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2015【创新方案】高考数学(理)(北师大版)复习配套-五年高考真题分类汇编:第6章 不等式、推理与证明]


第 6 章 不等式、推理与证明
一、选择题
1. 【河南中原名校上学期期中联考】已知 x>0,y>0,若

2 y 8x + >m2+2m 恒成立,则 x y

实数 m 的取值范围是( A.m≥4 或 m≤-2 C.-2<m<4

) B.m≥2 或 m≤-4 D.-4<m<2

>2. 【周口中英文学校期中】已知函数 f ? x ? ? lg ?1 ? x ? 的定义域为 M ,函数 y ? 域为 N ,则 M A.

1 的定义 x

N ?(

) B .

? x x ? 1且x ? 0?

? x x ? 1且x ? 0?

C.

? x x ? 1?

D.

? x x ? 1?

3.(普陀调研)若 a 和 b 均为非零实数,则下列不等式中恒成立的是 (



( A)

|a?b| ? 2

| ab | .

( B)

b a ? ? 2. a b

(C ) ( a ? b)(
【答案】D

1 1 ? ) ? 4. a b

(D)

a2 ? b2 a?b 2 ?( ) . 2 2

4. (朝阳期末)若实数 x, y 满足 A. 0 B. 1

?x ? y ? 3 ? ?2 x ? y ? 0 ?x ? 0 ?
C. 2

,则 z ? y ? x 的最小值为 D. 3





2 2 5. (淄博期末)已知实数 a、 b, 则“ a ? b ”是“ a ? b ”的(

)

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【答案】D 【解析】

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2 2 2 2 试题分析:由 a ? b 不一定得到 a ? b ,如 0 ? a ? b 时, a ? b 不成立; 2 2 反之, a ? b 时,也不一定有 a ? b ,故选 D.

考点:不等式的性质,充要条件. 6.(白山一模)在坐标平面内,不等式组 ? ( A.2 2 【答案】C 【解析】画出不等式组 ? ) B.

? y ? 2 | x | ?1, 所表示的平面区域的面积为 ?y ? x ?1

8 3

C.

2 2 3

D.2

? y ? 2 | x | ?1, 所表示的平面区域, ?y ? x ?1
2 2 。 3


由图可知平面区域的面积为

7. (海淀期末) 设非零实数 a , b 满足 a ? b ,则下列不等式中一定成立的是( A.

1 1 ? a b

B. ab ? b

2

C. a ? b ? 0

D. a ? b ? 0

8. 【河北衡水中学高三上学期期中考试】对于定义域为 D 的函数 y ? f ? x ? 和常数 c ,若 对任意正实数 ? , ?x ? D, 使得 0 ?| f ( x) ? c |? ? 恒成立,则称函数 y ? f ? x ? 为“敛 c 函 数” .现给出如下函数: ① f ? x? ? x ? x ? Z ? ;

?1? ② f ? x ? ? ? ? ? 1? x ? Z ? ; ?2?
③ f ? x ? ? log 2 x ; ④ f ? x? ?

x

x ?1 . x

其中为“敛 1 函数”的有 ( A.①② B.③④

) C. ②③④ D.①②③

9. 【 长 春 市 高 中 毕 业 班 第 四 次 调 研 测 试 】 若 数 列 {an } 满 足 规 律 :

a1 ? a 2? a ? . a n? 2 ? a 3 . .? 1 n ?
个余弦数列的排法种数为( A. 12 【答案】C 【解析】 B. 14 )

2

,则称数列 ... {an } 为余弦数列,现将 1,2,3,4,5 排列成一

C. 16

D. 18

3 2 试题分析:①将 3,4,5 排在中间和两侧,再用 1,2 插两缝共 A3 A2 ? 12 种;

②将 2,4,5 排列,则结果必为 21435; 将 2,5,4 排列,则结果必为 21534; 将 4,5,2 排列,则结果必为 43512; 将 5,4,2 排列,则结果必为 53412. 故选 C. 考点:排列组合 10.【昆明第一中学高三开学考试】 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? an?1 ( n ? 2 ),

a1 ? 1, a2 ? 3 ,记 Sn ? a1 ? a2 ? ?? an ,则下列结论正确的是(
(A) a100 ? ?1 , S100 ? 5 (C) a100 ? ?3 , S100 ? 2 【答案】A (B) a100 ? ?3 , S100 ? 5 (D) a100 ? ?1 , S100 ? 2



