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2007年浙江省高中数学竞赛(A卷)参考答案


2007 年浙江省高中数学竞赛(A卷)参考答案
一、 选择题 1.如果 f ( x) ? 1 ? log x 2 ? log x2 9 ? log x3 64 ,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围为( B ) A. 0 ? x ? 1 B. 1 ? x ?

8 3

C. 1 ? x ? ??

D.

8 ? x ? ?? 3

解:显然 x ? 0 ,且 x ? 1 。

3 f ( x) ? 1 ? log x 2 ? log x2 9 ? log x3 64 ? 1 ? log x 2 ? log x 3 ? log x 4 ? log x x 。 8 3 8 3 要使 f ( x) ? 0 。当 x ? 1 时, x ? 1 ,即 1 ? x ? ;当 0 ? x ? 1 时, x ? 1 ,此时无解。 8 3 8 8 由此可得, 使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围为 1 ? x ? 。 3

2.









A?

?

cx o

s? x 2

? 2

(

1 x?

2

) ??

, s ? xi

n R?

(

B ? ? x sin x ? cos x, x ? R? ,则 A ? B = ( C )
A. ? x

? ? ? ? x ??? ? 4 ?
?

B. R

C.

D. ? x

? ? ? ? 2k? ? x ? (2k ? 1)? , k ? Z ? ? 4 ?

解: cos 2x ? 2(1 ? 2)sin x ? (2 2 ?1) ? 0 ? sin 2 x ? (1 ? 2)sin x ? 2 ? 0

? (sin x ? 2)(sin x ?1) ? 0
没有实数 x 可以使上述不等式成立。故 A ? ? 。从而有 A ? B ? ? 。 3.以 1,1,1, 2, 2, 2 为六条棱长的四面体个数为 ( B ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

解:以这些边为三角形仅有四种: (1,1,1) , (1,1, 2) , (1, 2, 2) , ( 2, 2, 2) 。 固定四面体的一面作为底面: 当底面的三边为 (1,1,1) 时,另外三边的取法只有一种情况,即 ( 2, 2, 2) ; 当底面的三边为 (1,1, 2) 时, 另外三边的取法有两种情形, 即 (1, 2, 2) , ( 2,1, 2) 。 其余情形得到的四面体均在上述情形中。由此可知,四面体个数有3个。
1

4.从1至 169 的自然数中任意取出3个数构成以整数为公比的递增等比数列的取法有 ( C ) 种。 A. 89 B. 90 C. 91 D. 92

解:若取出的3个数构成递增等比数列 a, aq, aq2 ,则有 1 ? a ? aq ? aq2 ? 169 。由此有

2 ? q ? 13 。 当 q 固 定 时 , 使 三 个 数 a, aq, aq2 为 整 数 的 a 的 个 数 记 作 N ( q ) 。 由

aq2 ? 169 ,知 N (q ) 应是

169 ?169 ? ?169 ? 的整数部分。 N (2) ? ? 2 ? ? 42 , N (3) ? ? 2 ? ? 18 , 2 q ?3 ? ?2 ?

N (4) ? 10 , N (5) ? 6 , N (6) ? 4 ,
N (7) ? 3 , N (8) ? 2 , N (9) ? 2 , N (10) ? N (11) ? N (12) ? N (13) ? 1.
因此,取法共有 N (1) ? N (2) ? ? ? N (13) ? 91 。

5.若在复平面上三个点 A(0), B( z0 ? z ), C ( z0 ? z ) 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形, 其中 z0 ? ? ? A.

1 3

2 i ,则△ABC 的面积为( A ) 3
B.

1 3

2 3

C. 1

D.

