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河北衡水中学2013届高三第一次调研考试数学(文)


衡水中学 2012—2013 学年度上学期第一次调研考试
高三年级数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷共2页,第Ⅱ卷共2 页。 共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题
一、

共 60 分)

选择题(每小题 5 分,共 60 分。每小题所

给选项只有一项符合题意,请将正确答

案的序号填涂在答题卡上) 1 命题“若 p 则 q”的否定是( A 若q则p ) C 若 ?q 则 ?p ) D. R ) . D.12
2

B 若?p 则? q

D 若 p 则 ?q

2 若集合 A ? x x ? 0 ,且 A ? B ? B ,则集合 B 可能是( A. ?1 , 2? B. x x ? 1

?

?

?

?

C. ??1, 0,1?

3 等差数列 {a n } 中,已知前 15 项的和 S15 ? 90 ,则 a 8 等于( A.

45 2

B.

6

C.

45 4

4 已知 f ( x) 在 R 上是奇函数, f (x (? ?)4) ? ff (x ), 当x ? (0, 2)时,f ( x) ? 2 x , 则f (7) ? 且 f x2 ?? ) ( ) A. ? 2 5 已知函数 f (x ) ? ? A. {x | 0 ? x ? 1} 6 下列命题错误的是( B.2 C. ? 98 D.98 ) D. {x | x ? ?1}

?? log 2 x (x ? 0)
2 ?1 ? x (x ? 0)

,则不等式 f (x ) ? 0 的解集为( C. {x | ?1 ? x ? 1}

B {x | ?1 ? x ? 0} )

A 命题“若 m ? 0 则方程 x 2 ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题为:“若方程 x 2 ? x ? m ? 0 无实 根则 m ? 0 ” B 若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题

C “ x ? 1 ”是

“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件

D 对于命题 p : “ ?x ? R 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”,则 ?p : “ ?? R, 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” 7. 不等式 3x A. (? ,1)
2

? 2x ? 1 ? 0 成立的一个必要不充分条件是(
B. (??,? ) ? (1,??)

)
D. (?1,1)

1 3

1 3

C. (? ,0)

1 3

e x ? e? x 8.函数 y ? ln x 的图象大致为( e ? e? x



A.

B.

C.

D.

9 设函数 f ( x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对于任意的 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则不等式

f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为(
A. (?1,1)

) C. (??, ?1) D. (??, ??)

B. ? ?1, ?? ?

10 已知 a ? 0且a ? 1 , f ( x) ? x 2 ? a x , 当x ? (?1,1)时,均有f ( x) ? ( ) A. ? 0, ? ? ?2,?? ? 2

1 , 则a 的取值范围是 2

? ?

1? ?

B. ? ,1? ? ?1,4? ?4 ?

?1 ?

C.

?1 ? ? 2 ,1? ? (1,2] ? ?

D.

? 1? ? 0, ? ? ?4,?? ? ? 4?

1 ?1? 11 设函数 f (x ) ? log 4 x ? ( ) x 、 g (x ) ? log 1 x ? ? ? 的零点分别为 x 1 , x 2 ,则( 4 ?4? 4
A. 0 ? x 1 x 2 ? 1 12. 已知 f (x ) ? x 下结论:
3

x

)

B. x 1 x 2 ? 1

C. 1 ? x 1 x 2 ? 2

D. x 1 x 2 ? 2

? 6x 2 ? 9x ? abc ,a ? b ? c ,且 f (a ) ? f (b ) ? f (c ) ? 0 .现给出如

① f (0)f (1) ? 0 ; f (0)f (1) ? 0 ; f (0)f (3) ? 0 ; f (0)f (3) ? 0 ; ② ③ ④.

⑤ abc ? 4 ;⑥ abc ? 4 其中正确结论的序号是( A. ①③⑤ ) B. ①④⑥ C. ②③⑤ 共 90 分) D. ②④⑥

卷Ⅱ(非选择题

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在答题纸的相应位置上) 13.若幂函数 f ( x) 的图象过点 (?8, 4) ,则该幂函数的解析式为 14 某同学为研究函数 f ( x) =

1 + x 2 + 1 + (1- x) 2 (0 #x ?1)) 0? 1

D

C P

F

的性质,构造了如图所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和

BEFC ,点 P 是边 BC 上的一个动点,设 CP = x ,则
AP + PF = f ( x ) . 请你参考这些信息,推知函数的极值点
是 ;函数 f ( x) 的值域是
2

A

B

E

.

