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四川省成都市2016


四川省成都市 2016-2017 学年高二数学下学期半期考试试题 理
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.欧拉公式 e ? cos x ? i sin x ( i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指
ix

数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,根据欧拉公式可知,表示

e

2? i 3

的复数在复平面中位于( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

2. O 为空间任意一点,若 OP ? A.一定不共面 B.一定共面

3 1 1 OA ? OB ? OC ,则 A, B, C, P 四点 ( ) 4 8 8
C.不一定共面
3

D.无法判断

3.用反证法证明命题“设 a , b 为实数,则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时,要做的 假设是(
3

) B.方程 x ? ax ? b ? 0 至多有一个实根
3 3

A.方程 x ? ax ? b ? 0 没有实根
3

C.方程 x ? ax ? b ? 0 至多有两个实根 D.方程 x ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根 4.定积分 A. e ? 2

? (2 x ? e )dx 的值为( )
x 0

1

B. e ? 1
3

C. e

D. e ? 1

5.若函数 f ( x) ? x ? ax ? A. (?

1 ,?? ) 2

1 1 在 ( ,?? ) 是增函教,则 a 的取值范围是( ) x 2 1 13 13 B. [? ,?? ) C. ( ,?? ) D. [ ,?? ) 2 4 4

6.已知函数 f ( x) ? x ? ln x ,则 f ( x) 的图象大致为( )

A.

B.

1

C.

D.

7.设不重合的两条直线 m 、 n 和三个平面 ? 、 ? 、 ? 给出下面四个命题: (1) ? ? ? ? m, n ∥ m ? n ∥? , n ∥ ? (3) ? ∥ ? ? m, m ? ? ? m ∥ ? 其中正确的命题个数是( ) A. 1 B. 2 C. (2) ? ? ? , m ? ? , m ? ? ? m ∥? (4) ? ? ? , ? ? ? ? ? ∥?

3

D. 4

8.设 a, b, c ? (??,0) ,则 a ? A.都不大于 ? 2 C.至少有一个不大于 ? 2

1 1 1 ,b ? ,c ? ( ) b c a
B.都不小于 ? 2 D.至少有一个不小于 ? 2 ) B. f ( 2 ) 是 f ( x) 的极大值但不是最大值 D. f ( x) 没有最大值也没有最小值
?

9.已知函数 f ( x) ? (2x ? x 2 )e2 ,则( A. f ( 2 ) 是 f ( x) 的极大值也是最大值 C. f ( 2 ) 是 f ( x) 的极小值也是最小值
?

10.如图,二面角 ? ? l ? ? 的大小是 45 ,线段 AB ? ? , B ? l , AB 与 l 所成的角为 30 , 则 AB 与平面 ? 所成的角的正弦值是( )

A.

1 2

B.

6 4

C.

3 2

D.

2 4

3 11.已知函数 f ( x) ? x ? 3x ,若过点 M (2, t ) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,则实数 t 的

取值范围是(

)

2

A. (?6,?2)

B. (?4,?2)

C.

(?6,2)

D. (0,2)

12.函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,对 ?x ? R ,都有 2 f ?( x) ? f ( x) 成立,若 f (ln 4) ? 2 , 则不等式 f ( x) ? e 2 的解是( A. (ln 4,??)
x

) C. (??, ln 4) 第Ⅱ卷(共 90 分) D. (1, ln 4)

B. (0, ln 4)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.设 a ? R ,若复数 (1 ? i)(a ? i) 在复平面内对应的点位于实轴上,则 a ? .

14.已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a ,点 E , F 分别是 BC, AD 的中 点,则 AE ? AF 的值为 .

15.分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦 B·曼德尔布罗特(Benoit B.Mandelbrot)在 20 世 纪 70 年代创立的一门新学科,它的创立为解决传统众多领域的难题提供了全新的思路.如 图是按照分形的规律生长成的一个树形图,则第 10 行的空心圆的个数是 .

16. 若 定 义 在 (0,??) 上 的 函 数 f ( x) 对 任 意 两 个 不 等 的 实 数 x1 , x2 都 有

x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ,则称函数 f ( x) 为“ z 函数”.给出下列四个定义
2 x ③ y ? e x (2 x ?1) ; ④ 在 (0,??) 的 函 数 : ① y ? ? x ? 1 ; ② y ? x ? s i n ;

y ? 2( x ? ln x) ?

