当前位置:首页 >> 数学 >>

专题4 函数与基本初等函数(三)


教育学科教师辅导讲义
讲义编号:
年 级: 课 题 辅导科目:数学 课时数:

函数与基本初等函数(三)

教学目的 教学内容

第五节
(一)高考目标

指数与指数函数

考纲解读 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点. 4.知道指数函数是一类重要的函数模型. 考向预测 1.指数函数在高中数学中占有十分重要的地位,是高考重点考查的对象,热点是指数函数的图像与性质的综合应 用.同时考查分类整合思想和数形结合思想. 2.幂的运算是解决与指数有关问题的基础,常与指数函数交汇命题.

(二)课前自主预习
知识梳理 1.指数幂的概念 (1)根式 n 如果一个数的 n 次方等于 a(n>1 且 n∈N+),那么这个数叫做 a 的 n 次方根.也就是,若 x =a,则 x 叫 做 ,其中 n>1 且 n∈N .式子


n

a

叫做

,这里 n 叫做

,a 叫做



(2)根式的性质 ①当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,这时,a 的 n 次方根用符号 示. ②当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的 n 次方根用符号

n

a 表

n

a 表示,负的

n n n 次方根用符号 - a 表示.正负两个 n 次方根可以合写为± a (a>0).
③( a) =

n

n

.

④当 n 为奇数时, a =

n

n


?a ?

n 当 n 为偶数时, a =|a|= ? ? ?-a ?

n

?

a≥0? a<0?

.

⑤负数没有偶次方根.

⑥零的任何次方根都是零. 2.有理数指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂是

a
a

m n



n

am (a>0,m,n∈N+,n>1).

②正数的负分数指数幂是
? m n



1

a

m n



1

n

(a>0,m,n∈N+,n>1).

am

③0 的正分数指数幂是 ,0 的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质

①aras= ②(ar)s= r ③(ab) =

(a>0,r,s∈Q). (a>0,r,s∈Q). (a>0,b>0,r∈Q).

3.指数函数的图像与性质

定义域 值域 过定点 当 x>0 时, x<0 时, ; . 当 x>0 时, x<0 时, ; .

性质

(三)基础自测
1.若 a=(2+ 3) ,b=(2- 3) ,则(a+1) +(b+1) 的值是( A.1 [答案] D [解析] a=2- 3,b=2+ 3, 1 B. 4 C. 2 2 2 D. 3
-1 -1 -2 -2

)

∴(a+1) +(b+1) = ?
2

-2

-2

1 (3- 3)?
x

2

+ ?

1 (3+ 3)?

2

= )

?

(3+ 3)?

2

+? 2 6

(3- 3)?

2

24 24 2 = 2= = . 6 36 3

2.若函数 y=(a -3a+3)·a 是指数函数,则有( A.a=1 或 a=2 B.a=1 C.a=2 [答案] C
2

D.a>0 且 a≠1
?a=1或a=2, ? ? ?a>0且a≠1,

[解析] 由 y=(a -3a+3)·a

2

x

?a -3a+3=1 ? 为指数函数,可得? ? ?a>0且a≠1

,解得?

即 a=2.

?1? 2 3.(2011·东营模拟)函数 y=? ? -x +x+2的单调递增区间是( ?2?
A.(-∞,-1] [答案] D B.[2,+∞) 1? ? C.?-1, ? 2? ?

)

?1 ? D.? ,2? ?2 ?

1? ? ?1 ? 2 2 [解析] 令 t=-x +x+2≥0,得函数定义域为[-1,2],所以 t=-x +x+2 在?-1, ?上递增,在? ,2?上递 2? ? ?2 ?

?1? ?1 ? 2 减.根据“同增异减”的原则,函数 y=? ? -x +x+2的单调递增区间是? ,2?. ?2? ?2 ?
? ?f? x+2? ,x<2, 4.函数 f(x)=? -x ? ?2 ,x≥2,

则 f(-3)=__________.

1 [答案] . 8 1 -3 [解析] f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2)=f(1)=f(1+2)=f(3)=2 = . 8 5.(2009·江苏文)已知 a= 5-1 x ,函数 f(x)=a ,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m,n 的大小关系为________ 2

[答案] m<n [解析] 本题主要考查指数函数的图像和性质. ∵a= 5-1 ,∴0<a<1, 2
x

函数 f(x)=a 在 x∈R 上是单调递减的.又 f(m)>f(n), ∴m<n. 7.若函数 f(x)=(a -1) 在(-∞,+∞)上是减函数,求 a 的取值范围. 2 2 [解析] ∵0<a -1<1,∴1<a <2, ∴- 2<a<-1 或 1<a< 2. 即 a 的取值范围是(- 2,-1)∪(1, 2).
2

x

(四)典型例题
1.命题方向:幂式的化简与求值

[分析] 将根式化为分数指数幂,按分数指数幂的运算性质进行运算.