15 关于函数 f (x ) ? ?2 sin x ? sin 2x ? 1 ,给出下列四个命题: ① f (x ) 在区间 [

? 5

, ? ] 上是减函数;②直线 x ? 是函数图象的一条对称轴; 8 8 8
2 sin 2x 的图象向左平移

?

③函数 f ( x) 的图象可由函数 y ? ④若 x ? [0,

?

?

4

个单位得到;

] ,则 f ( x) 的值域是 [0, 2 ] ⑤函数 f ( x) 关于 ( ,0) 对称 2 4

?

其中正确命题的序号是______ 16 已知函数 f (x ) ? ax ? bx
3 / / 2

记函数 f (x ) 的 ? cx ? d (a ? 0) 的对称中心为 M (x 0 , y 0 ) ,
//

导函数为 f (x ) , f (x ) 的导函数为 f

(x ) ,则有 f

//

(x 0 ) ? 0 。若函数

? 1 ? f ? x ? ? x 3 ? 3x 2 ,则可求得: f ? ?? ? 2012 ?
.

? 2 ? f? ? ? ... ? ? 2012 ?

? 4022 ? ? 4023 ? f? ? ?f ? ?? ? 2012 ? ? 2012 ?

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 (本题 10 分)已知 A ? x | x ? 5 x ? 4 ? 0 , B ? x | x ? ax ? (a ? 1) ? 0 ,
2 2

?

?

?

?

C ? x | x 2 ? mx ? 4 ? 0 ,若 A ? B ? A, A ? C ? C ,求实数 a, m 的值.

?

?

18 (本题 12 分)已知函数 f ( x) 是定义在 (?1,1) 上的奇函数,当 x ? ?0,1? 时, f ? x ? ? 2 ,
x

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)已知 f ? x ? ? 2a 恒成立,求常数 a 的取值范围.

19(本题12分)已知函数 f

?x ? ? ln x

? ax ? a 2 x 2 ?a ? 0 ? .

(1)若 x ? 1 是函数 y ? f ?x ? 的极值点,求 a 的值; (2)求函数 y ? f ?x ? 的单调区间.

20(本题12分)

如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上,对角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米,且受地理条件限制, AN 长不 超过 8 米。 设 AN ? x (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长应在什么范围内? (2)若|AN| ? [3, 4) (单位:米) ,则当 AM、AN 的长度是多少时,矩形花坛 AMPN 的面 积最大?并求出最大面积. N P

D 21(本题 12 分)已知函数对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R ,使

C

f ( x0 ) ? x0 , 则 称 x0 是 f ( x) 的 一 个 不 动 点 , 已 知 函 数 A f ( x) ? ax 2 ? (b ? 1) x ? (b ? 1)(a ? 0) ,
(1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求函数 f ( x) 的不动点; (2)对任意实数 b ,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围;

B

M

(3)在(2)的条件下,若 y ? f ( x) 的图象上 A, B 两点的横坐标是 f ( x) 的不动点,且

A, B 两点关于直线 y ? kx ?

1 2a 2 ? 1

对称,求 b 的最小值.

22(本题 12 分) 设函数 f (x ) ? x

3

? 3ax 2 ? 3b 2 x (a , b ? R )

(1)若 a ? 1, b ? 0 ,求曲线 y ? f (x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 0 ? a 值.

