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东北三省四市教研联合体2015届高考数学二模试卷(理科)


东北三省四市教研联合体 2015 届高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选項中,只有一项 是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|﹣1≤x≤1},B={x|x ﹣2x≤0},则 A∩B=() A.[﹣1,0] B.[﹣1,2] C.[0,1] D.(﹣∞,1]∪[2,+∞) 2. (

5 分)设复数 z=1+i(i 是虚数单位) ,则 +z =() A.1+i B.1﹣i C.﹣1﹣i D.﹣1+i
2 2

3. (5 分)已知| |=1,| |= A. B.

,且 ⊥( ﹣ ) ,则向量 与向量 的夹角为() C. D.
2 2 2

4. (5 分)已知△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a =b +c ﹣bc,bc=4, 则△ ABC 的面积为() A. B. 1 C. D.2
2

5. (5 分)已知 a∈{﹣2,0,1,3,4},b∈{1,2},则函数 f(x)=(a ﹣2)x+b 为增函数的 概率是() A. B. C. D.

6. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的 S 为 的内容可以是()

,则判断框中填写

A.n=6

B.n<6

C . n≤6

D.n≤8

7. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面

体的体积为() A. B.64 C.
2

D.

8. (5 分)已知直线 y=2 若 A. ? =0,则 m=() B.

(x﹣1)与抛物线 C:y =4x 交于 A,B 两点,点 M(﹣1,m) ,

C.

D.0

9. (5 分)对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)成为 M 函数:①对 任意的 x∈[0,1]恒有 f(x)≥0;②当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,总有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2) 成立,则下列函数不是 M 函数的是() 2 x 2 2 A.f(x)=x B.f(x)=2 ﹣1 C.f(x)=ln(x +1) D.f(x)=x +1

10. (5 分)在平面直角坐标系中,若 P(x,y)满足

,则当 xy 取得最大值时,

点 P 的坐标为() A.(4,2) B.(2,2) C.(2,6) D.( ,5)

11. (5 分)已知双曲线

=1(a>0,b>0)与函数 y=

的图象交于点 P,若函数 y=

的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F(﹣1,0) ,则双曲线的离心率是() A. B. C.
x+y﹣2 x﹣y﹣2

D.

12. (5 分)若对?x,y∈[0,+∞) ,不等式 4ax≤e () A. B. 1

+e

+2 恒成立,则实数 a 的最大值是 D.

C. 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13. (5 分)函数 y= 的单调递增区间是.

14. (5 分) (x﹣

) 的展开式中常数项为.

6

15. (5 分)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递增,且 f(1)=0,则不等式 f (x﹣2)≥0 的解集是. 16. (5 分)底面是同﹣个边长为 a 的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球,它们顶点的连 线为球的直径且垂直于底面,球的半径为 R,设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分別为 α、 β,则 tan(α+β)的值为.

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1+a7=﹣9,S9=﹣ (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn>﹣ . .

18. (12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠DAB=60°, PD⊥平面 ABCD, PD=AD=1,点 E,F 分别为 AB 和 PD 中点. (Ⅰ)求证:直线 AF∥平面 PEC; (Ⅱ)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.

19. (12 分)某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮训练,每人 投 10 次,投中的次数统计如下表: 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 5 7 9 8 乙班 4 8 9 7 7 (1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明) ;

(2)若把上表数据作为学生投篮命中率,规定两个班级的 1 号和 2 号同学分别代表自己的班 级参加比赛,每人投篮一次,将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作 M,N 和 Y, 试求 X 和 Y 的分布列和数学期望.