[点评] 对于结果的形式,如果题目是以根式的形式给出的,则结果用根式的形式表示;如果题目以分数指数幂的 形式给出的,则结果用分数指数幂的形式表示.结果不要同时含有根号和分数指数幂,也不要既有分母又含有负指数 幂. 跟踪练习 1: (2011 天津一模)已知 [答案] 3 2.命题方向:指数函数性质的考查 [例 2] 求下列函数的定义域和值域.

a

2 3

=

4 (a>0),则 log2 a= 9 3

2x ?2? (1)y=? ?-|x+1|;(2)y= x ;(3)y=2 -x2-3x+4 2 +1 ?3?
[分析] 指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的定义域为 R,所以 y=af(x)的定义域与 f(x)定义域相同;值域则要应用其 单调性来求,复合函数则要注意“同增异减”的原则. [解析] (1)定义域为 R.因为-|x+1|≤0,

?2?-|x+1|≥?2?0=1,所以值域为[1,+∞). 所以 y=? ? ?3? ?3? ? ?
(2)因为 2 +1>0 恒成立,所以定义域为 R.又因为 y= 解得 0<y<1,所以值域为(0,1). (3)令-x -3x+4≥0,解得-4≤x≤1,所以函数 y=2 -x -3x+4的定义域为[-4,1].
2 2

x

2 1 1 1 =1- x ,而 0< x <1,所以-1<- x <0, 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1
x

x

3 5 5 2 设 u= -x -3x+4(-4≤x≤1),易得 u 在 x=- 时取最大值 ,在 x=-4 或 1 时取最小值 0,即 0≤u≤ . 2 2 2 所以函数 y=2 的值域为[2
u
0

5 2 ,2 ],即函数 y=2 -x -3x+4的值域为[1,4 2]. 2

跟踪练习 2: 已知 f(x)=?

? x 1 +1?x3(a>0 且 a≠1). ? ?a -1 2?

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立. [分析] 问题的关键是考查
x

1 1 3 + 具有哪些性质,因 x 对任意 x∈R 均有意义,其奇偶性易于考查. a -1 2
x x

[解析] (1)由于 a -1≠0,则 a ≠1,得 x≠0, 所以函数 f(x)的定义域为{x|x≠0,x∈R}. (2)对于定义域内任意 x,有

f(-x)=?

? -x1 +1?(-x)3=? a x+1?(-x3)=?-1- x 1 +1?(-x)3=? x 1 +1?x3=f(x). ? ?1-a 2? ? ?a -1 2? a -1 2? ?a -1 2? ? ? ? ? ? ?
x

x

∴f(x)是偶函数. (3)当 a>1 时,对 x>0,由指函数的性质知 a >1, ∴a -1>0,
x

1 1 + >0, a -1 2
x
3

又 x>0 时,x >0, ∴x ?
3

? x 1 +1?>0, ? ?a -1 2?

即当 x>0 时,f(x)>0. 又由(2),f(x)为偶函数,知 f(-x)=f(x), 当 x<0 时,-x>0,有 f(-x)=f(x)>0 成立. 综上知 a>1 时,f(x)>0 在定义域上恒成立. ? a +1? x 对于 0<a<1 时,f(x)= , x 2? a -1? 当 x>0 时,1>a >0,a +1>0,a -1<0,x >0, 此时 f(x)<0,不满足题意; 当 x<0 时,-x>0,f(-x)=f(x)<0,也不满足题意. [点评] (1)判定此类函数的奇偶性,常需要对所给式子变形,以达到所需要的形式,另外,还可利用求
x x x
3

x

3

f(-x)±f(x)来判断.
(2)可借助函数的奇偶性,研究函数的其他性质,这样做的好处是避免了自变量取值的讨论. 综上,所求 a 的范围是 a>1. 3.命题方向:指数函数的图像应用 [例 3] 已知函数 y=? ? (1)

?1?|x+1| . ?3?

作出图像;(2)由图像指出其单调区间;(3)由图像指出当 x 取什么值时有最值.

