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湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教案 新人教A版必修4


湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角教案 新人教 A 版必修 4
一、教学分析 前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义 ,因此利用向量运算可以讨论一 些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘 法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、 线、

面)之间 度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系 .众 所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s(如图 1),那么力 F 所做的功

图1 W=|F||s|cosθ 功 W 是一个数量,其 中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量 F,s 有关.熟悉的 数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义 a·b=|a||b|cosθ . 这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、 分配律等),而且还可以用它 来更加简洁地表述几何中的许多结果. 向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、 减法、 数乘运算一样,它也有明显的 物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量. 二、教学目标 1、知识与技能: 掌握平面向量的数量积及其几何意义; 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律; 了解 用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;掌握向量垂直的条件。 2、过程与方法: 通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;体会平面向量的 数量积与向量投影的关系。 3、情感态度与价值观: 通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积,培养学生的抽象概括能力。 三、重点难点 教学重点:平面向量数量积的定义. 教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用. 四、教学设想 (一)导入新课 思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向 线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学 、运动学等有着天然的 联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅 是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象 ,研究相关物
1

理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等 都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究. 在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,那么力 F 所做的功 W 可由下式计算: W=|F||s|cosθ 其中 θ 是 F 与 s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念. 思路 2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算 ,并且两个向量的和与 差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自 然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢?如果能,其运算结果是什么呢? (二)推进新课、新知探究、提 出问题 ①a·b 的运算结果是向量还是数量?它的名称是什么? ②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法 运算,它是否满足实数的乘法运算律? 2 2 2 2 2 ③我们知道,对任意 a,b∈R,恒有(a+b) =a +2ab+b ,(a+b)(a-b)=a -b .对任意向量 a、 b, 是否也有下面类似的结论? 2 2 2 (1)(a+b) =a +2a·b+b ; 2 2 (2)(a+b)·(a-b)=a -b . 活动:已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积), 记作 a·b,即 a·b=|a||b|cosθ (0≤θ ≤π ). 其中 θ 是 a 与 b 的夹角,|a|cosθ (|b|cosθ )叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的 投影.如图 2 为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是 0°≤θ ≤180°.

图2 在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意: (1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的 余弦的乘积; (2)零向量与任一向量的数量积为 0,即 a·0=0; (3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替; (4)当 0≤θ <

? ? 时 cosθ >0,从而 a·b>0;当 <θ ≤π 时,cosθ <0,从而 a·b<0.与学 2 2

生共同探究并证明数量积的运算律. 已知 a,b,c 和实数 λ ,则向量的数量积 满足下列运算律: ①a·b=b·a(交换律); ②(λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b)(数乘结合律); ③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 特别是:(1)当 a≠0 时,由 a·b=0 不能推出 b 一定是零向量.这是因为任一与 a 垂直的非 零向量 b,都有 a·b=0.

2

图3 (2) 已知实数 a 、 b 、c(b≠0),则 ab=bc ? a=c. 但对向量的数量积 , 该推理不正确 , 即 a·b=b·c 不能推出 a=c. 由图 3 很容易看出,虽然 a·b=b·c,但 a≠c. (3)对于实数 a、b、c 有(a·b)c=a(b·c);但对于 向量 a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成 立.这是因为(a·b)c 表示一个与 c 共线的向量,而 a(b·c)表示一个与 a 共线的向量,而 c 与 a 不一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立. 讨论结果:①是数量,叫数量积. ②数量积满足 a·b=b·a(交换律); (λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b)(数乘结合律); (a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 2 ③(1)(a+b) =(a+b)·(a+b) 2 2 =a·b+a·b+b·a+b·b=a +2a·b+b ; 2 2 (2)(a+b)·(a-b)=a·a-a·b+b·a-b·b=a -b . 提出问题 ①如何理解向量的投影与数量积?它们与向量之间有什么关系? ②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗? 活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积 的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投 影”的概念,如图 4.

图4 定义:|b|cosθ 叫做向量 b 在 a 方向上的投影.并引导学生思考: 1°投影也是一个数量,不是向量; 2°当 θ 为锐角时投影为正值;当 θ 为钝角时投影为负值;当 θ 为直角时投影为 0;当 θ =0 °时投影为|b|;当 θ =180°时投影为-|b|. 教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义: 数量积 a·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cosθ 的乘积. 让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个 实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1°e·a=a·e=|a|cosθ . 2°a⊥b ? a·b=0. 3°当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|;当 a 与 b 反向时,a·b=-|a||b|. 特别地 a·a=|a| 或|a|= a ? a .
2

4°cosθ =

a?b . | a || b |
3

5°|a·b|≤|a||b|. 上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证 ,教师给予必要的补充和提示,在推 导过程中理解并记忆这些性质. 讨论结果:①略(见活动). ②向量的数量积的几何意义为数量积 a·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cosθ 的乘积. (三)应用示例 思路 1 例 1 已 知 平 面 上 三 点 A 、 B 、 C 满 足 | AB |=2,| BC |=1, | CA |=

3 ,求

AB · BC + BC · CA + CA AB 的值.
活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找 到所需条件.因为已知 AB 、 BC 、 CA 的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两 之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A BC 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结 果. 解:由已知,| BC | +| CA | =| AB | ,所以△ABC 是直角三角形.而且∠ACB=90°,
2 2 2

