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对数与对数运算(讲解与基础训练)


对数与对数运算 一、知识点总结 1、定 义 : 一 般 地 , 如 果 a x ? N (a ? 0, 且a ? 1) , 那 么 数 x 叫 做 以
N叫做真数。 a为底N的 对 数 , 记 x 作 ?log a N , 其中a叫做对数的底数,

注意: (1) a ? 0, 且a ? 1;N ? (负数与零没有对数) 0 (2) loga a ?

1; loga 1 ? 0, loga ab ? b (3)对数恒等式: alog N ? N
a

2、对数的运算性质 如果 a ? 0, 且a ? 1, M ? 0, N ? 0, 那么:
(1) loga (M ? N ) ? loga M ? loga N ;
(2) log a M ? log a M ? log a N N

(3) loga M P ? P loga M (n ? R) 3、自然对数与常用对数 ,写作: ln x (1) 自然对数:以无理数 e为底的对数( e ? 2.71828 )
10为底的对数,写作: lg x (2)常用对数:以
4、换底公式: loga b ?

logc b (a ? 0, 且a ? 1; c ? 0, 且c ? 1; b ? 0) logc a

二、例题解析 例 1、将下列指数式转化为对数式,对数式转化为指数式:
1 1 (1)43 ? 64; (2)3?2 ? ; (3)5m ? 10; (4)6?2 ? 9 36

(5) log2 16 ? 4; (6) log3 81 ? 4; (7) log4 M ? 18; (8) log5 N ? 3

1

例 2、求下列各式中 x 的值。
1 2 (1) x ? log 4 64; (2) x ? log 27 ; (3) log 8 x ? ? ; (4) log x ( 2 ? 1) ? ?1 9 3 1 (5) log 3 (lg x) ? 1; (6) lg(ln x) ? 0; (7)2log3 x ? 4

例 3、 (1) (2007,海口中学期中测试)求 log(1?2 x) (3x ? 2)中的x的取值范围。 (2)已知log( x?3) ( x ? 3x) ? 1, 求实数 x的值。
2

(3)已知loga 2 ? m, loga 3 ? n, 求a2m?n的值。

对数与对数运算练习题
一.选择题 1 - 1.2 3= 化为对数式为( 8 A.log12=-3
8

) B.log1(-3)=2
8

1 C.log2 =-3 8 2.log63+log62 等于( ) A.6 B.5

1 D.log2(-3)= 8

C.1
2

D.log65

3.如果 lgx=lga+2lgb-3lgc,则 x 等于( A.a+2b-3c ab2 C. 3 c

)

B.a+b2-c3 2ab D. 3c )

4.已知 a=log32,那么 log38-2log36 用 a 表示为( A.a-2 C.3a-(1+a)2 5. A.2+ 5 C.2+ 5 2 ) B. 2 1 D. 2 ) 的值等于( ) B.2 5 D.1+

B.5a-2 D.3a-a2-1

5 2

6.Log2 2的值为( A.- 2 1 C.- 2

7.在 b=log(a-2)(5-a)中,实数 a 的取值范围是( A.a>5 或 a<2 C.2<a<5 1 8.方程 2log3x= 的解是( 4 1 A.x= 9 C.x= 3 ) B.x= x 3

B.2<a<3 或 3<a<5 D.3<a<4

D.x=9

9.若 log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,则 x+y+z 的值为( ) A.9 C.7 10.若 102x=25,则 x 等于( 1 A.lg 5 B.lg5 ) 1 C. 4 3 D. 5 ) ) C.2lg5 1 D.2lg 5 B.8 D.6

11.计算 log89· log932 的结果为( A.4 5 B. 3

12.已知 logax=2,logbx=1,logcx=4(a,b,c,x>0 且≠1),则 logx(abc)=( 4 A. 7 二.填空题 1. 2log510+log50.25=____.
3

2 B. 7

7 C. 2

7 D. 4

2.方程 log3(2x-1)=1 的解为 x=_______. 3.若 lg(lnx)=0,则 x=_ ______. 4.方程 9x-6· 3x-7=0 的解是_______ 5.若 log34· log48· log8m=log416,则 m=________. 6.已知 loga2=m,loga3=n,则 loga18=_______.(用 m,n 表示) 7.log6[log4(log381)]=_______. 8.使对数式 log(x-1)(3-x)有意义的 x 的取值范围是_______ 三.计算题 1.计算: (1)2log210+log20.04 lg3+2lg2-1 (2) lg1.2

(3)log6

1 1 -2log63+ log627 12 3

(4)log2( 3+2)+log2(2- 3);

2.已知 log34· log48· log8m=log416,求 m 的值.

