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高中数学【配套Word版文档】8.2平面的性质及空间两直线的位置关系


§ 8.2
2014 高考会这样考

平面的性质及空间两直线的位置关系
1.考查点、线、面的位置关系,考查逻辑推理能力与空间想象能力;2.

考查公理、定理的应用,证明点共线、线共点、线共面的问题;3.运用公理、定理和结论证 明或判断一些空间图形的位置关系. 复习备考要这样做 1.理解、 熟记平面的性质公理, 灵活运用并

判断直线与平面的位置关系;

2.异面直线位置关系的判定是本节难点,可以结合实物、图形思考.

1.平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平 面内. 公理 2:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是 经过这个公共点的一条直线. 公理 3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面; 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面; 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
? ?共面直线?平行 ? ? ?相交 ? ?异面直线:不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角 ①定义: a, 是两条异面直线, 设 b 经过空间任意一点 O, 作直线 a′∥a, b′∥b, a′ 把 与 b′所成的锐角或直角叫做异面直线 a,b 所成的角. π ②范围:?0,2?. ? ? 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 5.平行公理(公理 4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.定理 Ⅰ.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等. Ⅱ.过平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的直线是异面直线.

[难点正本 疑点清源] 1.公理的用途 公理 1:①证明点在平面内;②证明直线在平面内. 公理 2:①确定两个平面的交线;②证明三点共线或三线共点. 公理 3:①确定一个平面的条件;②证明有关的点线共面问题. 2.正确理解异面直线的定义:异面直线不同在任何一个平面内,没有公共点.不能错误地 理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.

1.在下列命题中,所有正确命题的序号是________. ①平面 α 与平面 β 相交,它们只有有限个公共点; ②经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; ③经过两条相交直线,有且只有一个平面; ④如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合; ⑤四边形确定一个平面. 答案 ②③④ 2.正方体各面所在平面将空间分成________部分. 答案 27 解析 如图,上下底面所在平面把空间分成三部分;左右两个侧面 所在平面将上面的每一部分再分成三个部分;前后两个侧面再将第 二步得到的 9 部分的一部分分成三部分,共 9×3=27 部分. 3.空间四边形 ABCD 中,各边长均为 1,若 BD=1,则 AC 的取值范围是________. 答案 (0, 3)

解析 如图所示, △ABD 与△BCD 均为边长为 1 的正三角形, 当△ABD 与△CBD 重合时,AC=0,将△ABD 以 BD 为轴转 动,到 A,B,C,D 四点再共面时,AC= 3,故 AC 的取值 范围是 0<AC< 3. 4. 已知 A、 表示不同的点,表示直线, β 表示不同的平面, B l α、 则下列推理错误的是________. ①A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α; ②A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB; ③l?α,A∈l?A?α; ④A∈α,A∈l,l?α?l∩α=A. 答案 ③ 5.平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为________. 答案 5

解析 如图, AB 共面也与 CC1 共面的棱有 CD, 与 BC, 1, 1, BB AA C1D1,共 5 条.

题型一 平面性质的应用 例1 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,对角线 A1C 与平面 BDC1 交于点 O,AC,BD 交于点

M,求证:点 C1,O,M 共线. 思维启迪: 证明点共线常用方法是取其中两点确定一直线, 再证明其余点也在该直线上. 证明 如图所示,∵A1A∥C1C, ∴A1A,C1C 确定平面 A1C. ∵A1C?平面 A1C,O∈A1C, ∴O∈平面 A1C,而 O=平面 BDC1∩线 A1C, ∴O∈平面 BDC1, ∴O 在平面 BDC1 与平面 A1C 的交线上. ∵AC∩BD=M,∴M∈平面 BDC1 且 M∈平面 A1C, ∴平面 BDC1∩平面 A1C=C1M, ∴O∈C1M,即 C1,O,M 三点共线. 探究提高 (1)证明若干点共线也可以公理 3 为依据,找出两个平面的交线,然后证明各

个点都是这两平面的公共点. (2)利用类似方法也可证明线共点问题. 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点. 求证: (1)E、C、D1、F 四点共面; (2)CE、D1F、DA 三线共点. 证明 (1)连结 EF,CD1,A1B.