从而 sin∠ABC=

1 3 ,sin∠BAC= . 2 2

∴∠ABC=60°,∠BAC=30°. ∴ AB 与 BC 的夹角为 120°, BC 与 CA 的夹角为 90°, CA 与 AB 的夹角为 150°. 故 AB · BC + BC · CA + CA · AB =2×1×cos120°+1× 3 cos90°+ 3 ×2cos150° =-4. 点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不 是简单地看成两条线段的夹角,如例题中 AB 与 BC 的夹角是 120°,而不是 变式训练 已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为 60°,求(a+2b)·(a-3b 解:(a+2b)·(a-3b)=a·a-a·b-6b·b 2 2 =|a| -a·b-6|b| 2 2 =|a| -|a||b|cosθ -6|b| 2 2 =6 -6×4×cos60°-6×4 =-72. 例 2 已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 不共线,当 k 为何值时,向量 a+kb 与 a-kb 互相垂直?

4

解:a+kb 与 a-kb 互相垂直的条件是(a+kb)·(a-kb)=0, 2 2 2 即 a -k b =0. 2 2 2 2 ∵a =3 =9,b =4 =16, 2 ∴9-16k =0. ∴k=±

3 . 4

也就是说,当 k=±

3 时,a+kb 与 a-kb 互相垂直. 4

点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件. 变式训练 2 已知向量 a、b 满足:a =9,a·b=-12,求|b|的取值范围. 2 2 解:∵|a| =a =9, ∴|a|=3. 又∵a·b=-12, ∴|a·b|=12. ∵|a·b|≤|a||b|, ∴12≤3|b|,|b|≥4. 故|b|的取值范围是[4,+∞). 思路 2 例 1 已知在四边形 ABCD 中, 四边形 ABCD 的形状如何? 解:∵ AB + BC + CD + DA =0, 即 a+b+c+d=0, ∴a+b=-(c+d). 2 2 由上可得(a+b) =(c+d) , 2 2 2 2 即 a +2a·b+b =c +2c·d+d . 2 2 2 2 又∵a·b=c·d,故 a +b =c +d . 2 2 2 2 同理可得 a +d =b +c . 2 2 2 2 由上两式可得 a =c ,且 b =d , 即|a|=|c|,且|b|=|d|,也即 AB=CD,且 BC=DA, ∴ABCD 是平行四边形. 故 AB = ? CD ,即 a=-c. 又 a·b=b·c=-a·b, 即 a·b=0,∴a⊥b,即 AB ⊥ BC . 综上所述,ABCD 是矩形. 点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后 结合四边形的特点进而判断四边形的形状. 例 2 已知 a,b 是两个非零向量,且|a|-|b|=|a+b|,求向量 b 与 a-b 的夹角.

AB =a, BC =b, CD =c, DA =d,且 a·b=c·d=b·c=d·a,试问

5

活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以 a,b 为邻边的

ABCD,若

AB =a, CB =b,则 CA =a+b, DB =a-b.由|a|-|b|=|a+b|,可知∠ABC=60°,b 与 DB 所成角是
150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量 b 与 a-b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识, 我们采用另外一种角度来思考问题 , 教师给予必要的点拨和指导 , 即由 cos 〈 b,a-b 〉 =

b ? ( a ? b) 作为切入点,进行求解. | b || a ? b |
解:∵|b|=|a+b|,|b|=|a|,∴b =(a+b) . 2 2 2 ∴|b| =|a| +2a·b+|b| . ∴a·b=而
2 2

1 2 |b| . 2
b·(a-b)=b·a-b =
2

?

1 2

|b| -|b| =

2

2

?

3 2

|b| ,

2

① 由(a-b) =a -2a·b+b =|b| -2×( ?
2 2 2 2

1 2 2 2 )|b| +|b| =3|b| , 2


而|a-b| =(a-b) =3|b| , ∴|a-b|=3|b|. ∵cos〈b,a-b〉=

2

2

2

b ? ( a ? b) , | b || a ? b |
3 | b |2 3 . ?? 2 |b|? 3|b| 2

代入①②,得 cos〈b,a-b〉 =又∵〈b,a-b〉∈[0,π ], ∴〈b,a-b〉=

5? . 6

点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题 ,解完后教师及时引导学 生对本解法进行反思、总结、体会. 变式训练 设向量 c=ma+nb(m,n∈R),已知|a|=2 2 ,|c|=4,a⊥c,b·c=-4,且 b 与 c 的夹角为 120°, 求 m,n 的值. 解:∵a⊥c,∴a·c=0. 又 c=ma+nb,∴c·c=(ma+nb)·c, 2 2 即|c| =ma·c+nb·c.∴|c| =nb·c. 2 由已知|c| =16,b·c=-4, ∴16=-4n.∴n=-4. 从而 c=ma-4b. ∵b·c=|b||c|cos120°=-4, ∴|b|·4·( ?

1 )=-4.∴|b|=2. 2
2

由 c=ma-4b,得 a·c=ma -4a·b,

6

∴8m-4a·b=0, ①



a·b=2m.
2

再由 c=ma-4b,得 b·c=ma·b-4b . ∴ma·b-16=-4, 即 ma·b=12. ② 联立①②得 2m =12,即 m =6. ∴m=± 6 .故 m=± 6 ,n=-4. (四)课堂小结 1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数 量积的运算律. 2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在 领悟数学 思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解. (五)作业
2 2

7


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