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【步步高】2013-2014学年高中数学 综合检测(二)基础过关训练 新人教A版选修1-1


综合检测(二)
一、选择题 1.下列结论错误的是 A.若“p∧q”与“綈 p∨q”均为假命题,则 p 真 q 假 B.命题“? x∈R,x -x>0”的否定是“? x∈R,x -x≤0” C.“x=1”是“x -3x+2=0”充分不必要条件 D.若“am <bm ,则 a<b”的逆命题为真 1 2.已知条件 p:x≤1,条件 q: <1,则綈 q 是 p 的
2 2 2 2 2

(

)

x

(

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

3.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再慢慢走余下的路程,图 中纵坐标表示离学校的距离,横坐标表示出发后的时间,则下面四个图形中较符合该学生 走法的是 ( )

? π? x x 4.已知命题 p:? x∈(-∞,0),2 <3 ;命题 q:? x∈?0, ?,tan x>sin x.则下列命题为 2? ?
真命题的是 ( A.p∧q C.p∧綈 q
x

) B.p∨綈 q D.綈 p∧q

5.函数 f(x)=e cos x 的图象在点(0,f(0))处的切线方程的倾斜角为 ( A.0 ) π B. 4 C.1
2

D.

π 2

6.双曲线 - 2 =1(p>0)的左焦点在抛物线 y =2px 的准线上,则该双曲线的离心率为 3 p ( ) 4 A. 3 2 3 C. 3

x2

16y

2

B. 3

D.4

1

1 2 7.抛物线 y = x 关于直线 x-y=0 对称的抛物线的焦点坐标是 ( ) 4 1? ? ?1 ? A.(1,0) B.?0, ? C.(0,1) D.? ,0? ? 16? ?16 ? 4 3 2 8.设 p : f(x)= x +2x + mx +1 在(-∞,+∞)内单调递增, q : m≥ ,则 p 是 q 的 3 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件 C.充要条件

9.已知 P 为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)左支上一点,F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点,且 cos ∠PF1F2=sin ∠PF2F1= A. 5 点为 A.(0,2) 的图象可能是 ( ) B.(2,0) C.(1,0) D.(0,1) B.5
2

x a

2

y b

2

5 ,则此双曲线的离心率是 5 C.2 5 D.3

(

)

10.一动圆的圆心在抛物线 x =8y 上,且该动圆恒与直线 y+2=0 相切,则动圆必经过的定 ( )

11.若函数 y=f(x)的导函数在区间(a,b)上不是单调函数,则函数 y=f(x)在区间[a,b]上

C.②③ D.③④ π 3 12.函数 f(x)=x +x,x∈R,当 0≤θ ≤ 时,f(msin θ )+f(1-m)>0 恒成立,则实数 m 2 的取值范围是 ( ) B.(-∞,0) D.(-∞,1) A.(0,1) 1? ? C.?-∞, ? 2? ? 二、填空题 13.若命题“存在实数 x ,使 x + ax +1<0”的否定是假命题,则实数 a 的取值范围为 ________________. 14.已知 f(x)=x +x f′(1)+3xf′(-1),则 f′(1)+f′(-1)的值为________.
3 2 2

A.①③

B.②④

2

15.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两焦点为 F1(0,-c),F2(0,c)(c>0),离心率 e= 圆上点的最短距离为 2- 3,则椭圆的方程为________________. 16.已知函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f′(x)为 f(x)的导函数,函 数y =f′(x)的图象如图所示,且 f(-2)=1,f(3)=1,则不等式 f(x - 6)>1 的解集为________. 三、解答题
2

y2 x2 a b

3 ,焦点到椭 2

17.求与椭圆 + =1 有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并且求出这条双曲线的 144 169 实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程. 18.已知命题 p:f(x)=x+ 在区间[1,+∞)上是增函数;命题 q:f(x)=x +ax +3x+1 在 R 上有极值.若命题“p∨q”为真命题,求实数 a 的取值范围. 19.如图,抛物线顶点在原点,圆 x +y =4x 的圆心是抛物线的焦点, 直 线 l 过抛物线的焦点, 且斜率为 2, 直线 l 交抛物线与圆依次为 A、 、 B
2 2

x2

y2

a x

3

2

C、D 四点.
(1)求抛物线的方程. (2)求|AB|+|CD|. 20.已知函数 f(x)=x +mx +nx-2 的图象过点(-1,-6),且函数 g(x)=f′(x)+6x 是偶 函数. (1)求 m、n 的值; (2)若 a>0,求函数 y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值. 21.某商品每件成本 9 元,售价 30 元,每星期卖出 432 件.如果降低价格,销售量可以增加, 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位:元,0≤x≤30)的平方成正比, 已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
3 2

x2 y2 22.如图,从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆 a b
的左焦点 F1,且它的长轴端点 A 及短轴端点 B 的连线 AB∥OM. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任一点,F2 是右焦点,F1 是左焦点,求∠F1QF2 的取 值范围; (3)设 Q 是椭圆上一点,当 QF2⊥AB 时,延长 QF2 与椭圆交于另一点 P,若△F1PQ 的面积为 20 3,求此时椭圆的方程.