20. (12 分)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 证明: 过椭圆 C1:
2 2

+

=1(a>b>0)的上顶点为(0,1) ,且离心率为



+

=1 (m>n>0) 上一点 Q (x0, y0) 的切线方程为

+

=1;

(Ⅲ)过圆 x +y =16 上一点 P 向椭圆 C 引两条切线,切点分别为 A,B,当直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 M,N 两点时,求|MN|的最小值.
2x﹣2 2

21. (12 分)若定义 R 在上的函数 f(x)满足 f(x)= =f( )﹣ x +(1+a)x+a
2

?e

+x ﹣2f(0)x,g(x)

(Ⅰ)求函数 f(x)解析式; (Ⅱ)求函数 g(x)单调区间; (Ⅲ)当 a≥2 且 x≥1 时,试比较| ﹣lnx|+lnx 和 g′(x﹣1)的大小,并说明理由.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分?选修 4-1:几何 证明选讲 22. (10 分)如图所示,AB 为圆 O 的直径,BC 为圆 O 的切线,连接 OC,D 为圆 O 上一点, 且 AD∥OC. (1)求证:CO 平分∠DCB; (2)已知 AD?OC=8,求圆 O 的半径.

选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) .

(1)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (2)已知 A(﹣2,0) ,B(0,2) ,圆 C 上任意一点 M(x,y) ,求△ ABM 面积的最大值.

选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|2x+2|﹣|x﹣2|. (Ⅰ)求不等式 f(x)>2 的解集; (Ⅱ)若?x∈R,f(x)≥t ﹣ t 恒成立,求实数 t 的取值范围.
2

东北三省四市教研联合体 2015 届高考数学二模试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选項中,只有一项 是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={x|﹣1≤x≤1},B={x|x ﹣2x≤0},则 A∩B=() A.[﹣1,0] B.[﹣1,2] C.[0,1] D.(﹣∞,1]∪[2,+∞) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接由一元二次不等式化简集合 B,则 A 交 B 的答案可求. 2 解答: 解:∵B={x|x ﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}, ∴A∩B={x|﹣1≤x≤1}∩{x|0≤x≤2}={x|0≤x≤1}. 则 A∩B 的区间为:[0,1]. 故选 C. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题.
2 2

2. (5 分)设复数 z=1+i(i 是虚数单位) ,则 +z =() A.1+i 考点: 专题: 分析: 解答: 则 +z =
2

B.1﹣i

C.﹣1﹣i

D.﹣1+i

复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 2 解:∵复数 z=1+i,∴z =2i, = =1﹣i+2i=1+i,

故选:A. 点评: 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题,

3. (5 分)已知| |=1,| |=

,且 ⊥( ﹣ ) ,则向量 与向量 的夹角为()

A.

B.

C.

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据已知条件即可得到 从而求得 cos 解答: 解:∵ ; ∴ ∴ ∴向量 与 的夹角为 ; . ; = ,所以 的夹角. ,

,根据向量夹角的范围即可得出向量 ;

故选 B. 点评: 考查非零向量垂直的充要条件,数量积的计算公式,以及向量夹角的范围. 4. (5 分)已知△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a =b +c ﹣bc,bc=4, 则△ ABC 的面积为() A. B. 1 C. D.2
2 2 2

考点: 专题: 分析: 得解. 解答:

余弦定理. 解三角形. 由已知及余弦定理可求 cosA,从而可求 sinA 的值,结合已知由三角形面积公式即可 解:∵a =b +c ﹣bc, = = ,又 0<A<π,
2 2 2

∴由余弦定理可得:cosA= ∴可得 A=60°,sinA= ∵bc=4, ∴S△ ABC= bcsinA= = . ,

故选:C. 点评: 本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式的应用,解题时要注意角范围的讨论, 属于基本知识的考查.

5. (5 分)已知 a∈{﹣2,0,1,3,4},b∈{1,2},则函数 f(x)=(a ﹣2)x+b 为增函数的 概率是() A. B. C. D.

2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 首先求出所以事件个数就是集合元素个数 5, 然后求出满足使函数为增函数的元素个 数为 3,利用公式可得. 2 解答: 解:从集合{﹣2,0,1,3,4}中任选一个数有 5 种选法,使函数 f(x)=(a ﹣2) x+b 为增函数的是 a ﹣2>0 解得 a>
2

或者 a<
2

,所以满足此条件的 a 有﹣2,3,4 共

有 3 个,由古典概型公式得函数 f(x)=(a ﹣2)x+b 为增函数的概率是 ; 故选:B. 点评: 本题考查了古典概型的概率求法;关键是明确所有事件的个数以及满足条件的事件 公式,利用公式解答.