【解析】 试题分析:

an?1 ? an ? an?1 (n ? 2) ,且

a1 ? 1, a2 ? 3 ,? a3 ? 2, a4 ? ?1, a5 ? ?3 , a6 ? ?2, a7 ? 1, a8 ? 3, ??? ,
可知数列 {an } 是以 6 为周期的周期数列,故 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? a6 ? 0, 所以 a100 ? a16?6? 4 ? a4 ? ?1 , S100 ? S4 ? 1 ? 3 ? 2 ? (?1) ? 5 . 考点:数列递推式 11.【齐齐哈尔市高三第二次模拟考试】 设 f ?x ? 是定义在正整数集上的函数,且 f ?x ? 满足: “当 f ?k ? ? k ? 1 成立时,总可推出 f ?k ? 1? ? k ? 2 成立”,那么,下列命题总成立的 是 ( ) A.若 f ?1? ? 2 成立,则 f ?10? ? 11成立 B.若 f ?3? ? 4 成立,则当 k ? 1 时,均有 f ?k ? ? k ? 1 成立 C.若 f ?2? ? 3 成立,则 f ?1? ? 2 成立 D.若 f ?4? ? 5 成立,则当 k ? 4 时,均有 f ?k ? ? k ? 1 成立 【答案】 D 【解析】 试题分析:“当 f ?k ? ? k ? 1 成立时,总可推出 f ?k ? 1? ? k ? 2 成立”是“数学归纳法” 的步骤②说明如果 n ? k 成立则 n ? k ? 1 也成立这种递推关系, 所以如果 n ? 4 成立则 n ? 4 都成立. 考点:数学归纳法. 12.【内蒙古赤峰市优质高中高三摸底考试】 已知集合 M ? {x | x ? x2 } ,

N ? {y | y ?

4x , x ? M } ,则 M 2
1 } 2
B、{x|

N? (

)

A、{x|0<x<

1 <x<1} 2

C、{x|0<x<1}

D、{x|1<x<2}

13.【哈尔滨市第六中高三月考】设 A ? {x || x ? 2 |? 3} , B ? {x | x ? t} ,若 A ? C R B ? ? , 则实数 t 的取值范围是( A. t ? ? 1 ) B. t ? ? 1 C. t ? 5 D. t ? 5

? x? y?2?0 3x ? y ? 14. 【内蒙古赤峰市优质高中高三摸底考试】 已知变量 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0 则 u ? x ?1 ? y?2?0 ?
的取值范围是( A. [ , ) B. [?

5 14 ] 2 5

1 1 ,? ] 2 5

C. [ ?

1 5 , ] 2 2

D. [ ?

5 14 , ] 2 5

? x ? y ? 2 ? 0, 15. (海淀期末)若实数 x, y 满足条件 ? 则 z ? 3x ? 4 y 的最大值是( ? x ? y ? 0, ? y ? 3, ?
A. ?13 B. ?3 C. ? 1 D. 1



16.【吉林市普通高中毕业班下学期期末复习检测】已知点 P ( x, y ) 在不等式组

?x ? 2 ? 0 ? 表示的平面区域上运动,则 z ? x ? y 的取值范围是( ?y ?1 ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
A. ?2, ?1 【答案】C 【解析】 试题分析:画出不等式表示的平面区域,



?

?

B. ? ?2,1?

C. ? ?1, 2?

D. ?1, 2?

确定该区域边界的交点坐标分别是 (2,0),(0,1),(1, 2) , 代入目标函数 z ? x ? y 得范围是 [?1, 2] . 考点:线性规划条件下求目标函数最优解问题. 17.【吉林市普通高中毕业班下学期期末复习检测】 若直线 ax ? 2by ? 2 ? 0(a, b ? 0) 始终 平分圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 8 ? 0 的周长,则

1 1 ? 的最小值为( 2a b
D.



A.

1 2

B.

5 2

C. 3 2

3? 2 2 2

18.【云南师大附中高考适应性月考】 已知函数 f ( x) ?

x mx 2 ? (m ? n) x ? 1 的两个极值点 ? 3 2

分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, 1) , x2 ? (1, ? ?) ,点 p(m, n) 表示的平面区域为 D ,若函数
y ? log a ( x ? 4)(a ? 1) 的图像上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围是(



A. ( 1,3] 【答案】B 【解析】

( 1,3) B.

(3, +?) C.

