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广州市第47中学高二数学竞赛辅导讲义 PAGE 9


广州市第 47 中学高二数学竞赛辅导讲义
应 用 题 专 题

?1?

[重 点] 1. 与函数、方程、不等式有关的应用问题 2. 与数列有关的应用问题 [难 点]提炼、解决在相关学科、生产、生活中的数学问题,并能用数学语言正确地加以表述。 [考点概述] 数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一,也是考生失分较多的一种题型。解

答这类问题的要害是深 刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列, 不等式,排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复习时引起重视。 高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型, 另外, 估测计算型和信息迁移型也时有出现。 当然, 数学高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化,紧扣时代的主旋律,凸显了学科综合的特色。 一、求解应用题的一般步骤: 1、审清题意:认真分析题目所给的有关材料,弄清题意,理顺问题中的条件和结论,找到关键量,进而明 确其中的数量关系(等量或大小关系) 2、建立文字数量关系式:把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系,这是问题解 决的一把钥匙。 3、转化为数学模型:将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言,建立相应的数学模型(一般要列出函数 式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析),转化为一个数学问题。 4、解决数学问题:利用所学数学知识解决转化后的数学问题,得到相应的数学结论。 5、返本还原:把所得到的关于应用问题的数学结论,还原为实际问题本身所具有的意义。 二、应用题的常见题型及对策 1、与函数、方程(组)、不等式(组)有关的题型: 常涉及物价、路程、产值、环保、土地等实际问题,也常 常涉及角度、长度、面积、造价、利润等最优化问题。解决这类问题一般要利用数量关系,列出有关解析式,然 后运用函数、方程、不等式等有关知识和方法加以解决,尤其对函数最值、均值定理用得较多。 2、与数列有关的问题:常涉及到产量、产值、繁殖、利息、物价、增长率、植树造林、土地沙化等有关的 实际问题。解决这类问题常构造等差数列、等比数列(无穷递增等比数列),利用其公式解决或通过递推归纳得到 结论,再利用数列知识求解。 3、与空间图形有关的问题:常与空间观测、面积、体积、地球的经纬度等问题有关。解决此类问题常利用 立体几何、三角方面的有关知识。 4、与直线、圆锥曲线有关的题型:常涉及定位、人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁、线性规划等实 际问题。常通过建立直角坐标系,运用解析几何知识来解决。 5、与正、余弦定理及三角变换有关的题型:常涉及实地测量、计算山高、河宽、最大视角等。 6、与排列、组合有关的问题:运用排列、组合等知识解决 7、与概率、统计有关的应用问题:这是近几年高考(新课程卷)的重点、热点,是必考内容,主要用概率公 式和排列组合知识。 对常规型应用题,可使用下列“解题表”:(一)通读全题,初步估计本题属于哪种数学模型;(二)目标 是什么?未知是什么?(三)清理题目中所有量:有哪些是已知量?哪些是未知量?哪些是常量?哪些是变量?是否需 要设置新的量?(四)能否画个示意图?列个表?(五)条件中有哪些基本关系?是相等关系,还是不等关系?(六) 涉及这些关系有哪些数学知识?能否将 (三) 中的量代入使之成为方程或不等式? (七) 能否将上面的代数式化简? 能否通过解方程或解不等式求出未知量?(八)完成并检验全题. [例题与练习] 1.如图 1,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联,连线标注的数字表示该段网线单 位时间内可以通过的最大信息量.现从结点 A 向结点 B 传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位 时间内传递的最大信息量为( ) .

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A.26 B.24 C.20 D.19

?2?

图1

图2

图3

讲解:这是 2001 年全国高考题,是一道典型的非常规应用题,所用数学知识甚至小学程度就够了,但许多考生却选择了错误 的答案,究其原因,主要是“文字理解”这一关过不了.这些考生按图中“通路”求信息量,求出了 3+5+12=20,4+6+12= 22, 7+6+12=25, 6+8+12=26, 故选A. 这里就是将“连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量”中“通 过”没有理解正确.对最上面一条“通路”来说,它最多只能通过“3、5、12”中的最小值 3 个信息!依次还有 4、6、6 个,因此 从 A 出发的信息到 B 最多有 3+4+6+6=19 个.正确答案为D.

2 向高为 H 的水瓶中注水,注满为止.如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图 2 所示,那么水瓶的 形状是( ) .

讲解:本题要求根据图 2 中函数关系的大致图象(粗略的),对图中四个形状容器可能相符的容器作出判断,这里没有数值的运 算,甚至没有严格的形式推理,生活常识、图象的变化趋势(性质)是判断的依据.我们可以说:从图可见,若水深 H 从 0 变化到 (H/2)时变化状况与(H/2)变化到 H 变化状况相比,注水量在减少,符合这一性质的只有选择支B.