6. (5 分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的 S 为 的内容可以是()

,则判断框中填写

A.n=6

B.n<6

C . n≤6

D.n≤8

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,n 的值,当 n=8 时,S= 意,此时应该不满足条件,退出循环,输出 S 的值为 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 S=0,n=2 满足条件,S= ,n=4 满足条件,S= = ,n=6 ,由题

,故判断框中填写的内容可以是 n≤6.

满足条件,S=

=

,n=8 ,

由题意,此时应该不满足条件,退出循环,输出 S 的值为

故判断框中填写的内容可以是 n≤6, 故选:C. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,正确写出每次循环得到的 S 的值是解题的关键, 属于基础题. 7. (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面

体的体积为() A. B.64 C. D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知,该多面体是一个四棱锥,且由一个顶点出发的三条棱两两垂直,长 度都为 4,代入棱锥体积公式,可得答案. 解答: 解:由三视图可知,该多面体是一个四棱锥, 且由一个顶点出发的三条棱两两垂直,长度都为 4, ∴其体积 V= ×4×4×4= ,

故选 D. 点评: 本小题主要考查立体几何中的三视图问题,并且对考生的空间想象能力及利用三视 图还原几何体的能力进行考查,同时考查简单几何体的体积公式. 8. (5 分)已知直线 y=2 若 A. ? =0,则 m=() B. C. D.0 (x﹣1)与抛物线 C:y =4x 交于 A,B 两点,点 M(﹣1,m) ,
2

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 直接利用直线方程与抛物线方程联立方程组求出 AB 坐标,通过数量积求解 m 即可.

解答: 解:由题意可得:

,8x ﹣20x+8=0,解得 x=2 或 x= ,

2

则 A(2,2

) 、B( , ?

) . =0, )=0. .

点 M(﹣1,m) ,若 可得(3,2 化简 2m ﹣2
2

m) ( ,﹣ m+1=0,解得 m=

故选:B. 点评: 本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,平面向量的数量积的应用,考查计算能 力. 9. (5 分)对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)成为 M 函数:①对 任意的 x∈[0,1]恒有 f(x)≥0;②当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,总有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2) 成立,则下列函数不是 M 函数的是() 2 x 2 2 A.f(x)=x B.f(x)=2 ﹣1 C.f(x)=ln(x +1) D.f(x)=x +1 考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据 M 函数的定义,由函数的单调性、函数的值域,或作差比较两个函数值的大小 的方法判断每个选项的函数是否满足条件①②,即可判断该函数是否为 M 函数. 解答: 解: A. ( f x) =x , 该函数显然满足①, ( f x1+x2) = (x1)+f(x2) ,即满足②; ∴该函数是 M 函数; x B.f(x)=2 ﹣1,x∈[0,1]时,显然 f(x)≥0,即满足①; x1≥0, x2≥0, ( f x1+x2) = , ( f x1+x2) ﹣[f (x1) +f (x2) ]= ≥0;
2

≥f

∴该函数为 M 函数; 2 C.f(x)=ln(x +1) ,显然满足①; ,f(x1)+f(x2) = ;

x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1; ∴2x1x2≥(x1x2)?(x1x2) ; ∴f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2) ,即满足②; ∴该函数是 M 函数; 2 D.f(x)=x +1,当 x1=0,x2=1 时,f(x1+x2)=2,f(x1)+f(x2)=3; ∴不满足②; ∴该函数不是 M 函数.

故选:D. 点评: 考查对 M 函数定义的理解,对数函数、指数函数的单调性,根据函数的单调性求函 数的范围,作差法比较两个函数值的大小,根据函数的单调性比较 f(x1+x2)与 f(x1)+f(x2) 的大小关系.