+?) D. [3,

试题分析: f ?( x) ? x2 ? mx ?

m?n ? 0 的两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, 1) , 2

?m ? n ? 2 ? 0, ? f ?(0) ? 0, ? ?? x2 ? (1, ? ?) ,故有 ? ? f ?(1) ? 0 ?1 ? m ? m ? n ? 0, ? ? 2

?m ? n ? 0, 即? 作出区域 D,如图 1 阴影部分, ?3m ? n ? 2 ? 0,

可得 log a( ? 1 ?4) ? 1 ,∴1 ? a ? 3 ,故选 B. 考点:导数求函数的极值,线性规划. 19.(长沙期末考试)已知集合 M={y|y= 2 ,x>0},N={x|y=lg(2x- x )},则 M ∩N 为( A.[2,+∞) ) B. (1,+∞) C. (1,2) D.[1,+∞)
x
2

二、填空题
?x ? y ? 4 ? 0 , ? 20. ( 海 淀 期 末 ) 已 知 点 P ( x, y ) 的 坐 标 满 足 ?1 ? x ? 2 , 则 z ? x ? 2y 的 最 大 值 为 ? y ? 0, ?
________.

?2 x ? y ? 4 ? 21. 【河南省方城一高高三第一次调研考试】设 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? y ? 3 的 ?x ? 2 y ? 2 ?
最小值为 【答案】-1 .

22. (朝阳期末)实数 x , y 满足 ? 是 【答案】 .

? x ? y ? 3, 若 y ? k ( x ? 2) 恒成立,则实数 k 的最大值 ?2 x ? y ? 0,

2 3

?x ? y ? 2 ? 23.(白山一模)已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,且 x ? 2 y ? a 恒成立,则 a 的取值范围 ?x ? 1 ?
为 。

【答案】 a ? ?1

?x ? y ? 2 ? 【解析】画出约束条件 ? x ? y ? 2 的可行域, ?x ? 1 ?
由可行域知: z ? x ? 2 y 过点(1,-1)时取最小值,且最小值为-1, 所以要使 x ? 2 y ? a 恒成立,则 a 的取值范围为 a ? ?1 。 24. (赣州联考)函数 f(x)=2+loga x(a>0, a≠1)的图像恒过定点 A,若点 A 在直线 mx +ny-3=0 上,其中 mn>0,则

1 1 的最小值为 ? m 2n



? x+y≥0 ? 25. 【河南中原名校上学期期中联考】设 z=2x+y,其中 x,y 满足 ? x-y≤0 ,若 z 的最 ?0≤y≤k ?
大值为 6,则 z 的最小值为_________.

考点:线性规划. 26. (赣州联考) 已知 f(n)=1+ >3, f(32)>

5 1 1 1 经计算得 f(4)>2, f(8)> , f(16) ? ? ? ? (n∈N*), 2 2 3 n


7 ,??,观察上述结果,则可归纳出一般结论为 2

27. (淄博期末) 若实数 a、b、c 满足 2a ? 2b ? 2a ? b, 则 c 的最大值是 2a ? 2b ? 2c ? 2a ? b?c, ________.

28. 【河南省方城一高高三第一次调研考试】设 N ? 2n (n ? N * , n ? 2) ,将 N 个数

x1 , x2 ,

, xN 依次放入编号为 1,2,?, N 的 N 个位置,得到排列 P0 ? x1 x2

xN ,将该

N N 和后 个位 2 2 N xN ?1x2 x4 xN ,将此操作称为 C 变换,将 P1 分成两段,每段 个 置, 得到排列 P 1 ? x1 x3 2 N 2 ? i ? n ? 2 时,将 Pi 分成 2 i 段,每段 i 个数,并对 数,并对每段作 C 变换,得到 P 2 ;当 2
排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次放入对应的前 每段作 C 变换,得到 Pi ?1 ,例如,当 N ? 8 时, P 2中 2 ? x1 x5 x3 x7 x2 x6 x4 x8 ,此时, x7 位于 P

的第 4 个位置.当 N ? 2n (n ? 8) 时, x173 位于 P 中的第 4 【答案】 3 ? 2n?4 ? 11 【解析】

个位置.

n 4 n?4 试题分析:当 N ? 2n 时,排列 P 个数.排列 P 4 是将 2 个数分成 2 段,每段有 2 1 的第 1

段数列的通项为 x2 n?1 (1 ? n ? 2n?1 ) ,排列 P 2 的前两段数列的通项分别为 x4 n ?3 和 x4 n ?1

(1 ? n ? 2n?2 ) ,排

29.【邢台一中上学期第二次月考】 用反证法证明“ a, b ? N ? , ab 可被 5 整除,那么 a , b 中至少有一个能被 5 整除” ,则假设内容是_________________________.