3.甲乙两地相距 S 公里,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时.已知汽车每小时的运输成 本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成,可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,并且系数为 b, 固定部分为 a 元. (1)将全程运输成本 y 表示成 v 的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本 最小,汽车以多大速度行驶?
讲解:(1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为(S/v),全程运输成本为 y=a·(S/v)+bv ·(S/v)=S((a/v)+bv),所以所求函数及其定义域为 y=S((a/v)+bv),v∈(0,c]. (2)由题意知 S,a,b,v都是正数,故有 S((a/v)+bv)≥2S 当且仅当(a/v)=bv,即v= 时上式中等号成立.当v= .


≤c,全程运输成本y最小.



>c,v∈(0,c]时,有 S((a/v)+bv)-S((a/c)+bc)

=S[((a/v)-(a/c))+ 2,故有a-bcv≥a-bc

(bv-bc)]

=(S/vc)(c-v)(a-bcv).因为c-v≥0,且a>bc

2>0.所以 S((a/v)+bv)≥S((a/c)+bc).且仅当v=c时,全程运输成本y最小. 综上所述,为使全程运输成本 y 最小,当 v= ≤c时,行驶速度应为v= ;当 >c时,行驶速度应为v=c.

说明:根据生活常识,汽车速度不会是一个无穷大的量,本题题意中“速度不得超过 c 千米/时”是一个重要的条件,它不仅 是在第(1)小题求定义域的依据,更是第(2)小题中分类讨论中分类的标准.故而注意这类实际意义中量所受的制约及在解题中 的作用是非常重要的.

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-nt

?3?

4.如图 3 所示,开始时桶 1 中有 a 升水,t 秒后剩余的水符合指数衰减曲线y1=ae ,那么桶 2 中的 -nt 水就是y2=a-ae .假定当 5 分钟后,桶 1 中的水与桶 2 中的水相等,那么再过多少分钟桶 1 中的水只有 (a/4).
讲解:由题意得ae e
-n(t+5) -5n

=a-ae

-5n

,即e

-5n

=(1/2).
-n(t+5)



设再过 t 分钟后桶 1 中的水只有(a/4),那么ae =(1/4).
-10n

=(a/4),

② =(1/4). ③

将(1)式平方,得 e 比较②、③,得

-n(t+5)=-10n,即t=5.

所以再过 5 分钟后桶 1 中的水只有(a/4). 说明:从①式中可以解出n=-(1/5)ln(1/2),但这只是题目的一个过渡量,并无一定解出的必要.一些同学解出后, 不仅增加了解题步骤,而且有可能陷入繁琐运算使解题夭折.

5.若干毫升水倒入底面半径为 2cm的圆柱形器皿中,量得水面的高度为 6cm.若将这些水倒入轴截面是正 三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( ).
A.6 3cm B.6cm C.2 3 18cm D.3 3 12cm

6.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘.根据需 要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,则不同的选购方式共有( ). A 5种 B 6种 C 7种 D 8种
解析:设购买软件 x 片,x≥3 且 x∈N*,磁盘 y 盒,y≥2 且 y∈N*,则 60x+70y≤500,即 6x+7y≤50. ①当 x=3 时,y=2,3,4.有 3 种选购方式.②当 x=4 时,y=2,3.有 2 种选购方式.③当 x=5 时,y=2.有 1 种选购方式.④当 x=6 时, y=2.有 1 种选购方式。综上,共有 7 种选购方式,故选 C. 评述:此题考查不等式的应用,建模能力,分类讨论思想及应用意识.

7.设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840cm ,画面的宽与高的比为 λ(λ<1),画图的上、下各留 8c m空白,左、右各留 5cm空白,则当 λ=__________时,宣传画所用纸张面积最小
讲解:设画面高为 x cm,宽为λ x cm,则λ x2=4840.设纸张面积为 S,有 S=(x+16) (λ x+10)=λ x2+(16λ +10)x +160,将 x= 22 10 代入上式,得 S=5000+44



?

10 (8 ? ? 5

?

).当 8

?=

5 ,即λ = 5 ( 5 <1 ) 时,S 取得最小值,

?

8

8

评述:本题主要考查建立函数关系式、求函数的最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力.

8.从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度 投入 800 万元,以后每年投入比上年减少(1/5).本年度当地旅游业收入估计为 400 万元.由于该项建设对旅 游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加(1/4).(1)设n年内(本年度为第一年)总投 入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an、bn的表达式;(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超 过总投入?