2x ?1 ,其中“ z 函数”对应的序号为 x2



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知复数 z 满足 z ?1 ? i ? z ?1 ? i .试判断复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是什么 图形,并求出轨迹方程. 18. 如 图 所 示 , 在 三 棱 柱 ABC ? A?B?C ? 中 , AA? ? 底 面 ABC ,

AB ? BC ? AA? , ?ABC ? 90? , O 是侧面 AB B?A? 的中心,点 D 、 E 、 F 分别是棱 A?C ? 、
3

AB 、 BB? 的中点.

(1)证明 OD ∥ 平面 ABC ? ; (2)求直线 EF 和平面 ABC ? 所成的角. 19.观察下列等式

1?1

第一个式子 第二个式子 第三个式子 第四个式子

2?3? 4 ? 9 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 25 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 49
照此规律下去 (1)写出第 5 个等式;

(2)试写出第 n 个等式,并用数学归纳法验证是否成立. 20.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD ∥ BC , ?ADC ? 90 ,
?

平 面 PAD ? 底 面 ABC D , Q 为 AD 的 中 点 , M 是 棱 PC 上 的 点 , PA ? PD ? 2 ,

BC ?

1 AD ? 1 , CD ? 3 . 2

(1)求证:平面 MQB ? 平面 PAD ;

4

(2)若二面角 M ? BQ ? C 大小的为 60 ,求 QM 的长.
?

21.设函数 f ( x ) ?

1 2 x ? a ln x , g ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x( x ? 0, a ? R) . 2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 a ? 0 时,讨论函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象的交点个数. 22.已知 f ( x) ? x 2 ? mx? 1(m ? R) , g ( x) ? e x . (1)当 x ? [0,2] 时, F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 为增函数,求实数 m 的取值范围; (2)设函数 G( x) ?

f ( x) 1 5 , H ( x) ? ? x ? ,若不等式 G( x) ? H ( x) 对 x ? [0,5] 恒成立,求 g ( x) 4 4

实数 m 的取值范围; (3)若 m ? [?1,0] , 设函数 G( x) ?

f ( x) 1 5 , H ( x) ? ? x ? , 求证: 对任意 x1 , x2 ?[1,1 ? m] , g ( x) 4 4

G( x1 ) ? H ( x2 ) 恒成立.

5

高 2018 届数学试卷(理科)答案 一、选择题 1-4:BBACD 二、填空题 13. ? 1 三、解答题 17.解:由 z ?1 ? i ? z ?1 ? i 可知复数 z 是复平面内到两定点距离相等的点, 其轨迹是这两点连线的垂直平分线. 这两点坐标分别是 (?1,1) 和 (1,?1) ,在直线 y ? ? x 上且关于原点对称, 所以它的垂直平分线方程是 y ? x ,即复数 z 的轨迹方程是 y ? x .
2 2 法二:设 z ? x ? yi( x, y ? R) ,得 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ?

6-10: ABCAD

11、12:CA

14.

1 2 a 4

15.

21

16.②③④

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2

化简整理得 y ? x ,这是一条直线. 18.(1)证明:依题意可知侧面 AB B?A? 为正方形,连结 A?B 则 O 为 A?B 中点,

在 ?A?BC ? 中, O 、 D 分别是边 A?B 、 A?C ? 的中点,所以 OD ∥ BC ?

BC ? ? 面ABC ?? ? OD ? 面ABC ? ? ? OD ∥ 面ABC ? . OD ∥ BC ? ? ?
(2)连结 B?C 易得 BC ? ? B?C 先证明 B?C ? 面 ABC ?

由?ABC ? 90? ? AB ? BC ? AB ? B?C ? AB ? 面BCC ?B? ? ? AA? ? 底面ABC ? AA? ? AB ? ? ?? ? ? B?C ? 面ABC ? ? ? ? ? ? B C ? B C B C ? 面 BC C B ? ? ? AA? ∥ BB? ?
过 F 作 FH ∥ B?C 交 BC ? 于 H ,连结 EH ,则 ?FEH 即为直线 EF 和平面 ABC ? 所成的 角.
6

在 Rt ?FEH 中, FH ?