?x ? 2 y ? 0 ? 30. (淄博期末)设 z ? x ? y ,其中 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 2014,则 k 的 ?0? y?k ?
值为_______. 【答案】 1007 【解析】

?x ? 2 y ? 0 ? 试题分析:画出满足约束条件 ? x ? y ? 0 的平面区域(如图)及直线 x ? y ? 0 , ?0? y?k ?

平移直线 x ? y ? 0 可知,当其经过点 A(k, k) 时, z ? x ? y 取到最大值. 由 2 k ? 2014 得 k ? 1007 .

考点:简单线性规划的应用

31. (朝阳期末)所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数. 如: 6=1 ? 2 ? 3 ;

28=1 ? 2 ? 4 ? 7 ? 14 ; 496=1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? 31 ? 62 ? 124 ? 248 .
已经证明:若 2 ? 1 是质数,则 2n?1 (2n ?1) 是完全数, n ? N .请写出一个四位完全
n
?



;又 6 ? 2 ? 3 ,所以 6 的所有正约数之和可表示为 (1 ? 2) ? (1 ? 3) ;

28 ? 22 ? 7 ,所以 28 的所有正约数之和可表示为 (1 ? 2 ? 22 ) ? (1 ? 7) ;
按此规律, 496 的所有正约数之和可表示为 .

?x ? y ? 1 ? 0 ? 32.【吉林市普通中学高中毕业班摸底测试】设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 ?2 x ? y ? 7 ? 0 ?
z ? x ? y 的最大值是
.

考点:线性规划.

?x ? y ?1 ? 0 ? 33.【昆明第一中学高三开学考试】 变量 x , y 满足条件 ? x ? y ? 0 ,求 2 x ? y 的最大 ?x ? 0 ?
值为 .

考点:简单线性规划.

? x ? 3y ? 0 ? 34.【齐齐哈尔市高三第二次模拟考试】 已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 8 ? 0 错误!未找到 ? y?7 ?
引用源。 且不等式 axy 错误! 未找到引用源。 恒成立, 则实数 a 的最小值是 【答案】 【解析】 .

50 7

考点:线性规划,不等式及函数极值.

35. (台州联考)设命题 p :实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ;命题 q :实数 x 满 足 x2 ? 2 x ? 8 ? 0, 且 q是p 的必要不充分条件,则实数 a 的取值范围是 .

a ? ?4 。
考 点:1 一元二次不等式;2 充分必要条件。 36. (广州期末考试) [ n ] 表示不超过 n 的最大整数.

S1 ? [ 1] ? [ 2] ? [ 3] ? 3, S2 ? [ 4] ? [ 5] ? [ 6] ? [ 7] ? [ 8] ? 10, S3 ? [ 9] ? [ 10] ? [ 11] ? [ 12] ? [ 13] ? [ 14] ? [ 15] ? 21,
那么 Sn ? .

,

37. (郑州月考) 若对任意的正数 x 使 2 (x-a) ≥1 成立, 则 a 的取值范围是____________.

x

? x+2y-3≤0 ? 38. (长沙期末考试)已知变量 x,y 满足约束条件 ? x+3y-3≥0 ,若目标函数 z=ax+y ? y-1≤0 ?
(其中 a>0)仅在点(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围为________________.

考点:简单线性规划.

三、解答题
( ) 0 ? , 39. 【齐齐哈尔市高三第二次模拟考试】 已知 f ( x ) 的导函数 f ?( x) ? 1 ? ln x , 且 f1
设 g ( x) ?

(a ? 1) f ( x) 1 2 ? x ? ax ,且 a ? 2 . x 2

(Ⅰ)讨论 g ( x) 在区间 (0, 2) 上的单调性; (Ⅱ)求证: f ( x) ? xe x ? 2 x ; (Ⅲ)求证: 2 ln(n !) ?