10. (5 分)在平面直角坐标系中,若 P(x,y)满足

,则当 xy 取得最大值时,

点 P 的坐标为() A.(4,2) B.(2,2) C.(2,6) D.( ,5)

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,设 z=xy,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图, 设 z=xy, 由图象知当直线 2x+y﹣10=0 与 z=xy 相切时,z 取得最大值, 将 y=10﹣2x 代入 z=xy 得 x(10﹣2x)=z, 即 2x ﹣10x+z=0, 则判别式△ =100﹣8z=0,即 z= x= 时,
2

= ,此时 y=10﹣2× =10﹣5=5,

故点 P 的坐标为( ,5) , 故选:D

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

11. (5 分)已知双曲线

=1(a>0,b>0)与函数 y=

的图象交于点 P,若函数 y=

的图象在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F(﹣1,0) ,则双曲线的离心率是() A. B. C. D.

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出切点坐标,通过导数求出切线方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出 切点坐标,然后求解双曲线的离心率. 解答: 解:设 ,函数 y= 的导数为:y′= ,∴切线的斜率为 ,

又∵在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F(﹣1,0) ,∴

,解得 x0=1,

∴P(1,1) ,可得

,c =a +b .c=1,解得 a=

2

2

2

因此

,故双曲线的离心率是



故选 A; 点评: 本小题主要考查过曲线外一点作曲线切线的基本方法,结合双曲线的标准方程与离 心率,对考生的运算求解能力和推理论证能力提出较高要求. 12. (5 分)若对?x,y∈[0,+∞) ,不等式 4ax≤e () A. B. 1
x+y﹣2

+e

x﹣y﹣2

+2 恒成立,则实数 a 的最大值是 D.

C. 2

考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用基本不等式和参数分离可得 a≤ = 在 x>0 时恒成立,构造函数 g(x)

,通过求导判断单调性求得 g(x)的最小值即可得到 a 的最大值.
y﹣2
﹣y﹣2

解答: 解:当 x=0 时,不等式即为 0≤e +e x+y﹣2 x﹣y﹣2 当 x>0 时,设 f(x)=e +e +2, x+y﹣2 x﹣y﹣2 不等式 4ax≤e +e +2 恒成立, 即为不等式 4ax≤f(x)恒成立. 即有 f(x)=e
x﹣2

+2,显然成立;

(e +e )+2≥e
x﹣2

y

﹣y

x﹣2

?2

+2=2+2e

x﹣2

(当且仅当 y=0 时,取等号) ,

由题意可得 4ax≤2+2e



即有 a≤ 令 g(x)=

在 x>0 时恒成立, ,g′(x)=
x﹣2



令 g′(x)=0,即有(x﹣1)e =1, x﹣2 x﹣2 令 h(x)=(x﹣1)e ,h′(x)=xe , 当 x>0 时 h(x)递增, 由于 h(2)=1,即有(x﹣1)e =1 的根为 2, 当 x>2 时,g(x)递增,0<x<2 时,g(x)递减, 即有 x=2 时,g(x)取得最小值,为 则有 a≤ . 当 x=2,y=0 时,a 取得最大值 . 故选:D 点评: 本题考查不等式恒成立问题注意转化为求函数的最值问题,运用参数分离和构造函 数运用导数判断单调性是解题的关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 13. (5 分)函数 y= 的单调递增区间是[0, ]. ,
x﹣2

考点: 两角和与差的余弦函数;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 化简可得 y=sin(x+ 增区间,结合 x∈[0, ) ,解不等式 2kπ﹣ ≤x+ ≤2kπ+ 可得函数所有的单调递

]可得. +cosxsin =sin(x+ ) ,

解答: 解:化简可得 y=sinxcos 由 2kπ﹣ ≤x+ ≤2kπ+

可得 2kπ﹣

≤x≤2kπ+ ,

,k∈Z, ],

当 k=0 时,可得函数的一个单调递增区间为[﹣ 由 x∈[0, ]可得 x∈[0, ]. ],

故答案为:[0,

点评: 本题考查两角和与差的三角函数,涉及三角函数的单调性,属基础题.
6

14. (5 分) (x﹣

) 的展开式中常数项为﹣ .