[分析] [解析] (1)解法 1:由函数解析式可得

??1?x+1 ? x≥-1? ?1?|x+1|=??3? y=? ? ?? ? ?3? ?3x+1 ? x<-1? ?
其图像由两部分组成:

?1?x ?1?x+1 一部分是:y=? ? (x≥0) ― ― ― ― → y=? ? (x≥-1); ― ― ― ― ?3? ?3?
向左平移1个单位 x 另一部分是:y=3 (x<0) ― → ― y=3x+1(x<-1). 如图:

向左平移1个单位

?1?|x| ?1? 解法 2: ①由 y=? ? 可知函数是偶函数, 其图像关于 y 轴对称, 故先作出 y=? ? ?3? ?3?
x

的图像保留 x≥0 的部分,

?1?x ?1?|x| 当 x<0 时, 其图像是将 y=? ? (x≥0)图像关于 y 轴对折, 从而得出 y=? ? 的图 ?3? ?3?
像.

?1?|x| ?1?|x+1|的图像,如图所示. ②将 y=? ? 向左移动 1 个单位,即可得 y=? ? ?3? ?3?
(2)由图像知函数在(-∞,-1]上是增函数,在[-1,+∞)上是减函数. (3)由图像知当 x=-1 时,有最大值 1,无最小值. 跟踪练习 3:

?1?a ?1?b 已知实数 a、b 满足等式? ? =? ? ,下列五个关系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0; ?2? ?3?
⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 ( ... A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

[答案] B

?1?x ?1?x [解析] 作 y=? ? ,y=? ? 的图像,如图 ?3? ?2? ?1?a ?1?b 当 x<0 时,? ? =? ? ,则有 a<b<0; ?2? ?3? ?1?a ?1?b 当 x>0 时,? ? =? ? ,则有 0<b<a; ?2? ?3? ?1?a ?1?b 当 x=0 时,? ? =? ? ,则有 a=b=0.故不可能成立的是③④. ?2? ?3?
4.命题方向:综合应用 [例 4] 已知 f(x)=

a

a

2

?1

(ax-a-x)(a>0 且 a≠1).

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围. [分析] (1)首先看函数的定义域,而后用奇偶性定义判断;(2)单调性利用复合函数单调性易于判断,还可用导数 解决;(3)恒成立问题关键是探求 f(x)的最小值 [解析] (1)函数定义域为 R,关于原点对称. 又∵f(-x)=

a
2

a -1

(a -a )=-f(x),

-x

x

∴f(x)为奇函数. (2)当 a>1 时,a2-1>0, y=ax 为增函数,y=a-x 为减函数,从而 y=ax-a-x 为增函数,∴f(x)为增函数. 当 0<a<1 时,a2-1<0, y=ax 为减函数,y=a-x 为增函数,从而 y=ax-a-x 为减函数,∴f(x)为增函数. 故当 a>0,且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增. (3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, ∴在区间[-1,1]上为增函数. ∴f(-1)≤f(x)≤f(1). ∴f(x)min=f(-1)=

a 1-a -1 (a -a)= 2 · =-1. a -1 a -1 a
2

a

2

∴要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1. 故 b 的取值范围是(-∞,-1]. [点评] (1)函数奇偶性与单调性是高考考查的热点问题,常以指数函数为载体考查函数的性质与恒成立问题. (2)求参数的范围也是常考内容,难度不大,但极易造成失分,因此对题目进行认真分析,必要的过程不可少,这 也是高考阅卷中十分强调的问题. 跟踪练习 4: 2x x 已知函数 f(x)=a +2a -1(a>0,且 a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为 14,求实数 a 的值. 2x x x 2 [解析] f(x)=a +2a -1=(a +1) -2,

∵x∈[-1,1], 1 x (1)当 0<a<1 时,a≤a ≤ ,

a

1 x ∴当 a = 时,f(x)取得最大值.

a

1 ?1 ?2 ∴? +1? -2=14,∵0<a<1,∴a= . a ? 3 ? 1 x (2)当 a>1 时, ≤a ≤a,

a

∴当 a =a 时,f(x)取得最大值. ∴(a+1) -2=14,∴a=3. 1 综上可知,实数 a 的值为 或 3. 3
2

x

(五)思想方法点拨:
1.单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图像的无限伸展性,x 轴是函数图像的渐近线.当 0<a<1 时,x→+ ∞,y→0;当 a>1 时,x→-∞,y→0;当 a>1 时,a 的值越大,图像越靠近 y 轴,递增的速度越快;当 0<a<1 时,a 的值越小,图像越靠近 y 轴,递减的速度越快. 1? ? x 2.画指数函数 y=a 的图像,应抓住三个关键点:(1,a)、(0,1)、?-1, ?.

?

a?