1 EF ,所以直线 EF 和平面 ABC ? 所成的角为 30? . 2
2

19.【解析】(1)第 5 个等式 5 ? 6 ? 7 ? ? ? ? ? 13 ? 9 ; (2)猜测第 n 个等式为 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ?1)2 ,再用数学归纳法加以 证明. 试题解析:(1)第 5 个等式 5 ? 6 ? 7 ? ? ? ? ? 13 ? 81 . (2)猜测第 n 个等式为 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ?1)2 . 证明:(1)当 n ? 1 时显然成立; (2)假设 n ? k (k ? 1, k ? N ? ) 时也成立, 即有 k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? ? ? (3k ? 2) ? (2k ?1)2 , 那么当 n ? k ? 1 时左边 ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? ? ? (3k ? 2) ? (3k ? 1) ? (3k ) ? (3k ? 1)

? k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? ? ? (3k ? 2) ? (2k ? 1) ? 3k ? 3k ? 1

? (2k ?1)2 ? (2k ?1) ? 3k ? 3k ? 1 ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 8k ? (2k ? 1)2 ? [2(k ? 1) ?1]2 .
而右边 ? [2(k ? 1) ?1] , 这就是说 n ? k ? 1 时等式也成立.
2

根据(1)(2)知,等式对任何 n ? N 都成立. 20.解:(1)∵ AD ∥ BC , BC ?

?

1 AD , Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴ CD ∥ BQ . ∵ ?ADC ? 90 ,即 QB ? AD .
?

又∵平面 PAD ? 底面 ABCD 且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,

7

∴ BQ ? 平面 PAD .∵ BQ ? 平面 MQB ,∴平面 MQB ? 平面 PAD . (2)∵ PA ? PD , Q 为 AD 的中点,∴ PQ ? AD . ∵平面 PAD ? 底面 ABCD ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,∴ PQ ? 平面 ABCD . 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系, 则 Q(0,0,0), A(1,0,0), P(0,0, 3), B(0, 3,0),C(?1, 3,0) , 由 PM ? ? PC ? ?(?1, 3,? 3) ,且 0 ? ? ? 1 ,得 M (??, 3?, 3 ? 3? ) , 所以 QM ? (??, 3?, 3 ? 3?) ,又 QB ? (0, 3,0) , ∴平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3 ,0,

1? ?

?

),

由题意知平面 BQC 的法向量为 n ? (0,0,1) . ∵二面角 M ? BQ ? C 大小的为 60 ,∴ cos60? ?
?

n?m

1 1 ? ,? ? ? , 2 nm 2

∴ QM ?

7 . 2
x2 ? a . x

21.解:(1)函数 f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ?( x) ?

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的增区间是 (0,??) ,无减区间; 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 当0? x ? 当x?

( x ? a )(x ? a ) . x

a 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减;

a 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增.

综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的增区间是 (0,??) ,无减区间; 当 a ? 0 时, f ( x) 的增区间是 ( a ,??) ,减区间是 (0, a ) . (2)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? 点个数.

1 2 x ? (a ? 1) x ? a ln x, x ? 0 ,问题等价于求函数 F ( x) 的零 2

8

1 2 x ? x, x ? 0 , F ( x) 有唯一零点; 2 ( x ? 1)( x ? a ) 当 a ? 0 时, F ?( x) ? ? . x
①当 a ? 0 时, F ( x ) ? ? ②当 a ? 1 时, F ?( x) ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时取等号,所以 F ( x) 为减函数.注意到

F (1) ?

3 ? 0, F (4) ? ? ln 4 ? 0 ,所以 F ( x) 在 (1,4) 内有唯一零点; 2

③当 a ? 1 时,当 0 ? x ? 1 ,或 x ? a 时, F ?( x) ? 0 ; 1 ? x ? a 时, F ?( x) ? 0 . 所以 F ( x) 在 (0,1) 和 ( a,??) 上单调递减,在 (1, a ) 上单调递增.注意到

F (1) ? a ?

1 a ? 0, F (a) ? (a ? 2 ? 2 ln a) ? 0, F (2a ? 2) ? ?a ln( 2a ? 2) ? 0 , 2 2

所以 F ( x) 在 (1,2a ? 2) 内有唯一零点; ④当 0 ? a ? 1 时, 0 ? x ? a ,或 x ? 1 时, F ?( x) ? 0 ; a ? x ? 1 时, F ?( x) ? 0 . 所以 F ( x) 在 (0, a ) 和 (1,??) 上单调递减,在 (a,1) 上单调递增.注意到

F (1) ? a ?