4 3

解:依题意,

?1 ? i 1 z0 ? z 2 z0 ? iz0 , z0 ? 。 ?i ? z ? 1? i 3 z0 ? z

△ABC 的面积为

1 1 1 1 2 AB AC ? z0 ? z z0 ? z ? (1 ? i )(1 ? i ) z0 ? 。 2 2 2 3

?2007 2007 6. 2007
A. 01

2007 重 B. 07

的末二位数字是 ( C ) C. 43 D. 49

?2007 2007 解:记 N k ? 2007

k重 。题目要求 N 2007 的末二位数。

N2007 ? 2007N2006 ? (2000 ? 7)N2006 ? 2000 ? M ? 7N2006
其中 M 为正整数。由此可得 N 2007 的末二位数与 7
2
N2006

的末二位数字相同。首先来观察

7n 的末二位数字的变化规律。

n
7n 的末二位数字

2 49

3 43

4 01

5 07

6 49

7 43

8 01

9 07

?
?

7n 的末二位数字的变化是以4为周期的规律循环出现。

N2006 ? (2007)N2005 ? (502 ? 4 ?1)N2005
? 4M1 ?1
? 4(M1 ?1) ? 3
因此, 7
N2006

( N 2005 为奇整数) ( M 1 为正整数)

? 74( M1 ?1)?3 与 73 的末二位数字相同,为 43。

二、 填空题
2 2 7. 设 ?an ? 为 a1 ? 4 的单调递增数列,且满足 an ?1 ? an ? 16 ? 8(an?1 ? an ) ? 2an?1an ,则

an ? 4n2 。
2 2 解: an ?1 ? an ? 16 ? 8(an?1 ? an ) ? 2an?1an

? (an?1 ? an )2 ? 8(an?1 ? an ) ?16 ? 4an?1an

? (an?1 ? an ? 4)2 ? 4an?1an

? an?1 ? an ? 4 ? 2 an?1an

(由题意可知取正号。 )

? ( an?1 ? an ) 2 ? 4 ? an?1 ? an ? 2
因此,

? a ? 公差为2的等差数列,即
n

an ? 2n 。从而可得 an ? 4n2 。
k1 ? k2 ? 1 ) , 则

8.



a, b, c







x3 ? k1x ? k2 ? 0 的 根 (

1 ? a 1 ? b 1 ? c 3 ? k1 ? 3k2 ? ? ? 。 1? a 1? b 1? c 1 ? k1 ? k2
解:由题意, x3 ? k1x ? k2 ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) 。由此可得

a ? b ? c ? 0 , ab ? bc ? ca ? ?k1 , abc ? k2 以及 1 ? k1 ? k2 ? (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) 。

1 ? a 1 ? b 1 ? c 3 ? (a ? b ? c) ? (ab ? bc ? ca) ? 3abc 3 ? k1 ? 3k2 ? ? ? 。 ? 1? a 1? b 1? c (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) 1 ? k1 ? k2
3

9. 设 xk , yk (k ? 1, 2,3) 均为非负实数,则

? 2007 ? y1 ? y2 ? y3 ?
2007 。

2

2 2 2 2 ? y3 ? x2 ? y2 ? x12 ? y12 ? ( x1 ? x2 ? x3 )2 的 最 小 值 为 ? x3

解: 在直角坐标系中, 作点 O (0, 0) ,A(0, 2007) ,P P2 ( x2 ? x3 , y1 ? y2 ) , 1 ( x1 ? x2 ? x3 , y1 ) ,

P 3 ( x3 , y1 ? y2 ? y3 ) 。则
I=

? 2007 ? y1 ? y2 ? y3 ?

2

2 2 2 2 ? y3 ? x2 ? y2 ? x12 ? y12 ? ( x1 ? x2 ? x3 )2 ? x3

= AP3 + P3 P2 + P2 P 1 + PO 1

(应用三角不等式)

? AP ? AO =2007。 ? AP2 + P2 P 1 + PO 1 1 + PO 1
如果取 A ? P 1 ?P 2 ?P 3 ,即 x1 ? x2 ? x3 ? 0, y1 ? 2007, y2 ? y3 ? 0 ,那么 I 取到最小 值 2007。 10. 设 f ( x ) 是 定义 在 R 上 的奇 函 数, 且满 足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ; 又 当 0 ? x ? 1 时 ,

f ( x) ?

1 ? 1? x ,则 ? x f ( x) ? ? ? = 4k ? 1? k ? Z ? 。 2 2? ?