? 1 ?x ?1?x x x 3.熟记指数函数 y=10 ,y=2 ,y=? ? ,y=? ? ,在同一坐标系中图像的相对位置,由此掌握指数函数图像的 10? ? ?2?
位置与底数大小的关系. 4.在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中,要注意运用方程的观点处理问题,通过解方程(组)来求值,或 用换元法转化为方程来求解. 5.比较幂值大小时,要注意区分底数相同还是指数相等.是用指数函数的单调性,还是用幂函数的单调性或指数 函数的图像解决.要注意图像的应用,还应注意中间量 0、1 等的运用.指数函数的图像在第一象限内底大图高(逆时 针方向底数依次变大).

(六)课后强化作业
一、选择题

1.若 a>1,b>0,且 a +a =2 2,则 a -a 的值等于( A. 6 [答案] D [解析] ∵a>1,b>0,∴ab>a b. 又∵ab+a b=2 2, ∴(ab+a b)2=a2b+a
- -2b - -

b

-b

b

-b

) D.2

B.2 或-2

C.-2

+2=8,

∴(ab-a b)2=a2b+a



-2b

-2=4,∴ab-a b=2. (a>0,且 a≠1)的图像经过第二、三、四象限,则一定有( B.a>1,且 b>0 D.a>1,且 b<0 )



2.若函数 y=ax+b-1 A.0<a<1,且 b>0 C.0<a<1,且 b<0 [答案] C

[解析] 如图所示,图像与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上,即 a0+b-1<0,

∴b<0,又图像经过第二、三、四象限, ∴0<a<1.故选 C. 3.设 f(x)=|3x-1|,c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成立的是( A.3c>3b [答案] D [解析] 作 f(x)=|3x-1|的图像如图所示,由图可知, B.3b>3a C.3c+3a>2 D.3c+3a<2 )

要使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b)成立, 则有 c<0 且 a>0, ∴3c<1<3a, ∴f(c)=1-3c,f(a)=3a-1. 又 f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1, 即 3a+3c<2,故选 D. 1 - 4.函数的 y=3x 图像与函数 y=?3?x 2 的图像关于( ? ? A.点(-1,0)对称 C.点(1,0)对称 [答案] B 1 右移2 1 - y轴 - [解析] y=3x― →y=?3?x― →y=?3?x 2,在同一坐标系中作出 y=3x,y=3x 2 图像,结合选项知选 B. ― 对称 ? ? ― ? ? 5.函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 的值为( ) B.直线 x=1 对称 D.直线 x=-1 对称 )

1 A. 2 [答案] B

B.2

C.4

1 D. 4

[解析] 当 a>0,a≠1 时,y=ax 是定义域上的单调函数,因此其最值在 x∈[0,1]的两个端点得到, 于是必有 1+a=3,∴a=2. 6.若函数 y=4x-3·x+3 的定义域为集合 A,值域为[1,7],集合 B=(-∞,0]∪[1,2],则集合 A 与集合 B 的关系 2 为( ) B.A=B C.B A D.A?B

A.A B [答案] A

3 3 x [解析] ∵y=?2 -2?2+ 的值域为[1,7], ? ? 4 ∴2x∈[2,4]. ∴x∈[1,2],即 A=[1,2].∴A B. 7.(2010· 陕西文)下列四类函数中,具有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)f(y)”的是( A.幂函数 [答案] C [解析] 本题考查幂函数,指数函数、对数函数、余弦函数的性质.对任意的 x>0,y>0, 只有指数函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)· f(y). 1 8.(2011· 济宁模拟)已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=?2?x;当 x<4 时,f(x)=f(x+1),则 f(2+log23)=( ? ? 1 A. 24 [答案] A [解析] ∵2<3<4=22, ∴1<log23<2,∴3<2+log23<4, 1 1 1 ∴f(2+log23)=f(3+log23)=f(log224)=?2?log224=2-log224=2log2 = . ? ? 24 24 二、填空题 9.若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0 且 a≠1)的图像有两个公共点,则 a 的取值范围是________. 1 [答案] ?0,2? ? ? [解析] 数形结合.由图可知 0<2a<1, 1 B. 12 1 C. 8 3 D. 8 ) B.对数函数 C.指数函数 D.余弦函数 )

1 作出 0<a<1 和 a>1 两种图像易知只有 0<a<1 有可能符合.∴0<a< . 2 1 - - 10.已知 2x2+x≤?4?x 2,则函数 y=2x-2 x 的值域是________. ? ? 255 3 [答案] ?- 16 ,2? ? ? [解析] ∵2x2+x≤2
-2(x-2)



∴x2+x≤-2(x-2),解得-4≤x≤1. 又∵y=2x-2 x 在[-4,1]上是增函数, ∴2 4-24≤y≤2-2 1,故-
- - -

255 3 ≤y≤ . 16 2

第六节
(一)高考目标

对数与对数函数

考纲解读 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运 算中的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图像通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数 y=

a

x

与对数函数 y=logax 互为反函数(a>0,且 a≠1).