1 a ? 0, F (a) ? (a ? 2 ? 2 ln a) ? 0, F (2a ? 2) ? ?a ln( 2a ? 2) ? 0 , 2 2

所以 F ( x) 在 (1,2a ? 2) 内有唯一零点. 综上, F ( x) 有唯一零点,即函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且仅有一个交点. 22.解: (1)∵ F ( x) ? x ? mx? 1 ? e ,∴ F ?( x) ? 2 x ? m ? e .
2 x x x ∵ x ? [0,2] 时 F ( x) 为 增 函 数 , ∴ F ?( x) ? 2 x ? m ? e ? 0 对 x ? [0,2] 恒 成 立 , 即

m ? e x ? 2x .
令 h( x) ? e ? 2 x , x ? [0,2] ,则 h?( x) ? e ? 2 ,令 h?( x) ? 0 解得 x ? ln 2 .
x x 2 ∴ h( x) 在 [0, ln 2] 单减; (ln 2,2] 单增,∵ h(0) ? 1, h(2) ? e ? 4 ? 1 ,

h( x)max ? h(2) ? e2 ? 4 ,∴ m ? e 2 ? 4 .
(2) G( x) ? H ( x) , 即 x ? mx ? 1 ? e (?
2 x

1 5 1 5 x ? ) , 令 ? ( x) ? e x (? x ? ) , 4 4 4 4

? ?( x) ? e x (? x ? 1) ,
令 ? ?( x) ? 0 得 x ? 4 ,∴ ? ( x) 在 (??,4) 单增; (4,??) 单减,

1 4

9

又∵ ? ( x) ? 0 有唯一零点 x ? 5 ,所以可作出函数 ? ( x) 的示意图,要满足

?m ? ?对称轴 ? 0 解得 m ? ? 26 . m( x) ? x 2 ? mx? 1 ? ? ( x) 对 x ? [0,5] 恒成立只需 ? 2 5 ? ? m(5) ? 0
法二:∵ G( x) ? H ( x) 对 x ? [0,5] 恒成立,令 x ? 1 得 m ? e ? 2 ,

1 5 1 x ? ) ? ( x 2 ? mx ? 1) ,则 ? ?( x) ? e x (? x ? 1) ? 2 x ? m , 4 4 4 x 3? x ?2 , 令 n( x) ? ? ?( x) ,则 n?( x ) ? e ? 4 x 2? x 令 r ( x) ? n?( x) ,则 r ?( x ) ? e ? , 4
令 ? ( x) ? e (?
x

则 r ( x) 在 [0,2) 单增, (2,5] 单减; r (2) ?

e2 ? 2 ? 0 ,故 r ( x) ? 0 对 x ? [0,5] 恒成立. 4

∴ n( x) 在 x ? [0,5] 单减,∵ n(0) ? 1 ? m ? 0 ,无论 n( x) 在 x ? [0,5] 有无零点,

? ( x) 在 x ? [0,5] 上的最小值只可能为 ? (0) 或 ? (5) ,
要 ? ( x) ? e (?
x

1 5 x ? ) ? ( x 2 ? mx ? 1) ? 0 恒成立,∴ ? (0) ? 0 且 ? (5) ? 0 , 4 4

∴m ? ?

26 . 5

(3)对任意 x1 , x2 ?[1,1 ? m] , G( x1 ) ? H ( x2 ) 恒成立,只需 Gmax ( x) ? H min ( x) .

( x ? 1)( x ? 1 ? m) , x ? [1,1 ? m], m ? (?1,0) , ex 2?m ∴ G ( x) 在 [1,1 ? m] 上单调递增, Gmax ( x) ? G (1 ? m) ? 1? m . e 1 5 m ∵ H ( x ) 在 [1,1 ? m] 上单调递减, H min ( x) ? H (1 ? m) ? ? (1 ? m) ? ? 1 ? , 4 4 4 2?m m 即证 1? m ? 1 ? 对 m ? (?1,0) 恒成立, e 4
∵ G?( x) ? ? 令 1 ? m ? t ? (1,2) 即证 e (5 ? t ) ? 4(t ? 1) ? 0 对 t ? (1,2) 恒成立,
t

10

令 r ( x) ? et (5 ? t ) ? 4(t ? 1) ,则 r?( x) ? et (4 ? t ) ? 4 ? 2et ? 4 ? 0 , 即 r ( x) ? et (5 ? t ) ? 4(t ? 1) 在 (1,2) 上单调递增, ∴ r ( x) ? r (1) ? e(5 ? 1) ? 4(1 ? 1) ? 4e ? 8 ? 0 即 et (5 ? t ) ? 4(t ? 1) ? 0 对 t ? (1,2) 恒成立 所以对任意 x1 , x2 ?[1,1 ? m] , G( x1 ) ? H ( x2 ) 恒成立.

11


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