对数与对数运算练习题答案

一.选择题 1. C 2. C 3. C 4. A 5. B B11.B 12.D 6. D 7. B 8 A 9. A 10.

二.填空题 1. 5. 2 9 2. 6. 2 m+2n 3. e 7. 4. x=log37 0 8. 1<x<3 且 x≠2

4

三.计算题

1.解: (1)2log210+log20.04=log2(100×0.04)=log24=2 lg3+2lg2-1 lg(3×4÷ 10) lg1.2 (2) = = =1 lg1.2 lg1.2 lg1.2 (3)log6 1 1 1 -2log63+ log627=log6 -log69+log63 12 3 12

1 1 1 =log6( × ×3)=log6 =-2. 12 9 36 (4)log2( 3+2)+log2(2- 3) =log2(2+ 3)(2- 3)=log21=0. 2. [解析] log416=2,log34· log48· log8m=log3m=2, ∴m=9.

2.2.1 对数与对数的运算
练习一 一、选择题 1、

5

log5 ( ? a ) 2

(a≠0)化简得结果是( B、a
2

) C、|a| D、 a

A、-a

2、 log7[log3(log2x) ]=0,则 x A、

?

1 2

等于(

) D、

1 3

B、

1 2 3

C、

1 2 2

1 3 3

3、 log A、1

n?1? n

( n+ 1- n )等于( B、-1 C、2

) D、-2

4、 已知 3 ? 2 ,那么 log3 8 ? 2log3 6 用表示是(
a


2

A、 a ? 2

B、 5 a ? 2

C、 3a ? (1 ? a)

D、 3a ? a

2

5

5、 2loga (M ? 2N ) ? loga M ? loga N ,则 A、

M 的值为( N

) D、4 或 1

1 4

B、4

C、1

6、 若 logm9<logn9<0,那么 m,n 满足的条件是( A、m>n>1 B、n>m>1 C、0<n<m<1 D、0<m<n<1



7、 若 1<x<b,a=log bx,c=logax,则 a,b,c 的关系是( ) A、a<b<c B、 a<c<b C、c<b<a D、c<a<b



二、填空题 8、 若 logax=logby=- 则 xy=________

1 logc2,a,b,c 均为不等于 1 的正数,且 x>0,y>0,c= ab , 2

9 、若 lg2=a,lg3=b,则 log512=________

10、 3 =2,则 log38-2log36=__________

a

11、 若 loga 2 ? m,loga 3 ? n, a2m?n ? ___________________ 12、 lg25+lg2lg50+(lg2) =
2

三、解答题 13、 2(lg 2 ) ? lg 2 ? lg 5 ?
2

(lg 2 ) 2 ? lg 2 ? 1

14、 若 lga、lgb 是方程 2 x ? 4 x ? 1 ? 0 的两个实根,求 lg( ab ) ? (lg
2

a 2 ) 的值。 b

6

15、 若 f(x)=1+log x 3, g(x)=2log x 2, 试比较 f(x)与 g(x)的大小.

答案: 一、选择题 1、C;2、C;3、B; 4、A;5、B;6、C;7、D 二、填空题

1 2 2 a+ b 9、 1- a
8、 10、a-2 11、12 12、2 二、解答题 13、解:原式 ? lg 2 (2 lg 2 ? lg 5) ? (lg 2 ? 1)
2

? lg 2 (lg 2 ? lg 5) ?|lg 2 ? 1| ? lg 2 ? 1 ? lg 2 ?1

?lg a ? lg b ? 2 ? 14 、 解 : ? 1 , lg a ? lg b ? ? 2 ?
4lgalgb]
2

a lg( ab ) ? (lg ) 2 =(lga+lgb)(lga - lgb) 2 =2[(lga+lgb) - b

7

=2(4-4×

1 )=4 2
f(x)-g(x)=log x (

15、解:

3 x). 4

? ?x ? 0 ? 4 (1) ? x ? 1 , 即 0<x<1 或 x> 时, f(x)>g(x) 3 ? 3 ?( x ? 1)( x ? 1) ? 0 4 ? ? ?x ? 0 ? 4 (2) ? x ? 1 , 即 1<x< 时, f(x)<g(x) 3 ? 3 ?( x ? 1)( x ? 1) ? 0 4 ?
(3) x=

4 时, f(x)=g(x). 3

2.2.1 对数与对数的运算
练习二 一、选择题 1、在 b ? loga?2 (5 ? a) 中,实数 a 的范围是( A、 a ? 5 或 a ? 2 C、 2 ? a ? 3 或 3 ? a ? 5 )

B、 2 ? a ? 5 D、 3 ? a ? 4

2、 若 log 4 [log 3 (log 2 x )] ? 0 ,则 x A、

?