考向预测 1.对数运算是高中学习的一种重要运算,而对数函数又是最重要的一类基本初等函数,因此该节内容是高考的重 点. 2.考查热点是对数式的运算和对数函数的图像、性质的综合应用,同时考查分类整合、数形结合、函数与方程思 想. 3.常以小题的形式考查对数函数的图像、性质,或与其他知识交汇以解答题的形式出现.

(二)课前自主预习
知识梳理 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果 ,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 (2)几种常见对数 对数形式 一般对数 常数对数 自然对数 特点 底数为 a(a>0 且 a≠1) 底数为 底数为 . . 记法 . . .

.其中

叫做对数的底数,

叫做真数.

2.对数的性质与运算法则

(1)对数的性质 ①a
logaN



;②logaaN=

(a>0 且 a≠1).

(2)对数的重要公式 logaN ①换底公式: logbN= (a,b 均大于零且不等于 1); logab ②logab= 1 ,推广 logab·logbc·logcd= logba .

(3)对数的运算法则 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)= ②loga = ③logaM = ④logamM = logaM. 3.对数函数的图像与性质
n n

; ; (n∈R);

M N

n m

a>1
(1)定义域: (2)值域: (3)过点 性 质 (4)当 x>1 时, 当 0<x<1 时, ,即 x= . .

0<a<1 . . 时,y= (4)当 x>1 时, 当 0<x<1 时, . . .

(5)是(0,+∞)上的 . 4.反函数

(5)是(0,+∞)上的 .

指数函数 y=a 与对数函数

x

互为反函数,它们的图像关于直线

对称.

(三)基础自测
1.(2010·四川理)2log510+log50.25=( ) A.0 B.1 C.2 D.4 [答案] C [解析] 2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2. 2.(2010·浙江文)已知函数 f(x)=log2(x+1),若 f(a)=1,则 a=( A.0 B.1 C.1 D.3 [答案] B [解析] 本题考查了指对数的运算. 由题意知,f(α )=log2(α +1)=1,∴α +1=2,∴α =1.
x

)

3. (2009·广东理)若函数 y=f(x)是函数 y=a (a>0, a≠1)的反函数, 且 其图像经过点( a, ), f(x)=( a 则 A.log2x B. log 1 x
2

)

1 C. x 2

D.x

2

[答案] B x [解析] 考查反函数的概念,指对函数的关系及对数的运算性质.函数 y=a 的反函数是 f(x)=logax, 1 ∵其图像经过点( a,a),∴a=loga a,∴a= , 2 ∴f(x)= log 1 x
2

4.已知 f(x)=|logax|(0<a<1),则下列各式中成立的是(

)

?1? A.f(2)>f ? ?>f ?3? ?1? C.f ? ?>f(2)>f ?4?

?1? ?4? ? ? ?1? ?3? ? ?

?1? B.f ? ?>f(2)>f ?3? ?1? D.f ? ?>f ?4?

?1? ?4? ? ?

?1?>f(2) ?3? ? ?

[答案] D [解析] ∵0<a<1,∴y=logax 是减函数, 1 1 1 ∴loga >loga >loga >0. 4 3 2 1 1 又 loga =-loga2,∴|loga |=|loga2|, 2 2 1 1 ∴|loga |>|loga |>|loga2|, 4 3

?1? 即 f ? ?>f ?4?

?1?>f(2). ?3? ? ?

5.[(1-log63)2+log62·log618]÷log64=________. [答案] 1 2 [解析] 原式=[(log62) +log62·(1+log63)]÷2log62 1 1 1 1 1 1 1 2 =[(log62) +log62+log62·log63]÷2log62= log62+ + log63= log6(2×3)+ = + =1. 2 2 2 2 2 2 2

? ?2 ,x∈? -∞,1], 6.设 f(x)=? ? ?log81x,x∈? 1,+∞? ,

-x

1 则满足 f(x)= 的 x 值为__________. 4

[答案] 3 1 -x [解析] 当 x≤1 时,令 2 = ,则 x=2,不合题意; 4 1 1 当 x>1 时,令 log81x= ,则 x=81 =3. 4 4 综上,x=3. 7.已知定义域为 R 的函数 f(x)为奇函数,且满足 f(x+2)=-f(x),当 x∈[0,1]时,f(x)=2x-1. (1)求 f(x)在[-1,0)上的解析式; (2)求 f(log 24). [解析] (1)令 x∈[-1,0),则-x∈(0,1], ∴f(-x)=2 -1.又∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x),
-x