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第 r+1 项,令 x 的指数为 0 得常数项. 解答: 解:展开式的通项公式为 Tr+1=(﹣ ) C6 x 令 6﹣2r=0 得 r=3, 得常数项为 C6 (﹣ ) =﹣ . 故答案为:﹣ . 点评: 二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具. 15. (5 分)已知定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递增,且 f(1)=0,则不等式 f (x﹣2)≥0 的解集是{x|x≥3 或 x≤1}. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系,将不等式进行转化,即可得到不等式的解 集. 解答: 解:∵偶函数 f(x)在[0,+∞)上为增函数,f(1)=0, ∴不等式 f(x﹣2)≥0 等价为 f(|x﹣2|)≥f(1) , 即|x﹣2|≥1, 即 x﹣2≥1 或 x﹣2≤﹣1, 即 x≥3 或 x≤1, 故不等式的解集为{x|x≥3 或 x≤1}, 故答案为:{x|x≥3 或 x≤1}. 点评: 本题主要考查不等式的解法,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的 关键,综合考查函数性质的应用. 16. (5 分)底面是同﹣个边长为 a 的正三角形的两个三棱锥内接于同一个球,它们顶点的连 线为球的直径且垂直于底面,球的半径为 R,设两个三棱锥的侧面与底面所成的角分別为 α、 β,则 tan(α+β)的值为 .
3 3 r r 6﹣2r



考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值;空间位置关系与距离. 分析: 由题意画出图象以及过球心的截面圆,由球和正三棱锥的几何特征可得:两个正三 棱锥的侧面与底面所成的角分别为 α、β,再求出涉及的线段的长度,根据两角和的正切函数 和正切函数的定义求出 tan(α+β)的值. 解答: 解:由题意画出图象如下图:

由图得,右侧为该球过 SA 和球心的截面,由于三角形 ABC 为正三角形, 所以 D 为 BC 中点,且 AD⊥BC,SD⊥BC,MD⊥BC, 故∠SDA=α,∠MDA=β. 设 SM∩平面 ABC=P,则点 P 为三角形 ABC 的重心,且点 P 在 AD 上,SM=2R,AB=a, ∴ ,

因此

=



故答案为:



点评: 本题通过对球的内接几何体的特征考查利用两角和的正切函数的进行计算,对考生 的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求, 本题是一道综合题, 属于 较难题. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1+a7=﹣9,S9=﹣ (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn>﹣ . .

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (I)设数列{an}的公差为 d,由于 a1+a7=﹣9,S9=﹣

,利用等差数列的通项公式

及前 n 项和公式可得

,解出即可;

(Ⅱ)利用等差数列的前 n 项和公式可得 Sn= ,利用“裂项求和”及“放缩法”即可证明. 解答: (Ⅰ)解:设数列{an}的公差为 d, ∵a1+a7=﹣9,S9=﹣ ,

,于是 bn=﹣

=﹣





解得

,∴

=﹣



(Ⅱ)证明:∵Sn= ∴bn= =﹣ =﹣

= ,



∴数列{bn}的前 n 项和为 Tn=﹣ +…+ = = . ∴Tn>﹣ . 点评: 本题考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式、“裂项求和”方法、“放缩法”,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (12 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠DAB=60°, PD⊥平面 ABCD, PD=AD=1,点 E,F 分别为 AB 和 PD 中点. (Ⅰ)求证:直线 AF∥平面 PEC; (Ⅱ)求 PC 与平面 PAB 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)首先利用中点引出中位线,进一步得到线线平行,再利用线面平行的判定定 理得到结论. (Ⅱ)根据直线间的两两垂直,尽力空间直角坐标系,再求出平面 PAB 的法向量,最后利用 向量的数量积求出线面的夹角的正弦值. 解答: 解: (Ⅰ)证明:作 FM∥CD 交 PC 于 M. ∵点 F 为 PD 中点, ∴ .

∵点 E 为 AB 的中点. ∴ ,

又 AE∥FM, ∴四边形 AEMF 为平行四边形, ∴AF∥EM, ∵AF?平面 PEC,EM?平面 PEC, ∴直线 AF∥平面 PEC.

