 从 0 变化到
H 2 H 2 H 2

时变化状况与

到 H 变化状况相比,注水量在减少,符合
V 2

这一性质的只有选项 B.此题也可取特殊值,取 h= 答案:B 二、填空题

可知 V1>



4.某工厂八年来某种产品总产量 C 与时间 t(年)的函数关系如图所示,下列四种说法: (1)前三年中产量增长的速度越来 (2)前三年中产量增长的速度越来 (3)三年后,这种产品停止生产了; (4)第三年后,年产量保持不变. 其中说法正确的是____. 解析:从图形得知前三年的总产量增长趋势是先快后慢,所以(2)是正确的;三年后总产量不变,
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越快; 越慢;

说明没有新的产量增加,所以(3)或(4)都是正确的. 答案: (3) (2) (4) 5.1999 年 11 月 1 日起,全国储蓄存款征收利息税,利息税的税率为 20%,即储蓄利息的 20 尹 d 由 各银行储蓄点代扣代缴,某人在 1999 年 11 月 l 日存入人民币 1 万元,存期 2 年,年利率为 2.25%,则到 期可净得本金和利息总计____元. 解析:本金到期后本息和为 104(1+2.25%) 元,扣除的利息税为[104(1+2.25%) -104]× 20%,到期净得本金和利息总计为 104(1+2.25%) -[104(1+2.25) -104]×20%=10364.05. 答案:10364.05 6.三个变量 y1、y2、y3 随变量 x 的变化情况如下表:
2 2 2 2

x

1.00

3.00 135 29

5.00 625 245

7.00 1715 2189

9.00 3645 19685

11.00 6633 177149 7.40

y1 5 y2 5

y3 5.00 6.10 6.61 6.95 7.20
____. 答案:y3 ____. 解析:根据图象的增长趋势,估计属于对数模型,再根 的已知点(10,3) ,写出 y=lgx+2. 答案:y=lgx+2 三、解答题 已知 0<x<20,利用图象说明 x 与 log2x 的大小关系.

其中 x 呈对数型函数变化的变量是____,呈指数函数型变化的变量是____,呈幂函数型变化的变量是

y2 y1 7.已知函数 f(x)的图象如右图,试写出一个可能的







据图象所过

答案:作出函数图象,如下图.大约在(0,4)内 x >log2x;在(4,16)内 x <log2x; (16,20) 内 x >log2x,可以看出,对数函数增长相对缓慢.

9.在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象,比较 况: (1)f(x)=2x-4,x∈[1,4] ; (2)g(x)=21nx-1,x∈[1,4] ; (3)h(x)= e -10,x∈[1,4] . 答案:如图,在[1,2,5]内,h(x)<f(x)<g(x) ; 内,g(x)<f(x)<h(x) . 点评:从此题我们体会到,指数、对数及幂函数型函数虽 数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上,随 总会存在一个 x0,当 x>x0 时,g(x)<f(x)<h(x) .
x

它们的增长情

在[2.5,4] 然都是增函 着工的增大,

10.汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车制动后,还要继续向前滑行一段距离才能停住,我们称这段 距离为“刹车距离” .刹车距离是分析交通事故的一个重要因素.在一个限速为 100km/h 的高速公路上, 甲车的刹车距离 y(m)与刹车的速度 x(km/h)的关系可用模型 y=ax 来描述,在限速为 100km/h 的高速
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2

公路上,甲车在速度为 50km/h 时,刹车距离为 10m,则甲型号的车刹车距离为多少米,交通部门可以判定 此车超速? 解:此题函数模型已经给出,但是 d 的值需要先求出,利用给定的当速度为 50km/h 时,刹车距离为 10m 这一条件代入 y=ax ,即 10=50 a,就可以求出参数 a= ;交通部门判定此车超速的依据是此车 2 50 2 车速超过 100km/h 的限速,而且函数 y=ax 在 x>0 时是单调递增的,所以可以把 x=100 代入确定的解析 式,求出刹车距离 y= ×100 =40 米. 2 50 答案:刹车距离超过 40 米,可以判定此车超速. 11.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层.臭氧含量 Q 呈指数函数型变化,满足关 系式 Q=Q0 e ? 0 .0025 t ,其中 Q0 是臭氧的初始量. (1)随时间的增加,臭氧的含量是增加还是减少? (2)多少年以后将会有一半的臭氧消失? 解: (1)因为此函数是减函数,所以臭氧的含量减少;
2 278 年以后将会有一半的臭氧消失, Q0
2 2

10

10

2

(2)令 Q0 e ? 0 .0025 t =

,即 e ? 0 .0025 t =

1 2

,一 0.0025t=1n

1 2

,利用计算器解得 t≈277.26,所以

答案: (1)减少; (2)278 年.

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