∴-f(x)=f(-x)=2 -1,

-x

?1?x ∴f(x)=-? ? +1. ?2?
(2)∵log124=-log224∈(-5,-4),
2

∴log124+4∈(-1,0),
2

∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴f(x)是以 4 为周期的周期函数, 1 1 ?1?log124 ∴f(log124)=f(log124+4)=-? ? 2 +4+1=-24· +1=- . 16 2 ?2? 2 2

(四)典型例题
1.命题方向:对数的运算 [例 1] 求值: (1)2(lg 2) +lg 2·lg5+ ? (lg 2)? (2)3
1+log 6 3 2 2

-lg2+1;

-2

4+log 3 2

+10
3

3lg3

?1?log 4-1 +? ? 3 ; ?9?

(3)(lg2) +(lg5) +3lg2·lg5. [分析] 灵活运用公式和性质进行计算,注意公式的逆用. [解析] (1)原式=lg 2(2lg 2+lg5)+ ? (2)原式=3·3
log 6 3

3

lg 2-1?

2

=lg 2(lg2+lg5)+1-lg 2=lg 2+1-lg 2=1. 9 39

-16·2log23+10lg27+32-log316=18-48+27+16=-16.

(3)原式=(lg2+lg5)[(lg2) -lg2·lg5+(lg5) ]+3lg2·lg5 =(lg2) -lg2·lg5+(lg5) +3lg2·lg5=(lg2+lg5) =1. [点评] 对数运算中注意逆用对数运算法则,若对数运算中出现不同的底,注意利用换底公式统一“底” ,再进行 运算. 跟踪练习 1 计算下列各题:
2 2 2

2

2

lg2+lg5-lg8 (1) ; lg50-lg40

27 (2)log3 log5[ 4 3

4

2
1 2

log 10 2

-(3 3)3-7

log 2 7

].

2×5 5 lg lg 8 4 [解析] (1)原式= = =1. 50 5 lg lg 40 4

3 3 3 2 4 log 2 (2)原式=log3 ·log5[2log210-(32)3-7 7 ] 3
?3 ? ?3 ? 1 =? log33-log33?·log5(10-3-2)=? -1?·log55=- . 4 ?4 ? ?4 ?
2.命题方向:对数的概念及运算性质 [例 2] 已知 x、y、z 为正数,

3 ?4 ?6
x y

z

(1)求使 2x=py 的 p 的值; (2)求与(1)中所求的 p 的差最小的整数; (3)求证

1 1 1 = ? 2y z x

(4)比较 3x,4y,6z 的大小. x y z [解析] (1)设 3 =4 =6 =k(显然 k≠1), 则 x=log3k,y=log4k,z=log6k. log3k 由 2x=py 得 2log3k=plog4k=p· , log34 ∵log3k≠0,∴p=2log34. (2)p=2log34=log316,∴2<p<3.

16 27 ∴p-2=log3 ,3-p=log3 . 9 16 ∵ 16 27 > ,∴p-2>3-p,故与 p 的差最小的整数是 3. 9 16

1 1 1 1 1 1 1 (3)证明: - = - =logk6-logk3=logk2= logk4= = . z x log6k log3k 2 2log4k 2y (4)∵k>1,∴lgk>0 lgk 3x-4y= (lg64-lg81)<0, lg3·lg4 lgk 4y-6z= (lg36-lg64)<0, lg2·lg6 ∴3x<4y<6z. [点评] 本题的解答利用了 ax=N(a>0 且 a≠1)?x=logaN,即指数式与对数式的互化,另外,在分析该题时,可 用方程思想作指导,将条件中的等式看作是关于 x,y,z 的方程组. 跟踪练习 2 1 1 a b (1)若 2 =5 =10,求 + 的值;

a b
x

(2)若 xlog34=1,求 4 +4 的值.

-x

[解析] (1)由已知 a=log210,b=log510, 1 1 则 + =lg2+lg5=lg10=1.

a b

(2)由已知 x=log43 1 10 x -x 则 4 +4 =4log43+4-log43=3+ = . 3 3 3.命题方向:对数函数的图像与性质 [例 3] 已知函数 f(x)=loga(2-ax),是否存在实数 a,使函数 f(x)在[0,1]上是 x 的减函数,若存在,求 a 的取 值范围. [分析] 参数 a 既出现在底数上,又出现在真数上,应全面审视对 a 的取值范围的制约. [解析] ∵a>0,且 a≠1, ∴u=2-ax 是 x 的减函数. 又 f(x)=loga(2-ax)在[0,1]是减函数, ∴函数 y=logau 是 u 的增函数,且对 x∈[0,1]时,

u=2-ax 恒为正数.
?a>1 ? 其充要条件是? ? ?2-a>0

即 1<a<2.