? b ,不等式 f (

1 ? ln x k ) ? f ( ) 对任意 x ? (1,??) 恒成立,求整数 k 的最大 x ?1 x

高三年级数学试卷(文科)答案
一选择:DABAC BDDBC AC 二填空: y ? x
2 3

1 ; [ 5, 2+ 1] ①② 2
2

-8046

三 解 答 : 17. 解 : A ? ? ,4? , x ? ax ? (a ? 1) ? 0 ? x ? 1, x ? a ? 1 , 由 1

A? B ? A ? B ? A

1 1 ? B ? ? ,? B ? ? ? ,或 B ? ? ,4? ,从而 a ? 1 ? 1 ,或 a ? 1 ? 4 ,故 a ? 2 ,或 a ? 5 .
又 A ? C ? C ? C ? A . 考虑 x 2 ? mx ? 4 ? 0 . 当 ? ? m 2 ? 16 ? 0 ? ?4 ? m ? 4 时 ,

C ? ? ? A ;当 ? ? m 2 ? 16 ? 0 ? m ? ?4 或 m ? 4 时, C ? ? ,此时由 C ? A 只能有

C ? ? ,4?.此时 m ? 5 .综上可得: a ? 2 ,或 a ? 5 . ? 4 ? m ? 4 ,或 m ? 5 . 1

18. 解: (1)因为函数 f ( x) 是定义在 ?- 1,1? 上的奇函数,所以当 x ? 0 时, f ( x) =0; 当 - 1 ? x ? 0 时, 0 ? - x ? 1 , 所以 f ? x ? ? - f ?- x ? ? -2 ;
-x

?- 2- x ,-1 ? x ? 0 ? 所以 f ? x ? ? ?0, x ? 0 ?2 x ,0 ? x ? 1 ?

1 (2) 0 ? x ? 1 时, ? f ? x ? ? 2 ; - 1 ? x ? 0 时, 2 ? f ? x ? ? ?1 ; x ? 0 时,f ? x ? ? 0 ; 当 当 当
所以 f ? x ? ? 2 ;因为 f ? x ? ? 2a 恒成立,所以 2a ? 2 即 a ? 1 19.解:函数定义域为 ?0,?? ? ,……………… 1 分

f ' ?x ? ?

? 2a 2 x 2 ? ax ? 1 ………………3 分 x

' 2 因为 x ? 1 是函数 y ? f ? x ? 的极值点,所以 f ?1? ? 1 ? a ? 2a ? 0

解得 a ? ?

1 1 或 a ? 1 经检验, a ? ? 或 a ? 1 时, x ? 1 是函数 y ? f ? x ? 的极值点, 2 2
………… 6分

又因为 a>0 所以 a ? 1

20.解:设 AN 的长为 x 米( 2 ? x ? 8 ) ∵

|DN| |DC| 3x ,∴|AM|= ? x?2 |AN| |AM| 3x 2 x?2
------------------------------------ 4 分

∴ SAMPN = |AN|?|AM| =

21.(1) f ( x) ? x ? x ? 3 , x0 是 f ( x) 的不动点,则 f ( x) ? x0 ? x0 ? 3 ? x0 ,得 x0 ? ?1
2

2

或 x0 ? 3 ,函数 f ( x) 的不动点为 ?1 和 3 .…………………………….3 分 (2)∵函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,∴ f ( x) ? x ? ax ? bx ? (b ? 1) ? 0 恒有两
2

个不等的实根, ? ? b ? 4a (b ? 1) ? b ? 4ab ? 4a ? 0 对 b ? R 恒成立,
2 2

∴ (4a ) ? 16a ? 0 ,得 a 的取值范围为 (0,1) . ……………..7 分
2

x1 ? x2 b 1 ,由题知 k ? ?1 , y ? ? x ? , ?? 2 2a 2a 2 ? 1 b b 1 b b 1 设 A, B 中点为 E ,则 E 的横坐标为 (? , , ? 2 ) ,∴ ? ? ? 2 2a 2a 2a ? 1 2a 2a 2a ? 1
(3)由 ax ? bx ? (b ? 1) ? 0 得
2

∴b ? ?

a 2a ? 1
2

??

1 1 2a ? a

??

2 1 2 ,当且仅当 2a ? (0 ? a ? 1) ,即 a ? 时等号 2 a 4

成立, ∴ b 的最小值为 ?

2 .……………………………………..12 分 4
时, 所以 即切点为

22.解:(Ⅰ)当
因为 所以切线方程为 (2) 由于 所以函数 ,所以 在 上递增 所以



所以不等式



恒成立

构造

构造





所以



递增

所以

,

所以

,所以



递减

,所以



递增

所以,

结合

得到

所以



恒成立

, 所以

,整数 的最大值为 3


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