∵E、F 分别是 AB、AA1 的中点, ∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E、C、D1、F 四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1, ∴CE 与 D1F 必相交,设交点为 P,

则由 P∈CE,CE?平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1. 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA.∴CE、D1F、DA 三线共点. 题型二 空间两直线的位置关系 例2 如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点.问:

(1)AM 和 CN 是否是异面直线?说明理由; (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由. 思维启迪:第(1)问,连结 MN,AC,证 MN∥AC,即 AM 与 CN 共面;第(2)问可采用反 证法. 解 (1)不是异面直线.理由如下:

连结 MN、A1C1、AC. ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点, ∴MN∥A1C1. 又∵A1A 綊 C1C, ∴A1ACC1 为平行四边形, ∴A1C1∥AC,∴MN∥AC, ∴A、M、N、C 在同一平面内,故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)是异面直线.证明如下: ∵ABCD—A1B1C1D1 是正方体, ∴B、C、C1、D1 不共面. 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面 α,使 D1B?平面 α,CC1?平面 α, ∴D1、B、C、C1∈α,与 ABCD—A1B1C1D1 是正方体矛盾. ∴假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线. 探究提高 (1)证明直线异面通常用反证法;(2)证明直线相交,通常用平面的基本性质,

平面图形的性质等. 已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是边 AB、AD 的中点,F、G 分别是 边 BC、CD 的中点. (1)求证:BC 与 AD 是异面直线; (2)求证:EG 与 FH 相交.

证明

(1)假设 BC 与 AD 共面,不妨设它们所共平面为 α,则 B、C、A、D∈α.

∴四边形 ABCD 为平面图形,这与四边形 ABCD 为空间四边形相矛盾.

∴BC 与 AD 是异面直线. (2)如图,连结 AC,BD, 则 EF∥AC,HG∥AC, 因此 EF∥HG;同理 EH∥FG, 则 EFGH 为平行四边形. 又 EG、FH 是?EFGH 的对角线, ∴EG 与 FH 相交. 题型三 异面直线所成的角 例3 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E、F 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小. 思维启迪:(1)平移 A1D 到 B1C,找出 AC 与 A1D 所成的角,再计算.(2)可证 A1C1 与 EF 垂直. 解 (1)如图所示,连结 B1C,由 ABCD—A1B1C1D1 是正方体,

易知 A1D∥B1C,从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角. ∵AB1=AC=B1C, ∴∠B1CA=60° . 即 A1D 与 AC 所成的角为 60° .

(2)如图所示,连结 AC、BD,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,

AC⊥BD,AC∥A1C1, ∵E、F 分别为 AB、AD 的中点, ∴EF∥BD, ∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90° . 探究提高 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型: 利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平 移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90° ,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于________. 答案 60° 解析 如图,可补成一个正方体, ∴AC1∥BD1. ∴BA1 与 AC1 所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1 为正三角形, ∴∠A1BD1=60° . 即 BA1 与 AC1 成 60° 的角.

点、直线、平面位置关系考虑不全面致误

典例:(5 分)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是________.(填序号) ①l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3; ②l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3; ③l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面; ④l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面. 易错分析 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑,这与在平面上考虑点、 线的位置关系相比复杂了很多,特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综 复杂、相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断.

答案 ② 解析 当 l1⊥l2,l2⊥l3 时,l1 与 l3 也可能相交或异面,故①不正确;当 l1∥l2∥l3 时,l1, l2,l3 未必共面,如三棱柱的三 条侧棱,故③不正确;l1,l2,l3 共点时,l1,l2,l3 未必共面,如正方体中从同一顶点出 发的三条棱,故④不正确. 温馨提醒 (1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立,如“垂直于同一条直

线的两条直线互相平行”在空间中不成立,所以在用一些平面几何中的定理和结论时, 必须说明涉及的元素都在某个平面内. (2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路:一是逐个判断,利用空间线面关系证明正 确的结论,寻找反例否定错误的结论;二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教 室)作出判断,但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致.

构造衬托平面研究直线相交问题

典例:(5 分)在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E,F 分别为棱 AA1,CC1 的中点,则在空间中 与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交的直线有________条. 审题视角 找三条异面直线都相交的直线,可以转化成在一个平面内,作与三条直线都 相交的直线.因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面.进而研究公共交 线问题. 解析 方法一 在 EF 上任意取一点 M, 直线 A1D1 与 M 确定一 个平面,这个平面与 CD 有且仅有 1 个交点 N,当 M 取不同的 位置时就确定不同的平面,从而与 CD 有不同的交点 N,而直 线 MN 与这 3 条异面直线都有交点.如图所示. 方法二 在 A1D1 上任取一点 P,过点 P 与直线 EF 作一个平面 α,因 CD 与平面 α 不平 行,所以它们相交,设它们交于点 Q,连结 PQ,则 PQ 与 EF 必然相交,即 PQ 为所求 直线.由点 P 的任意性,知有无数条直线与三条直线 A1D1,EF,CD 都相交. 答案 无数 温馨提醒 (1)本题难度不大,但比较灵活.对平面的基本性质、空间两条直线的位置关

系的考查,难度一般都不会太大. (2)误区警示:本题解法较多,但关键在于构造平面,但不少学生不会构造平面,因此失 分较多.这说明学生还是缺少空间想象能力,缺少对空间直线位置关系的理解.