∴a 的取值范围是(1,2). [点评] 本题中 a 的取值范围要受到三个因数的制约:对数的底数;对数函数与一次函数的单调性;对数函数的定 义域及一次函数的值域,必须全面审视,缺一不可.

跟踪练习 3: 已知函数 f(x)=log2(x -ax-a)在区间(-∞,1- [解析] 令 g(x)=x -ax-a, 则 g(x)=?x- ? -a- , 4 ? 2? 由以上知 g(x)的图像关于直线 x= 对称且此抛物线开口向上. 2 因为函数 f(x)=log2g(x)的底数 2>1, 在区间(-∞,1- 3]上是减函数, 所以 g(x)=x -ax-a 在区间(-∞,1- 3]上也是单调减函数,且 g(x)>0.
2 2 2

3 ]上是单调递减函数.求实数 a 的取值范围。

?

a?2

a2

a

?1- 3≤a ? 2 ∴? ? >0 ?g? (1- 3 ) ?
解得 2-2 3≤a<2.

?a≥2-2 3 ,即? ?? (1- 3)?

2

-a? (1- 3)?

-a>0

.

(五)思想方法点拨
1.指数式 a =N 与对数式 logaN=b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键. 2.在运用性质 logaM =nlogaM 时,要特别注意条件,在无 M>0 的条件下应为 logaM =nloga|M|(n∈N 且 n 为偶数). 3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式 logamb = ·logab,logab=
n n n
*

b

n m

1 在解题中的灵活应用. logba

4.指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)互为反函数,要能从概念、图像和性质三个方面理解它们 之间的联系与区别. 5.比较两个幂值的大小是一种常见的题型,也是一类容易做错的题目.解决这类问题时,首先要分清是底数相同 还是指数相同.如果底数相同,可利用指数函数的单调性;如果指数相同,可利用图像(如下表). 同一坐标系下的图像关系

当底大于 1 时,底越大,图像越靠近坐标轴;当底小于 1 大于 0 时,底越小,图像靠近坐标轴,如果底数、指数都 不同,则要利用中间变量.

(六)课后强化作业
一、选择题 1.(2010· 四川文)函数 y=log2x 的图像大致是( )

A [答案] C [解析] 考查对数函数的图像.

B

C

D

?log2x, x>0, ? 2.(2010· 天津理)设函数 f(x)=? 1 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( ?log2?-x?, x<0. ?
A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) [答案] C 1 [解析] 当 a>0 时,由 f(a)>f(-a)得,log2a>log a,∴a>1;当 a<0 时,由 f(a)>f(-a)得, 2 1 log (-a)>log2(-a),∴-1<a<0,故选 C. 2 3.(2011· 银川模拟)lg8+3lg5 的值为( A.-3 [答案] D [解析] 原式=3lg2+3lg5=3lg10=3. B.-1 C.1 ) D.3 B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

)

f?a? f?b? f?c? 4.若函数 f(x)=log2(x+1)且 a>b>c>0,则 、 、 的大小关系是( a b c f?a? f?b? f?c? A. > > a b c f?b? f?a? f?c? C. > > b a c [答案] B [解析] ∵ f?c? f?b? f?a? B. > > c b a f?a? f?c? f?b? D. > > a c b

)

f?a? f?b? f?c? 、 、 可看作函数图像上的点与原点所确定的直线的斜率,结合函数 f(x)=log2(x+1)的图像及 a b c

f?c? f?b? f?a? a>b>c>0 可知 > > .故选 B. c b a 2 5.已知 log x1=logax2=loga+1x3>0,0<a<1,则 x1、x2、x3 的大小关系是( a A.x3<x2<x1 [答案] D 1 [解析] 取 a= 满足条件,则 2 log4x1=log1x2=log3x3>0,画出图像后知选 D.
2 2

)

B.x2<x1<x3

C.x1<x3<x2

D.x2<x3<x1

6.设函数 f(x)=loga(x+b)(a>0 且 a≠1)的图像过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则 a+b 等于( A.6 [答案] C
? ?loga?b+2?=1, [解析] 由题意得? 解得 a=3,b=1. ?loga?b+8?=2, ?