解:依题意, f ( x ? 4) ? ? f ( x ? 2) ? f ( x) ,即 f ( x ) 是以4为周期的周期函数。 因为当 0 ? x ? 1 时,f ( x ) ?

1 1 x, 且 f ( x ) 为奇函数, 所以当 ?1 ? x ? 0 时,f ( x ) ? x 。 2 2

此时有

? 1 x ?1 ? x ? 1 ? 1 ? 2 f ( x) ? ? 。可得 f (?1) ? f (3) ? ? 。又因为 f ( x ) 是以 2 ?? 1 x ? 1 1 ? x ? 3 ? ? 2
1 , ( k ?Z ) 。 2

4为周期的周期函数,所以也有 f (4k ? 1) ? ?

4012 11. 设 N ? 2 ,则不超过

?
n ?1

N

1 2007 的最大整数为 2 ?2。 n

解:?

2 1 2 ? ? n ?1 ? n n n ? n ?1

4

? 2( n ? 1 ? n ) ?
N

1 ? 2( n ? n ? 1) , n
N N 1 ? 1 ? 2? ( n ? n ? 1) , n n ?2 N

? 2? ( n ? 1 ? n ) ? ?
n ?1 n ?1

? 2( N ? 1) ? 2( N ? 1 ? 1) ? ?
n ?1

1 ? 1 ? 2( N ? 1) , n

? 2(22006 ? 1) ? 2( N ? 1 ? 1) ? ?
n ?1

N

1 ? 2 ? 22006 ? 1 , n

? 不超过 ?
n ?1

N

1 2007 ?2。 的最大整数为 2 n

x y z 12. 整数 x ? y ? z ,且 2 ? 2 ? 2 ? 4.625 ,则整数组 ( x, y, z ) 为 (2, ?1, ?3) 。 x ?3

解:方程两边同乘以8,得 2 只有 2
z ?3

? 2 y ?3 ? 2z ?3 ? 37 。因为 x ? y ? z ,所以要使左边为奇数,

? 1 ,即 z ? ?3 。则 2x?3 ? 2 y ?3 ? 36 ? 2x?1 ? 2 y ?1 ? 9 。要使左边为奇数,只有

2 y ?1 ? 1 ,即 y ? ?1 。从而有
三、 解答题 13. 已知抛物线 y ? ?2 x ? x ?
2

2x?1 ? 8 ,即 x ? 2 。故有 ( x, y, z) ? (2, ?1, ?3) 。

1 1 11 1 1 和点 A( , ) 。 过点 F ( , ? ) 任作直线, 交抛物线于 B,C 8 4 8 4 8

两点。 (1) 求△ABC 的重心轨迹方程,并表示成 y ? f ( x) 形式; 若数列 ?xk ? , 0 ? x1 ?
n 1 3 k ,满足 xk ?1 ? f ( xk ) 。试证: ? xk ?1 ? 。 2 5 k ?1

(2)

解: (1)设过 F ( , ? ) 的直线方程为 y ? 立方程组,

1 4

1 8

1 1 ? k ( x ? ) 。又设 B( x1 , y1 ) , C( x2 , y2 ) ,联 8 4

1 1 ? y ? ? k (x ? ) ? ? 8 4 ? ? y ? ?2 x 2 ? x ? 1 ? 8 ?
x1 ? x2 ? ?

消去 y ,得 2 x ? (k ? 1) x ?
2

k ? 0 。从而有, 4

k ?1 1 1 k2 1 ? 。 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? ) ? ? ? 2 2 4 2 4

5

设△ABC 的重心坐标为 ( x, y ) ,则

1 ? x1 ? x2 ? ? 4 x? ? ? 3 ? 11 ? y ? y2 ? ?y ? 1 8 ? 3 ?
(2)因为 0 ? x1 ?

3 ? 2k ? x? ? ? 12 ?? 2 ?y ? ? k ? 3 ? 6 8 ?

消去 k,即得

y ? ?6 x2 ? 3x 。

1 2 , x2 ? f ( x1 ) ? ?6 x1 ? 3x1 ? 3x1 (1 ? 2x1 ) ,所以 2

3 ? 2 x ? (1 ? 2 x1 ) ? 3 0 ? x2 ? 3x1 (1 ? 2 x1 ) ? ? 1 ? ? , 2? 2 ? 8
上式右边等号成立当且仅当 x1 ?

