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球的体积和表面积课件(上课)


? 你能认出这两幅图片中的人是谁吗?

1、熟练应用球的体积和表面积公式; 2、利用球的体积和表面积公式解决 与球有关的组合体的计算问题.

自我加油站:
? 自主快速阅读课本27、28页,

标记重要公式。

新知探究

1、球的认识
半径
O

球心

思考:用一个平面去截一个球,截面是什么?
用一个截面去截

一个球,截面是
圆面。

O

球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆。 球面被不过球心的平面截得的圆叫做小圆。

新知探究 2、 球的表面积

S ? 4?R

2

球的体积:

o

4 3 V ? ?R 3
注:公式以后可以证明,现在会用即可。

思考:球的表面积公式和体积公式有什么不同之处?

典例讲解:
例1.如图,圆柱的底面直径与高 都等于球的直径.求证: (1)球的体积等于圆柱体积的三 分之二; (2)球的表面积与圆柱的侧面积 相等.
O

典例讲解:

证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R, 高为2R. 4 V球 ? ? R 3 3 2 3 V圆 柱 ? ? R ? 2R ? 2? R R O

2 ? V球 ? V圆柱 3 (2) S 球 ? 4?R 2
S圆柱侧 ? 2?R ? 2 R ? 4?R 2

? S 球 ? S圆柱侧

小试身手:(看谁回答的又快又准)
(1)把球的半径扩大为原来的3倍,则体积扩大为原来的 ________ 27 倍. (2)把球的表面积扩大到原来的2倍,那么体积扩大为原 来的_______ 2 2 倍. (3)三个球的表面积之比为1:2:3,则它们的体积之比为 _________. 1: 2 2: 3 3 (4)三个球的体积之比为1:8:27,则它们的表面积之比 为_1 : 4 : 9 .

探究一:球的内接问题 例2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各 个顶点都在球O的球面上,问球O的表面积。
分析:正方体内接于球,正方体的体对 角线B1D恰好过外接球的球心,B1D为球 的一条直径。 D A D1 A1 B C

O
C1 B1

解:在Rt?B1 D1 D中 : ( 2 R ) ? a ? ( 2a ) , 得
2 2 2

D
A D1 A1 B1 O B

C

3 R? a 2 ? S ? 4?R 2 ? 3?a 2

C1

练一练: 讲学案例三

探究二:球的截面问题

教学案例四:
? 平面 ? 截球O的球面所得圆的半径为1, 球心O到平面 ? 的距离为 2,则此球的 体积为( 4 3? )。

思考:如何利用已知 条件求出球的半径?

O

?

A

1

O1

2

球的截面问题:

? 用一个平面α去截一个球O,截面是圆面 设球心到截面的距离为d,截面圆的半径为r, 球的半径为R,则
O
R

d

球截面性质

A

r
2 2

O1

r ? R ?d

2

?

R

O

d
O1

A

r

探究三:球的组合体问题:

?教学案例5.
? 思考:由三视图可知原来的几何体是什么? 作出示意图。 ? 解:由三视图可知该几何体是由一个半球 和一个正方体组成的。

当堂练习:
? 教学案限时训练1T、2T。

师生小结
4 3 1、球的体积公式:V球 ? πR 3

S 球 ? 4?R 球的表面积公式:
2、球的截面圆性质:

2

r ? R ?d
2 2

2

作业:

?教学案课时作业。

谢谢!



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