1 2

等于( C、 8

) D、 4

1 2 4

B、

1 2 2

3、 3

log

3

4

的值是(

) C、 3 D、 4

A、 16

B、 2

4、 已知 log5 3 ? a, log5 4 ? b ,则 log 25 12 是(



8

A、 a ? b

B、

1 (a ? b) 2

C、 ab

D、

1 ab 2

5、 已知 2 log 6 x ? 1 ? log 6 3 ,则 x 的值是( A、

) D、

3

B、

2

C、

2 或? 2

3或 2

6、 计算 lg 3 2 ? lg 3 5 ? 3 lg 2 lg 5 ? ( A、 1 B、 3 C、 2

) D、 0

7、 已知 2 ? 3, log 4
x

8 ? y ,则 x ? 2 y 的值为( 3
C、 4



A、 3

B、 8

D、 log 4 8

8、 设 a、b、c 都是正数,且 3 ? 4 ? 6 ,则(
a b c



A、

1 1 1 ? ? c a b

B、

2 2 1 ? ? c a b

C、

1 2 2 ? ? c a b

D、

2 1 2 ? ? c a b

二、填空题 9、 若 logx ( 2 ? 1) ? ?1,则 x=________,若 log
2

8 ? y ,则 y=___________。

10、 若 f ( x ) ? log 3 ( x ? 1) ,且 f (a ) ? 2 ,则 a=_____________

11、 已知 log a x ? 2 , log b x ? 1, log c x ? 4 ,则 log abc x ? _________

12、 2

log 4 ( 3 ? 2 ) 2

? 3log 9 (

3 ?2)2

? ___________

三、解答题 13、计算:(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258)

9

14、已知 log14 7 ? a, log14 5 ? b ,用 a、b 表示 log 35 28 。

15、 设 M ? {0,1},N ? {11 ? a, lg a, 2 ,a} , 是否存在实数 a, 使得 M ? N ? {1} ?
a

答案: 一、选择题 1、 C;2、A;3、A;4、B;5、B;6、A;7、A;8、B 二、填空题 9、 2 ? 1, 6 10、10 11、

4 7

12、4 三、解答题

10

13、解:原式= (log2 5 ?
3

log5 4 log5 8 log2 25 log2 5 ? )(log5 2 ? ? ) log2 4 log2 8 log5 25 log5 125

= (3 log2 5 ?

2 log5 2 3 log5 2 2 log2 5 log2 5 ? )(log5 2 ? ? ) 2 log2 2 3 log2 2 2 log5 5 3 log5 5

= (3 ? 1 ? ) log 2 5 ? 3 log 5 2 = 13 ?

1 3

log5 5 ? log5 2 =13、 log5 2
log 14 28 log 14 35

14、解: log 35 28 ?

?

log 14 7 ? log 14 4 a ? 2 log 14 2 ? log 14 7 ? log 14 5 a ?b a ? 2 log 14 14 7 ? a ? 2(1 ? log 14 7) a ?b a ?b

? ?

a ? 2(1 ? a ) 2 ? a ? a ?b a ?b
a

15、解:? M ? {0,1},N ? {11 ? a, lg a, 2 ,a} 要使 M ? N ? {1} ,只需 1 ? N 且 0 ? N 若 11 ? a ? 1 ,则 a ? 10 ,这时 lg a ? 1 ,这与集合中元素的互异性矛盾,? a ? 10 若 lg a ? 1 ,则 a ? 10 ,与 a ? 10 矛盾 若 2 ? 1 ,则 a ? 0 ,这时 lg a 无意义,? a ? 0
a

若 a ? 1 ,则 11 ? a ? 10 , lg a ? lg 1 ? 0, 2 ? 2
a

, 0, 2, 1},M ? N ? {0, 1} ,这与已知条件矛盾 此时 N ? {10
因此不存在 a 的值,使 M ? N ? {1}

11

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