)

B.5

C.4

D.3

于是 a+b=4,选 C. [点评] 反函数的图像和原函数的图像关于直线 y=x 对称.点 P(a,b)在原函数 y=f(x)的图像上?点 P′(b,a)在 反函数 y=g(x)的图像上.解答该题是不需要求出反函数的. 1 7.(2010· 全国卷Ⅰ理)设 a=log32,b=ln2,c=5- ,则( 2 A.a<b<c [答案] C 1 1 [解析] a=log32= ,b=ln2= , log23 log2e 而 log23>log2e>1,所以 a<b, c=5 2=


) D.c<b<a

B.b<c<a

C.c<a<b

1

1 ,而 5>2=log24>log23,所以 c<a, 5

综上 c<a<b. 8.函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值为( 1 A. 4 1 B. 2 C.2 D.4 )

[答案] B [解析] ∵y=ax 与 y=loga(x+1)具有相同的单调性. ∴f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上单调, ∴f(0)+f(1)=a,即 a0+loga1+a1+loga2=a, 1 化简得 1+loga2=0,解得 a= . 2 二、填空题 9.方程 log2(x2+x)=log2(2x+2)的解是________. [答案] x=2

?x +x>0, ? [解析] 原方程??2x+2>0, ?x2+x=2x+2, ?

2

解得 x=2.

10.函数 y=f(x)的图像与函数 y=log3x(x>0)的图像关于直线 y=x 对称,则 f(x)=________. [答案] 3x(x∈R) [解析] y=f(x)是函数 y=log3x(x>0)的反函数. 11.已知函数 f(x)=2x,等差数列{an}的公差为 2,若 f(a2+a4+a6+a8+a10)=4, 则 log2[f(a1)· 2)· 3)· f(a10)]=________. f(a f(a ?· [答案] -6 [解析] ∵f(a2+a4+a6+a8+a10)=4,f(x)=2x, ∴a2+a4+a6+a8+a10=2, ∵{an}为公差 d=2 的等差数列, ∴a1+a2+?+a10=2(a2+a4+a6+a8+a10)-5d=-6. ∴log2[f(a1)· 2)· f(a10)]=log2[2a1· 2· 2a10]=log22a1+a2+?+a10=-6. f(a ?· 2a ?·


相关文章:
专题三 基本初等函数、函数与方程
专题三 基本初等函数函数与方程_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三二轮...?2? 的 4 次方根是___; 5 4 1 2 ?1 2 ; 【答案】0 ? a ? 16 ...
专题三 基本初等函数
专题三 基本初等函数_政史地_高中教育_教育专区。专题三一、指数幂的计算 2 ...( ) ? 16 4 2 4 300 二、与指数函数有关的复合函数的性质 例 2.已知...
...专题提升训练 基本初等函数(4)
(全国通用)2016届高考数学三轮冲刺 专题提升训练 基本初等函数(4)_数学_高中教育_教育专区。基本初等函数(4) 3、 对于函数 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件...
专题3 函数与基本初等函数(二) - 副本
6页 4下载券 专题3二次函数与基本初等... 暂无评价 1页 2下载券 专题一 ...数学 函数与基本初等函数(二) 课时数:3 教学目的 教学内容 第三节 函数的...
专题5 函数与基本初等函数(四)
专题5 函数与基本初等函数(四)_数学_高中教育_教育专区。具体介绍函数图像精锐...(三)基础自测 1.函数 y=x|x|的图像大致是 ( ) [答案] A 2.(2010?...
专题三 基本初等函数
专题复习 《基本初等函数》 姓名 __; 1、若定义在 R 上的函数 f ? x ?...?3,2? 上有最大值 4,则实数 a 值为 【答案】 3 或 ?3 ; 8 5、...
专题四、基本初等函数
专题四基本初等函数_数学_高中教育_教育专区。蓝天剑桥英语学校 初升高数学 ...y 3? 2 ) 4、函数 f ( x) ? ? a 2 ? 1? 在 R 上是减函数,则 ...
专题3:基本初等函数复习题——学生版
专题三:基本初等函数习题 1.已知函数 y ? f ( x ? 1) 的图象过点(3,2...f ( x ) 在定义域上是减函数,求 a 的取值范围; 第 2 页共4 页 13(...
003专题三函数与基本初等函数(二)02.19
… … x2 0 +(5x-4) ; lg(4 x ? 3) (3)y= 25 ? x +lgcosx;? 2 题型基本初等函数的图象及性质 例 4.若函数 f(x)= ? ? log 2 x, ...
2016届人教A版 第三章 函数与基本初等函数单元测试4
2016届人教A版 第三章 函数与基本初等函数单元测试4_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第三章 基本初等函数(Ⅰ)(A卷) 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两...
更多相关标签: