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2014届江苏高考数学决战01(含答案)


2014 届江苏高考数学决战 01
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分。 1.已知 i 是虚数单位, a ? R ,若复数

a?i 的实部是 ? 1 ,则 a ? 1? i



. ▲ .

2. 设集合 A ? {x || x ? a |? 2}, B ? { 且 A? B ? A, 则实数 a 的取值范围是 1,3} ,

3.某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30 种、20 种,从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测。若采用分层抽样的 方法抽取样本, 则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 4.设向量 a 与 b 的夹角为 ? , a ? (2,1), a ? 3b ? (5,4) , 则 cos? ? ▲ . ▲ .

5 . 已知 正整 数 a, b 满 足 4a ? b ? 30 , 则 a, b 都 是 偶数 的概 率是 ▲ .

6.执行如右图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 31,则图中判断 框内①处应填的整数为 ▲ .

7.在 ?ABC 中,已知 sin A sin B cos C ? sin Asin C cos B ? sin B sin C cos A ,若 a, b, c 分 别是角 A, B, C 所对的边,则

ab 的最大值为 c2





8 .若等差数列 {an } 和等比数列 {bn } 的首项均为 1 ,且公差 d ? 0 ,公比 q ? 1 ,则集合

{n | a n ? bn , n ? N * } 的元素个数最多有



.个。

9.已知直线 x ? y ? k ? 0(k ? 0) 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于不同的两点 A, B , O 是坐标原点, 且有 | OA ? OB |?

3 | AB | ,则 k 的取值范围是 3





10. 设 O 为坐标原点, 给定一个定点 A(4,3) , 而点 B( x,0) 在 x 正半轴上移动,l ( x) 表示 AB 的长,则 ?OAB 中两边长的比值

x 的最大值为 l ( x)





11 .已知 f ( x) ? x ? 3x ,过 A(1, m) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,则 m 的取值范围是
3





1 南京清江花苑严老师

12.设 A, B 分别是椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的上下两个顶点, P 为椭圆 C 上任意一点(不与点 4

A, B 重合),直线 PB, PA分别交 x 轴于 M , N 两点,若椭圆 C 在 P 点的切线交 x 轴于 Q 点,
则 | MQ ? NQ |? ▲ .

13.若关于 x 的不等式 ax2 ? x ? 2a ? 0 的解集中有且仅有 4 个整数解,则实数 a 的取值范 围是 ▲ .

14.已知 xy ? z ? 0 ,且 0 ?

y 1 xz 2 ? 4 yz ? ,则 2 2 的最大值是 z 2 x z ? 16 y 2





二.解答题:本大题共 6 小题,计 90 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内。 15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 。已知 m ? (2 cos A, 3 sin A) ,

n ? (cos A,?2 cos A), m ? n ? ?1 。
(1)若 a ? 2 3, c ? 2 ,求 ?ABC 的面积; (2)求

b ? 2c 的值。 a cos(60 ? ? C )

16. (本小题满分 14 分) 如图,正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂直,EF∥BD,AB= 2EF. (1)求证:BF∥平面 ACE; (2)求证:BF⊥BD.

2 南京清江花苑严老师

17. (本题满分 14 分) 据环保部门测定, 某处的污染指数与附近污染源的强度成正比, 与到污染源距离的平方 成反比,比例常数为 k (k ? 0) .现已知相距 18 km 的 A,B 两家化工厂(污染源)的污 染强度分别为 a , b , 它们连线上任意一点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染 指数之和.设 AC ? x ( km ) . (1)试将 y 表示为 x 的函数; (2)若 a ? 1 ,且 x ? 6 时, y 取得最小值,试求 b 的值.

18. (本题满分 16 分) 已知 A(?2,0), B(2,0) ,点 C , D 依次满足 | AC |? 2, AD ? (1)求点 D 的轨迹; (2)过点 A 作直线 l 交以 A, B 为焦点的椭圆于 M , N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距离为

1 ( AB ? AC ) 。 2

4 ,且直线 l 与点 D 的轨迹相切,求该椭圆的方程; 5
(3)在(2)的条件下,设点 Q 的坐标为 (1,0) ,是否存在椭圆上的点 P 及以 Q 为圆心的一个圆, 使得该圆与直线 PA, PB 都相切,如存在,求出 P 点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理 由。

3 南京清江花苑严老师

19.已知数列 {an } 的各项都为正数, S n ?

1 a1 ? a2

?

1 a 2 ? a3

???

1 a n ? an?1



(1)若数列 {an } 是首项为 1,公差为 (2)若 S n ?

3 的等差数列,求 S 67 ; 2

n a1 ? an?1

,求证:数列 {an } 是等差数列。

20 . 如 果 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 R , 对 于 定 义 域 内 的 任 意 x , 存 在 实 数 a 使 得 。 f ( x ? a) ? f (? x)成立,则称此函数具有“ P(a) 性质” (1)判断函数 y ? sin x 是否具有“ P(a) 性质” ,若具有“ P(a) 性质” ,求出所有 a 的值;若 不具有“ P(a) 性质” ,说明理由;
2 (2)已知 y ? f ( x) 具有 “ P(0) 性质” , 且当 x ? 0 时 f ( x) ? ( x ? m) , 求 y ? f ( x) 在 [0,1] 上

有最大值; (3) 设函数 g ( x) 具有“ P(?1) 性质” ,且当 ?

y ? mx 交点个数为 2013,求 m 的值。

1 1 ? x ? 时, g ( x) ?| x | 。若 y ? g ( x) 与 2 2

4 南京清江花苑严老师

参考答案: 1. ? 1 ; 6.4; 11. (?3,?2) ;
2

2. 1 ? a ? 3 ; 7.

3.6; 8.2;

4.

3 10 ; 10

5.

3 ; 7

3 ; 2
12.0;

9. [ 2 ,2 2 ) ;

10.

5 ; 3

13. [ , ) ;

2 3 7 7

14.

2 。 8

15.(1)由 2 cos A ? 2 3 sin A cos A ? ?1 得 sin(2 A ? 因为 0 ? A ? ? ,所以 2 A ? 所以 2 A ?

?
6

) ?1

?
6

? (?

? 11?
6 , 6

)

?
6

3 a b 1 2? ? ) 由正弦定理可知 ,所以 sin C ? ,因为 C ? (0, sin A sin C 2 3 ? ? 1 所以 C ? , B ? ,所以 S ?ABC ? ? 2 ? 2 3 ? 2 3 …………………………7 分 6 2 2
(2)原式 ?

?

?
2

,即 A ?

?

………………………………………………………4 分

sin B ? 2 sin C sin B ? 2 sin C sin(120 ? ? C ) ? 2 sin C ? ? sin A cos(60 ? ? C ) 3 3 cos(60 ? ? C ) cos(60 ? ? C ) 2 2

3 3 cos C ? sin C 3 cos(60 ? ? C ) 2 2 ? ? ? 2 …………………14 分 3 3 ? ? cos(60 ? C ) cos(60 ? C ) 2 2
16.证明 (1)AC 与 BD 交于 O 点,连接 EO. 正方形 ABCD 中, 2BO=AB,又因为 AB= 2EF, ∴BO=EF,又因为 EF∥BD, ∴EFBO 是平行四边形, ∴BF∥EO,又∵BF?平面 ACE,EO?平面 ACE, ∴BF∥平面 ACE ………7 分 (2)正方形 ABCD 中,AC⊥BD,又因为正方形 ABCD 和三角形 ACE 所在的平面互相垂直, BD?平面 ABCD, 平面 ABCD∩平面 ACE=AC, ∴BD⊥平面 ACE,∵EO?平面 ACE, ∴BD⊥EO,∵EO∥BF,∴BF⊥BD. ………14 分 17. 解: (1)设点 C 受 A 污染源污染程度为 其中 k 为比例系数,且 k ? 0 .

ka kb ,点 C 受 B 污染源污染程度为 , 2 (18 ? x) 2 x

…………………4 分

5 南京清江花苑严老师

从而点 C 处受污染程度 y ?

ka kb ? . 2 x (18 ? x)2 k kb ? , 2 x (18 ? x)2

……6 分

(2)因为 a ? 1 ,所以, y ?

……8 分

y ' ? k[

18 ?2 2b ? ] ,令 y ' ? 0 ,得 x ? , 3 3 x (18 ? x) 1? 3 b

………12 分

又此时 x ? 6 ,解得 b ? 8 ,经验证符合题意. 所以,污染源 B 的污染强度 b 的值为 8. 18.解析:(1) 设 C( x0 , y0 ), D( x, y), AC ? ( x0 ? 2, y0 ), AB ? (4,0).
AD ? ( ? x0 ? x ? 2 x0 y ? 3, 0 ) ? ( x ? 2, y ), 则 ? , 2 2 ? y0 ? 2 y
2

…14 分

代入 AC ? ( x0 ? 2) 2 ? y0 2 ? 4, 得x 2 ? y 2 ? 1.

所以,点 D 的轨迹是以原点为圆心,1 为半径的圆。 ………………………………… 4 分 (2)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2). 椭圆的方程
x2 y2 ? ? 1(a 2 ? 4); ② a2 a2 ? 4
1 ? 1, k 2 ? . 3 1? k
2



由 l 与圆相切得:

2k

………………………………………6 分

将①代入②得: (a2 k 2 ? a2 ? 4) x2 ? 4a2 k 2 x ? 4a2 k 2 ? a4 ? 4a2 ? 0 , 又 k2 ?

1 3 ,可得 (a 2 ? 3) x2 ? a 2 x ? a 4 ? 4a 2 ? 0 , 4 3
?a 2 ? 3a(a 2 ? 4) a2 4 ,∴ x ? x ? ? ? ?2 ? , a2 ? 8 . 1 2 2 2 2(a ? 3) a ?3 5

有 x1,2 ?

∴ 椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

………………………………9 分

(3) 假设存在椭圆上的一点 P( x0 , y0 ) ,使得直线 PA, PB 与以 Q 为圆心的圆相切, 则 Q 到直线 PA, PB 的距离相等, A(?2,0), B(2,0),

( x0 ? 2) y ? y0 x ? 2 y0 ? 0 PB : ( x0 ? 2) y ? y0 x ? 2 y0 ? 0 | y0 | | 3 y0 | d1 ? ? ? d2 2 2 ( x0 ? 2) 2 ? y 0 ( x0 ? 2) 2 ? y 0
PA :

……………………12 分

化简整理得: 8 x0 ? 40 x0 ? 32 ? 8 y 0 ? 0
6 南京清江花苑严老师

2

2

∵ 点在椭圆上,∴ x0 2 ? 2 y0 2 ? 8 解得: x0 ? 2 或 x0 ? 8 (舍)

x0 ? 2 时, y 0 ? ? 2 , r ? 1 ,

………………………15 分

∴ 椭圆上存在点 P ,其坐标为 (2, 2 ) 或 (2,? 2 ) ,使得直线 PF1 , PF2 与以 Q 为圆心的圆 …………………………………………16 分 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 相切 19.

20.(1)由 sin(x ? a) ? sin(? x) 得 sin(x ? a) ? ? sin x ∴ a ? 2k? ? ? , k ? z ∴函数 y ? sin x 具有“ P(a) 性质” ,其中 a ? 2k? ? ? , k ? z …………………2 分 (2) ∵ y ? f ( x) 具有“ P(0) 性质” ∴ f ( x) ? f (? x) 设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,∴ f ( x) ? f (? x) ? (? x ? m) 2 ? ( x ? m) 2 ∴ f ( x) ? ?
2 ? ?( x ? m) , x ? 0 ……………………………………4 分 2 ? ( x ? m ) , x ? 0 ?

2 当 m ? 0 时,∵ y ? f ( x) 在 [0,1] 单调增,∴ x ? 1 时, y max ? (1 ? m) ………………5 分

当0 ? m ?

1 时,∵ y ? f ( x) 在 [0, m] 单调减,在 [m,1] 上单调增 2

2 2 2 又 f (0) ? m ? f (1) ? (1 ? m) ,∴ x ? 1 时, y max ? (1 ? m) ……………………6 分

当m ?

1 时,∵ y ? f ( x) 在 [0, m] 单调减,在 [m,1] 上单调增 2

2 2 2 又 f (0) ? m ? f (1) ? (1 ? m) ,∴ x ? 0 时, y max ? m ………………………………7 分

综上得当 m ?

1 1 2 2 时, y max ? f (1) ? (1 ? m) ,当 m ? 时, y max ? f (0) ? m ……8 分 2 2

(3) ∵函数 g ( x) 具有“ P(?1) 性质” ∴ g (1 ? x) ? g (?x), g (?1 ? x) ? g (?x) ∴ g ( x ? 2) ? g (1 ? 1 ? x) ? g (?1 ? x) ? g ( x) , ∴函数 g ( x) 是以 2 为周期的函数………………………………………………9 分
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1 3 1 1 ? x ? ,则 ? ? 1 ? x ? , 2 2 2 2

g( x) ? g( x ? 2) ? g(?1 ? x ? 1) ? g(?x ? 1) ?| ?x ? 1 |?| x ? 1 |? g( x ? 1)
1 1 ? x ? n ? ,n? z 2 2 1 1 1 1 当 n ? 2k (k ? z ), 2k ? ? x ? 2k ? ,则 ? ? x ? 2k ? 2 2 2 2
再设 n ?

g( x) ? g( x ? 2k ) ?| x ? 2k |?| x ? n |
当 n ? 2k ? 1(k ? z ), 2k ? 1 ?

1 1 1 3 ? x ? 2k ? 1 ? ,则 ? x ? 2k ? 2 2 2 2

g ( x) ? g( x ? 2k ) ?| x ? 2k ? 1 |?| x ? n |
1 1 ? x ? n ? , n ? z ,都有 g ( x) ?| x ? n | 2 2 1 1 而 n ?1? ? x ?1 ? n ?1? 2 2
∴对于 n ? ∴ g ( x ? 1) ?| ( x ? 1) ? (n ? 1) |?| x ? n |? g ( x) ∴函数 g ( x) 是以 1 为周期的函数 ……………………………………12 分

①当 m ? 0 时,要使得 y ? g ( x) 与 y ? mx 有 2013 个交点,只要 y ? mx 与 y ? g ( x) 在区 间 [0,1006) 有 2012 个交点,而在 [1006,1007] 内有一个交点

2013 1 1 , ) ,从而得 m ? …………………………………14 分 2 2 2013 1 ②当 m ? 0 时,同理可得 m ? ? 2013 ③当 m ? 0 时,不合题意 1 综上所述 m ? ? …………………………………………………………16 分 2013
∴ y ? mx 过 (

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