(Ⅱ)已知∠DAB=60°, 进一步求得:DE⊥DC, 则:建立空间直角坐标系, 则 P(0,0,1) ,C(0,1,0) ,E( A( 所以: ,﹣ ,0) ,B( , ,0) . , . ,0,0) ,

设平面 PAB 的一个法向量为:

, .





则:



解得:



所以平面 PAB 的法向量为: ∵ ∴设向量 和 ∴cosθ= , 的夹角为 θ, ,

∴PC 平面 PAB 所成角的正弦值为



点评: 本题考查的知识要点:线面平行的判定的应用,空间直角坐标系的建立,法向量的 应用,线面的夹角的应用,主要考查学生的空间想象能力和应用能力. 19. (12 分)某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮训练,每人 投 10 次,投中的次数统计如下表: 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 5 7 9 8 乙班 4 8 9 7 7 (1)从统计数据看,甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明) ; (2)若把上表数据作为学生投篮命中率,规定两个班级的 1 号和 2 号同学分别代表自己的班 级参加比赛,每人投篮一次,将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作 M,N 和 Y, 试求 X 和 Y 的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;极差、方差与标准差;离散型随机变量的期望与方差.

专题: 概率与统计. 分析: (1)求出两个班数据的平均值都为 7,求出甲班的方差,乙班的方差,推出结果即 可. (2)X、Y 可能取 0,1,2,求出概率,得到分布列,然后分别求解期望. 解答: 解: (1)两个班数据的平均值都为 7, 甲班的方差 ,

乙班的方差 因为 ,甲班的方差较小,所以甲班的成绩比较稳定. (4 分) , ,



(2)X 可能取 0,1,2, , 所以 X 分布列为: X 0 P (6 分) 数学期望 Y 可能取 0,1,2, , 所以 Y 分布列为: Y 0 P (10 分) 数学期望

1

2

(8 分) , ,

1

2

. (12 分)

点评: 本小题主要考查统计与概率的相关知识,其中包括方差的求法、基本概率的应用以 及离散型随机变量的数学期望的求法.本题主要考查学生的数据处理能力.

20. (12 分)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 证明: 过椭圆 C1: +

+

=1(a>b>0)的上顶点为(0,1) ,且离心率为



=1 (m>n>0) 上一点 Q (x0, y0) 的切线方程为

+

=1;

(Ⅲ)过圆 x +y =16 上一点 P 向椭圆 C 引两条切线,切点分别为 A,B,当直线 AB 分别与 x 轴、y 轴交于 M,N 两点时,求|MN|的最小值. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 专题: 直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ)运用离心率公式和椭圆的 a,b,c 的关系,解得 a,b,进而得到椭圆方程; (Ⅱ)讨论直线的斜率不存在和存在,设出直线方程,联立椭圆方程,运用判别式为 0,解得 方程的一个跟,得到切点坐标和切线的斜率,进而得到切线方程; 2 2 (Ⅲ)设点 P(xP,yP)为圆 x +y =16 上一点,求得切线 PA,PB 的方程,进而得到切点弦方 程,再由两点的距离公式可得|MN|,结合基本不等式,即可得到最小值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可得 b=1,e= = 又 a ﹣b =c ,解得 a=2,b=1, 即有椭圆 C 方程为 +y =1.
2 2 2 2

2

2



(Ⅱ)证明:当斜率存在时,设切线方程为 y=kx+t,联立椭圆方程 可得 n x +m (kx+t) =m n ,化简可得: 2 2 2 2 2 2 2 2 (n +m k )x +2m ktx+m (t ﹣n )=0,① 4 22 2 2 2 2 2 2 由题可得:△ =4m k t ﹣4m (n +m k ) (t ﹣n )=0 2 2 2 2 化简可得:t =m k +n ,①式只有一个根,记作 x0, x0=﹣ =﹣ ,x0 为切点的横坐标,
2 2 2 2 2 2

+

=1,

切点的纵坐标 y0=kx0+t= 所以 =﹣



,所以 k=﹣



所以切线方程为:y﹣y0=k(x﹣x0) =﹣ (x﹣x0) ,

化简得:

+

=1.