(n ? 1) 2 . n

40. (福州月考) (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? ax 2 ? bx ,其 中 g ( x) 的函数图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴. (Ⅰ)确定 a 与 b 的关系; (II)若 a ? 0 ,试讨论函数 g ( x) 的 单调性; (Ⅲ)设斜率为 k 的直线与函数 f ( x) 的图象交于两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )证明:

1 1 ?k? . x2 x1

41. (台州联考)(本小题满分 12 分)已知全集 U=R,非空集合 A ? x

?

x?2 < 0? , x ?3

B ? ? x ? x ? a ? ? x ? a 2 ? 2 ? < 0? .
(1)当 a ?

1 时,求 ? CU B ? ? A ; 2

(2)命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.

(Cu B)

A ? {x

9 ? x ? 3} . 4

(2)由若 q 是 p 的必要充分条件,即 p ? q . 可知 A ? B . 由 a 2 ? 2 ? a, B ? {x a ? x ? a 2 ? 2} .

所以 ?

?a ? 2
2 ?a ? 2 ? 2

解得 a ? ?1 或 1 ? a ? 2 .

考点:1.不等式的解法.2.集合的运算.3.命题的充要条件. 42. (湖州市第一次诊断) (本小题满分 12 分)已知函数 (1)求 f ( x) 的定义域; (2)问是否存在实数 a 、 b ,当 x ? (1, ? ?) 时, f ( x) 的值域为 (0, ??) ,且 f (2) ? lg 2? 若 存在,求出 a 、 b 的值,若不存在,说明理由. 【答案】 (1) (0,+ ? ) ; ( 2) a ? 【解析】 试题分析: (1)由题意可得对数的真数大于零即 a ? b ? 0 . 又因为 a ? 1 ? b ? 0 .所以可得
x x

f ( x) ? lg(a x ? b x ) ( a ? 1 ? b ? 0 )

3 1 ,b ? 2 2

ax ? 1 . 所以可得定义域的结论. bx

43. (广州期末考试)(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5 ( a ? 1 ) . (1)若 f ( x) 的定义域和值域均是 ?1, (2)若对任意的 x1 , x2 ? ?1,

a ? ,求实数 a 的值;

a ? 1? ,总有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 ,求实数 a 的取值范围.

1 ? a ? 2 . f ( x)max ? f (a ? 1) ? 6 ? a2 . f ( x)min ? f (a) ? 5 ? a2 . f ( x)max ? f ( x)min ? 4 显
然成立. 综上 1 ? a ? 3 .

考点:1.二次函数的对成性.2.函数的最值问题.3.分类思想想. 44. (郑州月考)(本小题满分 13 分) 某商场预计 2014 年从 1 月起前 x 个月顾客对某种商 品的需求总量

p( x ) ?

1 x ( x ? 1)( 41 ? 2 x )( x ? 12, x ? N ? ) (单位:件) 2

(1)写出第 x 个月的需求量 f ( x ) 的表达式;

? f ( x ) ? 21x, 1 ? x ? 7, x ? N ? ? (2)若第 x 个月的销售量 g ( x ) ? ? x 2 1 2 (单位:件) , ? ? x ( x ? 10 x ? 96),7 ? x ? 12, x ? N ?e 3
每件利润 q( x ) ?

1000e x ?6 (单位:元) ,求该商场销售该商品,预计第几个月的月利润达 x

到最大值?月利润的最大值是多少?(参考数据: e6 ? 403 )

在[7,8]上递增,在(8,12]上递减. 所以 w( x)max ? w(8) ? 3000 . 综上.第 6 个月时最大利润为 3000 元. 考点:1.数列的通项问题.2.导数求最值问题.3.分段函数问题.

45. (长沙期末考试)(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)=ae ,g(x)=lnx-lna,其中 a 为常数, e=2.718?, 且函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互相 平行. (1)求常数 a 的值; (2)若存在 x 使不等式

x

x?m > x成立,求实数 m 的取值范围; f ( x)

(3)对于函数 y=f(x)和 y=g(x)公共定义域内的任意实数 x0 ,我们把|f(x0 )-g(x0 )|的值称 为两函数在 x0 处的偏差.求证:函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大 于 2. 【答案】 (1) a ? 1 ; (2) ( ??, 0) ; (3)参考解析 【解析】 试题分析: (1) 依题意可得函数与坐标轴的交点通过求导函数即在两坐标轴的交点的切线的 斜率相等即可求出 a 的值. (2)不等式恒成立的问题转化为函数的最值问题. 在对函数求导求出在定义域 (0, ??) 上的 单调性即可求出 m 的取值范围.


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