3

答案 1.D 2.A 3.D 4.D 5.B 6.C 7.B 8.C 9.A 10.A 11.D 12.D 3 13.a<-2 或 a>2 14.- 4 15. +x =1 16.(2,3)∪(-3,-2) 4 17.解 椭圆 + =1 的焦点是(0,-5),(0,5), 144 169 焦点在 y 轴上, 于是设双曲线方程是 2- 2=1(a>0,b>0), 又双曲线过点(0,2), ∴c=5,a=2,∴b =c -a =25-4=21, ∴双曲线的标准方程是 - =1,实 4 21 c 5 轴长为 4,焦距为 10,离心率 e= = , a 2 2 21 渐近线方程是 y=± x. 21 18.解 命题 p:f′(x)=1- 2. ∵f(x)=x+ 在区间[1,+∞)上是增函数, 则 f′(x)=1- 2≥0 在[1,+∞)上恒成立, 即 a≤x 在[1,+∞)上恒成立, ∴a≤(x )min,∴a≤1. 命题 p:A={a|a≤1}. 命题 q:f′(x)=3x +2ax+3. 要使得 f(x)=x +ax +3x+1 在 R 上有极值, 则 f′(x)=3x +2ax+3=0 有两个不相等的实数解, Δ =4a -4×3×3>0,解得 a<-3 或 a>3. 命题 q:B={a|a<-3,或 a>3}. ∵命题“p∨q”为真命题, ∴A∪B={a|a≤1,或 a>3}. ∴所求实数 a 的取值范围为(-∞,1]∪(3,+∞). 19.解 (1)由圆的方程 x +y =4x, 即(x-2) +y =4 可知,圆心为 F(2,0),半径为 2, 又由抛物线焦点为已知圆的圆心, 得抛物线焦点为 F(2,0), 抛物线方程为 y =8x. (2)|AB|+|CD|=|AD|-|BC|, ∵|BC|为已知圆的直径,
4
2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2

y2

2

x2

y2

y2 x2 a b

y

2

x2

a x

a x

a x

∴|BC|=4,则|AB|+|CD|=|AD|-4. 设 A(x1,y1),D(x2,y2), ∵|AD|=|AF|+|FD|,而 A、D 在抛物线上, 由已知可知,直线 l 的方程为 y=2(x-2), 2 ? ?y =8x 由? , ? ?y=2? x-2? 消去 y,得 x -6x+4=0, ∴x1+x2=6,∴|AD|=10, 因此,|AB|+|CD|=10-4=6. 20.解 (1)由函数 f(x)图象过点(-1,-6),得 m-n=-3,① 由 f(x)=x +mx +nx-2, 得 f′(x)=3x +2mx+n, 则 g(x)=f′(x)+6x =3x +(6+2m)x+n; 而 g(x)图象关于 y 轴对称, 2m+6 所以- =0, 2×3 所以 m=-3,代入①得 n=0. (2)由(1)得 f′(x)=3x(x-2), 令 f′(x)=0 得 x=0 或 x=2. 当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: (2,+ ∞) + ↗
2 2 3 2 2

x f′(x) f(x)
由此可得:

(-∞,0) + ↗

0 0 极大值

(0,2) - ?↘

2 0 极小值

当 0<a<1 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值 f(0)=-2,无极小值; 当 a=1 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当 1<a<3 时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值 f(2)=-6,无极大值; 当 a≥3 时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得:当 0<a<1 时,f(x)有极大值-2,无极小值; 当 1<a<3 时,有极小值-6,无极大值; 当 a=1 或 a≥3 时,f(x)无极值. 21.解 (1)设商品降低 x 元时,多卖出的商品件数为 kx , 若记商品在一个星期的销售利润为 f(x), 则依题意有 f(x)=(30-x-9)·(432+kx ) =(21-x)·(432+kx ), 又由已知条件 24=k·2 ,于是有 k=6, 所以 f(x)=-6x +126x -432x+9 072,x∈[0,30].
5
3 2 2 2 2 2

(2)根据(1),有 f′(x)=-18x +252x-432 =-18(x-2)(x-12). 当 x 变化时,f(x)与 f′(x)的变化情况如下表:

2

x f′(x) f(x)

(0,2) - ?↘

2 0 极小值

(2,12) + ↗

12 0 极大值

(12,30) - ↘

故 x=12 时,f(x)达到极大值. 因为 f(0)=9 072,f(12)=11 664, 所以定价为 30-12=18(元)能使一个星期的商品销售利润最大. 22.解 (1)∵MF1⊥x 轴,∴xM=-c,

b2 代入椭圆方程得 yM= , a 2 b ∴kOM=- . ac b 又∵kAB=- 且 OM∥AB, a 2 b b 2 ∴- =- ,故 b=c,从而 e= . ac a 2
(2)设|QF1|=r1,|QF2|=r2,∠F1QF2=θ . ∵r1+r2=2a,|F1F2|=2c, r2+r2-4c2 1 2 ∴cos θ = 2r1r2 2 2 ? r1+r2? -2r1r2-4c = 2r1r2 =

a2 a2 -1≥ -1=0, r1r2 ?r1+r2?2

? 2 ? ? ?

当且仅当 r1=r2 时,上式等号成立. ? π? ∴0≤cos θ ≤1,故 θ ∈?0, ?. 2? ? (3)∵b=c,a= 2c, ∴设椭圆方程为 2+ 2=1.① 2c c ∵PQ⊥AB,kAB=- 2 ,∴kPQ= 2. 2
2 2

x2

y2

∴直线 PQ 的方程为 y= 2(x-c).② 联立 ①、②消去 y 得 5x -8cx+2c =0. 2 ??8c?2-4×2c ?? 1+2? =6 2c. ∴|PQ|= ?5? ?? ? ? 5 ? 5 ? 2 6 又点 F1 到 PQ 的距离 d= c, 3 1 1 2 6 6 2c 4 3 2 ∴S△F1PQ= d|PQ|= × c× = c. 2 2 3 5 5

6

4 3 2 由 c =20 3得 c2=25,故 2c2=50. 5 ∴所求椭圆方程为 + =1. 50 25

x2

y2

7



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