当切线斜率不存在时,切线为 x=±m,也符合方程

+

=1,

综上

+

=1(m>n>0)上一点 Q(x0,y0)的切线方程为
2 2

+

=1;

(Ⅲ)设点 P(xP,yP)为圆 x +y =16 上一点,

PA,PB 是椭圆

+y =1 的切线, +y1y=1,

2

切点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,过点 A 的椭圆的切线为 过点 B 的椭圆的切线为 由两切线都过 P 点, +y2y=1. +y1yP=1, +y2yP=1

即有切点弦 AB 所在直线方程为 M(0, ) ,N( ,0) ,

+yyP=1.

|MN| =

2

+

=(

+

)?

=

(17+

+

)≥

(17+2

)=



当且仅当

=

即 xP =

2

,yP =

2

时取等,

则|MN|

,即|MN|的最小值为 .

点评: 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,考查直线和椭 圆的位置关系,联立直线和椭圆方程,运用判别式为 0,考查化简整理的运算能力,以及基本 不等式的运用,属于中档题.
2x﹣2 2

21. (12 分)若定义 R 在上的函数 f(x)满足 f(x)= =f( )﹣ x +(1+a)x+a
2

?e

+x ﹣2f(0)x,g(x)

(Ⅰ)求函数 f(x)解析式; (Ⅱ)求函数 g(x)单调区间; (Ⅲ)当 a≥2 且 x≥1 时,试比较| ﹣lnx|+lnx 和 g′(x﹣1)的大小,并说明理由.

考点: 利用导数研究函数的单调性;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)通过函数的导数,利用 f′(1)=f′(1)+2﹣2f(0) ,求出 f(0) ,结合 ,求解函数的解析式. (Ⅱ)求出函数的导数 g′(x)=e +a,结合 a≥0,a<0,分求解函数的单调区间即可.
x

(Ⅲ)构造

,通过函数的导数,判断函数

的单调性,结合当 1≤x≤e 时,当 x>e 时,当 1≤x≤e 时,推出 m(x)≤m(1)=e﹣1﹣a,得到 ,构造 n(x)=2lnx﹣e 然后证明结果. 解答: (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)f′(x)=f′(1)e +2x﹣2f(0) , . 所以 f′(1)=f′(1)+2﹣2f(0) ,即 f(0)=1…(1 分) 又
2x 2 2x﹣2 x﹣1

﹣a,通过函数的导数判断单调性,

,所以 f'(1)=2e ,…(2 分)

2

所以 f(x)=e +x ﹣2x…(3 分) 2x 2 x (Ⅱ)∵f(x)=e ﹣2x+x ,∴g(x)=e +ax+a..…(4 分) x ∴g(x)=e +a..…(5 分) a≥0,g′(x)>0,函数 f(x)在 R 上单调递增; .…(6 分) x a<0 令 g(x)=e +a=0,得 x=ln(﹣a) 函数 g(x)的单调递增区间为(ln(﹣a) ,+∞) , 单调递减区间为(﹣∞,ln(﹣a) ) . .…(7 分) (Ⅲ)解:设 ∵ , ,∴p(x)在 x∈[1,+∞)上为减函数,

又 p(e)=0,∴当 1≤x≤e 时,p(x)≥0, 当 x>e 时,p(x)<0…(8 分) 当 1≤x≤e 时, 设 ,则 ,

∴m(x)在 x∈[1,+∞)上为减函数,∴m(x)≤m(1)=e﹣1﹣a, ∵a≥2,∴m(x)<0,∴ x>e 时, 设 n(x)=2lnx﹣e
x﹣1

..…(9 分)

﹣a,则



∴n′(x)在 x>e 时为减函数,∴ ∴n(x)在 x>e 时为减函数,∴n(x)<n(e)=2﹣a﹣e ∴ 综上: ..…(11 分) …(12 分)
e﹣1

, <0,

点评: 本题考查函数的导数的应用,构造法以及二次求解导数以及单调性的应用,考查分 析问题解决问题的能力. 请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题记分?选修 4-1:几何 证明选讲 22. (10 分)如图所示,AB 为圆 O 的直径,BC 为圆 O 的切线,连接 OC,D 为圆 O 上一点, 且 AD∥OC. (1)求证:CO 平分∠DCB; (2)已知 AD?OC=8,求圆 O 的半径.

考点: 相似三角形的判定. 专题: 推理和证明. 分析: (1)首先利用三角形的全等的判定证明△ BCD 为等腰三角形,从而得出结论. (2)利用三角形的相似进一步得出线段成比例最后转化出结果. 解答: 证明: (1)连接 OD,BD, AB 是直径, 所以:AB⊥BD, OC⊥BD.…(1 分) AD∥OC, 所以:∠BOE=∠DOE 设 BD∩OC=E,且 OD=OB,OE=OE, 所以:△ BOE≌△DOE, 则:BE=DE,BD⊥OC, 所以:CO 平分∠DCB. (2)由于:AO=OD, 所以:∠OAD=∠ODA, AD∥OC, 所以:∠DOC=∠ODA, 则:∠OAD=∠DOC,…(7 分) 所以:Rt△ BDA∽Rt△ CDO, 所以:AD?OC=AB?OD=2OD =8 所以所求的圆的半径为 2. 点评: 本题考查的知识要点:三角形全等和三角形相似的判定和性质的应用,平行线性质 的应用. 选修 4-4:坐标系与参数方程 23.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 (θ 为参数) .
2

(1)以原点为极点、x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (2)已知 A(﹣2,0) ,B(0,2) ,圆 C 上任意一点 M(x,y) ,求△ ABM 面积的最大值. 考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)圆 C 的参数方程为 ,通过三角函数的平方关系式消去参数 θ,

得到普通方程.通过 x=ρcosθ,y=ρsinθ,得到圆 C 的极坐标方程. (2)求出点 M(x,y)到直线 AB:x﹣y+2=0 的距离,表示出△ ABM 的面积,通过两角和 的正弦函数,结合绝对值的几何意义,求解△ ABM 面积的最大值. 解答: 解: (1)圆 C 的参数方程为
2 2

(θ 为参数)

所以普通方程为(x﹣3) +(y+4) =4. (2 分) , 2 2 x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得(ρcosθ﹣3) +(ρsinθ+4) =4, 2 化简可得圆 C 的极坐标方程:ρ ﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0. (5 分) (2)点 M(x,y)到直线 AB:x﹣y+2=0 的距离为 △ ABM 的面积 所以△ ABM 面积的最大值为 (10 分) 点评: 本小题主要考查极坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程与平面直 角坐标方程的互化、 平面内直线与曲线的位置关系等内容. 本小题考查考生的方程思想与数形 结合思想,对运算求解能力有一定要求. 选修 4-5:不等式选讲 24.设函数 f(x)=|2x+2|﹣|x﹣2|. (Ⅰ)求不等式 f(x)>2 的解集; (Ⅱ)若?x∈R,f(x)≥t ﹣ t 恒成立,求实数 t 的取值范围.
2

(7 分)

考点: 绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: (Ⅰ)根据函数 f(x)=

,分类讨论,求得 f(x)>2 的解集.

(Ⅱ)由 f(x)的解析式求得 f(x)的最小值为 f(﹣1)=﹣3,再根据 f(﹣1)≥t ﹣ ,求 得实数 t 的取值范围.

2

解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)=|2x+2|﹣|x﹣2|=



当 x<﹣1 时,不等式即﹣x﹣4>2,求得 x<﹣6,∴x<﹣6. 当﹣1≤x<2 时,不等式即 3x>2,求得 x> ,∴ <x<2. 当 x≥2 时,不等式即 x+4>2,求得 x>﹣2,∴x≥2. 综上所述,不等式的解集为{x|x> 或 x<﹣6}.
2

(Ⅱ)由以上可得 f(x)的最小值为 f(﹣1)=﹣3,若?x∈R,f(x)≥t ﹣ t 恒成立, 只要﹣3≥t ﹣ t,即 2t ﹣7t+6≤0,求得 ≤t≤2. 点评: 题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,体现了转化、分类讨论的数 学思想,属于中档题.
2 2


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