方法与技巧 1.主要题型的解题方法 (1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或 点也在这个平面内(即“纳入法”). (2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公 共点,根据公理 2 可知这些点在交线上,因此共线. 2.判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理: 平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点 B 的直线是异面 直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面 问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关, 往往 可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解. 失误与防范 1.全面考虑点、线、面位置关系的情形,可以借助常见几何模型. 2.异面直线所成的角范围是(0° ,90° ].

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:62 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 35 分) 1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ______________条件. 答案 充分不必要 解析 若两条直线无公共点,则两条直线可能异面,也可能平行.若两条直线是异面直 线,则两条直线必无公共点. 2.下列命题正确的个数为________. ①经过三点确定一个平面 ②梯形可以确定一个平面 ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 ④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合. 答案 2 解析 经过不共线的三点可以确定一个平面,∴①不正确; 两条平行线可以确定一个平面,∴②正确;

两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,∴③正确; 命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确. 3.设 P 表示一个点,a、b 表示两条直线,α、β 表示两个平面,给出下列四个命题,其中 正确的命题是________.(填序号) ①P∈a,P∈α?a?α ②a∩b=P,b?β?a?β ③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α ④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b 答案 ③④ 解析 当 a∩α=P 时,P∈a,P∈α,但 a?α,∴①错;a∩β=P 时,②错; 如图,∵a∥b,P∈b,∴P?a, ∴由直线 a 与点 P 确定唯一平面 α, 又 a∥b,由 a 与 b 确定唯一平面 β,但 β 经过直线 a 与点 P, ∴β 与 α 重合,∴b?α,故③正确; 两个平面的公共点必在其交线上,故④正确. 4 . 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 过顶点 A1 与正方体其他顶点的连线 与直线 BC1 成 60° 角的条数为________. 答案 2 解析 有 2 条:A1B 和 A1C1. 5.平面 α、β 相交,在 α、β 内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个 平面. 答案 1 或 4 解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行,则确定一个平面;否 则确定四个平面. 6.下列命题中不正确的是________.(填序号) . ①没有公共点的两条直线是异面直线; ②分别和两条异面直线都相交的两直线异面; ③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行; ④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面. 答案 ①② 解析 没有公共点的两直线平行或异面,故①错;命题②错,此时两直线有可能相交; 命题③正确,因为若直线 a 和 b 异面,c∥a,则 c 与 b 不可能平行,用反证法证明如下: 若 c∥b,又 c∥a,则 a∥b,这与 a,b 异面矛盾,故 cD∥\b;命题④也正确,若 c 与两 异面直线 a,b 都相交,由公理 3 可知,a,c 可确定一个平面,b,c 也可确定一个平面,

这样,a,b,c 共确定两个平面. 7.(2011· 大纲全国)已知正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成角的余弦值为______. 2 答案 3 解析 取 A1B1 的中点 F,连结 EF,AF.

∵在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, EF∥B1C1,B1C1∥BC, ∴EF∥BC,∴∠AEF 即为异面直线 AE 与 BC 所成的角. 设正方体的棱长为 a, 1 5 则 AF= a2+? a?2= a,EF=a. 2 2 ∵EF⊥平面 ABB1A1,∴EF⊥AF, 3 ∴AE= AF2+EF2= a. 2 EF a 2 ∴cos ∠AEF= = = . AE 3 3 a 2 二、解答题(共 27 分) 8.(13 分) 如图所示,四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90° ,BC 綊 1 1 AD,BE 綊 FA,G、H 分别为 FA、FD 的中点. 2 2

(1)证明:四边形 BCHG 是平行四边形; (2)C、D、F、E 四点是否共面?为什么? (1)证明 由已知 FG=GA,FH=HD, 1 1 可得 GH 綊 AD.又 BC 綊 AD,∴GH 綊 BC, 2 2 ∴四边形 BCHG 为平行四边形. 1 (2)解 方法一 由 BE 綊 AF,G 为 FA 的中点知, 2 BE 綊 FG,∴四边形 BEFG 为平行四边形,∴EF∥BG.

由(1)知 BG 綊 CH,∴EF∥CH,∴EF 与 CH 共面. 又 D∈FH,∴C、D、F、E 四点共面.

方法二 如图所示,延长 FE,DC 分别与 AB 交于点 M,M′, 1 ∵BE 綊 AF,∴B 为 MA 的中点. 2 1 ∵BC 綊 AD, 2 ∴B 为 M′A 的中点, ∴M 与 M′重合,即 FE 与 DC 交于点 M(M′), ∴C、D、F、E 四点共面. 9. 分)如图, (14 在四棱锥 O—ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, OA⊥底面 ABCD, OA=2,M 为 OA 的中点. (1)求四棱锥 O—ABCD 的体积; (2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值的大小. 解 (1)由已知可求得,正方形 ABCD 的面积 S=4, 1 8 所以,四棱锥 O—ABCD 的体积 V= ×4×2= . 3 3 (2)连结 AC,设线段 AC 的中点为 E,连结 ME,DE, 则∠EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角(或其补角), 由已知,可得 DE= 2,EM= 3, MD= 5, ∵( 2)2+( 3)2=( 5)2, ∴△DEM 为直角三角形, DE 2 6 ∴tan∠EMD= = = . EM 3 3

B 组 专项能力提升 (时间:35 分钟,满分:58 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1. 如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且 C?l,直线 AB∩l=M,过 A,B,C 三点的平面记 作 γ,则 γ 与 β 的交线必通过点________.