2

1 3 。假设 0 ? xk ? ,则 4 8
2

3 ? 2 x ? (1 ? 2 xk ) ? 3 0 ? xk ?1 ? 3xk (1 ? 2 xk ) ? ? k ? ? , 2? 2 ? 8
上式右边等号成立当且仅当 xk ?

1 3 。由此得到 0 ? xk ? ( k ? 2,3,? ) 。从而有 4 8
k n 3 ? ?3? ? 3 ? 3? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? 。 5? k ?1 ? 8 ? ? 5 ? ?8? ? n

0??x
k ?1

n

k k ?1

14. 设正实数 a, b, c 及非负实数 x, y 满足条件

a6 ? b6 ? c6 ? 3,( x ? 1)2 ? y 2 ? 2
求I ?

1 1 1 ? 3 ? 3 的最小值,并论证之。 3 2 3 2 2a x ? b y 2b x ? c y 2c x ? a 3 y 2
3

? n ? ak ? ? ? 2 n a ? k ?1 ? ,有 解:根据 ? k ? n k ?1 bk ? bk
k ?1

2

I?

1 1 ? 3 2 3 2a x? b y 2 b ? x
3

? 2 c y 2
3

1 c ?x
3

3

a 2y

?

9 2a x ? b y ? 2b x ? c3 y 2 ? 2c3 x ? a3 y 2
3 3 2 3

?

9 3 3 3 2 6 6 6 . ( (a ? b ? c ) ? 3(a ? b ? c ) ? 9 ) 2 3 3 3 2 x(a ? b ? c ) ? y (a ? b ? c )
3 3 3

6

?

3 3 3 ? ?3 ? 2 2 2 x ? 2 ? ( x ? 1) 1 ? x 2 2x ? y

上式取等号当且仅当

a ? b ? c ? 1, x ? 0, y ? 1 。

15. 设 M ? ?1,2,?,65? , A ? M 为子集。若 A ? 33 ,且存在 x, y ? A , x ? y , x y , 则称 A 为“好集” 。求最大的 a ? M ,使含 a 的 任意 33 元子集为好集。 解:令 P ? 21 ? i i ? 1, 2,? , 44 \ 2(21 ? i ) i ? 1, 2,? ,11 , P ? 33 。 显然对任意 1 ? i ? j ? 44 ,不存在 n ? 3 ,使得 21 ? j ? n(21 ? i) 成立。故P是非好集。 因此

?

??

?

a ? 21 。

下面证明:包含 21 的任意一个 33 元子集 A 一定为好集。 设 A ? ?a1, a2 ,?, a32 ,21 ?。 若 1,3,7,42,63 中之一为集合 A 的元素,显然为好集。 现考虑 1,3,7,42,63 都不属于集合 A。构造集合

A1 ? ?2,4,8,16,32,64? , A2 ? ?5,10,20,40? , A3 ? ?6,12,24,48? , A4 ? ?9,18,36? , A5 ? ?11, 22, 44? , A6 ? ?13, 26,52? , A7 ? ?14, 28,56? , A8 ? ?15,30,60? , A9 ? ?17,34? A10 ? ?19,38? , A11 ? ?23, 46? , A12 ? ?25,50? , A13 ? ?27,54? , A14 ? ?29,58? , A15 ? ?31,62? A? ? ?33,35,37,?,61,65? 。
由上可见, A 1, A 2 ,?, A 15 每个集合中两个元素都是倍数关系。考虑最不利的情况,即

A? ? A ,也即 A? 中 16 个元素全部选作 A 的元素, A 中剩下 16 个元素必须从
根据抽屉原理, 至少有一个集合有两个元 A1 , A2 ,?, A15 这 15 个集合中选取 16 个元素。 素被选,即集合 A 中至少有两个元素存在倍数关系。 综上所述,包含 21 的任意一个 33 元子集 A 一定为好集,即 a 的最大值为 21。

7


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