答案 C、M 解析 ∵AB?γ,M∈AB,∴M∈γ. 又 α∩β=l,M∈l,∴M∈β. 根据公理 2 可知,M 在 γ 与 β 的交线上. 同理可知,点 C 也在 γ 与 β 的交线上. 2. 如图为棱长是 1 的正方体的表面展开图,在原正方体中,给出下列三个命题:

2 ; 2 1 ②三棱锥 C—DNE 的体积是 ; 6 π ③AB 与 EF 所成的角是 . 2 ①点 M 到 AB 的距离为 其中正确命题的序号是__________. 答案 ①②③ 1 2 解析 依题意可作出正方体的直观图,显然 M 到 AB 的距离为 MC= , 2 2 1 1 1 ∴①正确,而 VC—DNE= × ×1×1×1= ,∴②正确, 3 2 6 π AB 与 EF 所成角为 AB 与 MC 所成的角,即为 . 2 3.以下四个命题中 ①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则点 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是________. 答案 1 解析 ①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不 共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点 A、 B、C,但是若 A、B、C 共线,则结论不正确;③不正确;④不正确,因为此时所得的 四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形. 4.在图中,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、MN 是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)

答案 ②④ 解析 图①中,直线 GH∥MN; 图②中,G、H、N 三点共面,但 M?面 GHN, 因此直线 GH 与 MN 异面; 图③中,连结 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图④中,G、M、N 共面,但 H?面 GMN, 因此 GH 与 MN 异面. 所以图②、④中 GH 与 MN 异面. 5. 如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N 分别为 DE、BE、EF、EC 的中点,在这个 正四面体中,

①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60° 角; ④DE 与 MN 垂直. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 答案 ②③④ 解析 还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异面直线,GH 与 MN 成 60° 角,DE⊥MN. 6.(2012· 四川)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 CD、CC1 的中点,则 异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________.

答案 90° 解析 如图,取 CN 的中点 K,连结 MK,则 MK 为△CDN 的中位线,所以 MK∥DN.

所以∠A1MK 为异面直线 A1M 与 DN 所成的角. 连结 A1C1,AM.设正方体棱长为 4, 则 A1K= ?4 2?2+32= 41, 1 1 MK= DN= 42+22= 5, 2 2 A1M= 42+42+22=6, ∴A1M2+MK2=A1K2,∴∠A1MK=90° . 二、解答题(共 28 分) 7.(14 分)A 是△BCD 平面外的一点,E,F 分别是 BC,AD 的中点. (1)求证:直线 EF 与 BD 是异面直线; (2)若 AC⊥BD,AC=BD,求 EF 与 BD 所成的角. (1)证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线,则 EF 与 BD 共面,从而 DF 与 BE 共面,即 AD 与 BC 共面,所以 A、B、C、D 在同一平面内,这与 A 是△BCD 平面外的一点相矛盾. 故直线 EF 与 BD 是异面直线. (2)解 如图,取 CD 的中点 G,连结 EG、FG,则 EG∥BD,所以

相交直线 EF 与 EG 所成的角,即为异面直线 EF 与 BD 所成的角. 1 在 Rt△EGF 中,由 EG=FG= AC,求得∠FEG=45° ,即异面直 2 线 EF 与 BD 所成的角为 45° . 8.(14 分)如图,三棱锥 P—ABC 中,PA⊥平面 ABC,∠BAC=60° ,PA =AB=AC=2,E 是 PC 的中点.

(1)求异面直线 AE 和 PB 所成的角的余弦值; (2)求三棱锥 A—EBC 的体积. 解 (1)取 BC 的中点 F,连结 EF,AF,则 EF∥PB,

所以∠AEF 就是异面直线 AE 和 PB 所成角或其补角.

∵∠BAC=60° ,PA=AB=AC=2, PA⊥平面 ABC, ∴AF= 3,AE= 2,EF= 2, 2+2-3 1 cos∠AEF= = . 2× 2× 2 4 1 即异面直线 AE 和 PB 所成的角的余弦值为 . 4 1 1 3 (2)因为 E 是 PC 中点,所以 E 到平面 ABC 的距离为 PA=1,VA—EBC=VE—ABC= × 2 3 4 3 ×4×1= . 3


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