9. 如图 4,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉淀箱.污水从 A 孔流入,经 沉淀后从 B 孔流出.设箱体的长度为 a 米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与 a、b 的乘积 ab 成反比.现有制箱材料 60 平方米,问当 a、b 各为多少米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.(A、 B 孔的面积忽略不计)

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?4?

图5 图6 解法一:设 y 为流出的水中杂质的质量分数,则 y= k ,其中 k>0 为比例系数,依题意,即所求的 a、b 值使 y 值最小. ab
根据题设,有 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0) 得 b=

图4

30 ? a (0<a<30 ) 2?a
k 64 34 ? 2 (a ? 2) ? a?2



于是 y ?

k k k k ? ? ? 64 ab 30a ? a2 ?a ? 32 ? 64 34 ? (a ? 2 ? ) ? a?2 a?2 2?a

?

k 18

当 a+2= 64 时取等号,y 达到最小值.这时 a=6,a=-10(舍去) 将 a=6 代入①式得 b=3

a?2

故当 a 为 6 米,b 为 3 米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 解法二:依题意,即所求的 a、b 值使 ab 最大.由题设知 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0)即 a+2b+ab=30(a>0,b>0) ∵a+2b≥2

2ab

∴2

2 ab +ab≤30 当且仅当 a=2b 时,上式取等号.
即当 a=2b 时,ab 取得最大值,其最大值为 18. ∴2b2=18.解得 b=3,a=6.

由 a>0,b>0,解得 0<ab≤18

故当 a 为 6 米,b 为 3 米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小. 评述:本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基 础知识,考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力

10. 图 5 为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成,带钢从一端输入,经过各对轧辊逐步减薄后输 出.(1)输入带钢的厚度为 α,输出带钢厚度为 β,若每对轧辊的减薄率不超过r0.问冷轧机至少需要安装多 少对轧辊? (一对轧辊减薄率=(输入该对的带钢厚度-从该对输出的带钢厚度/输入该对的带钢厚度)) (2) 已知一台冷轧机共有 4 对减薄率为 20%的轧辊,所有轧辊周长均为 1600mm.若第 k 对轧辊有缺陷,每滚动一周在 带钢上压出一个疵点,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为Lk.为了便于检修,请计算L1、L2、L3并填入 下表.(轧钢过程中,带钢宽度不变,且不考虑损耗) 轧辊序号k 疵点间距Lk(单位:mm)
(I)解:厚度为 a 的带钢经过减薄率均为 ro 的 n 对轧辊后厚度为 a(1-r0)n. 单位)应满足 a(1-ro) ≤β,即 (1-ro) ≤β/a
n n n

1

2

3

4 1600

解析:本小题主要考查等比数列,对数计算等基本知识,考查综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力。 为使出带钢的厚度不超过 β,冷轧机的轧辊数(以对为 由于(1-ro) >O, β/a>0,对上式两端取对数,得 nlg(l-ro)≤lg(β/a). 因此,至少需要安装不小于(lgβ-lga)/[lg(1-ro)]的整数对轧辊 因宽度相等, 且无损耗, 由体积相等得 1600· a(1-r)k=Lk· a(1-k)4(r=20%),

由于 lg(1-ro)<0,所以 n≥(lgβ-lga)/[lg(1-ro)].

(II) 解法一: 第 k 对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长, 在此处出口的两疵点间带钢的体积为 1600a× (1-r)k× 宽度 (其中 r=20%) , 而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为 Lk× a(1-r)4× 宽度。 即 Lk=1600· 0.8K-4 由此得 l3=2000(mm), l2=2500(mm), l1=3125(mm) 解法二:第 3 对轧辊出口疵点间距为轧辊周长,在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等,因宽度 不变,有:1600=L3· (1-0.2),所以 L3=1600/0.8=2000(mm).同理 L2=L3/0.8=2500(mm). L1=L2/0.8=3125(mm)..

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?5?

11.一只船上有两根高度均为 25 英尺、相距 50 英尺的桅杆;有一条 100 英尺长的绳子,两端系在两根桅杆 的顶上, 并按图 6 所示的方式绷紧. 假定这条绳子在系到桅杆上时并没减少长度, 且处于两根桅杆所在的平面内, 求绳子与甲板接触之点到前面一根桅杆的距离.(注:1 英尺=0.3048 米,本题可用计算器)

12. 甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲的资源,因此甲有权向乙方索赔以弥补经济损 失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x( 元 ) 与年产量 t( 吨 ) 满足函数关系

x ? 2000 t 。若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格),(1)将乙方的年利润 w(元)表示
为年产量 t( 吨 ) 的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量; (2) 甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 2 y=0.002t (元),在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙 方要求的赔付价格 s 是多少?
(1)解法一:因为赔付价格为 s 元/吨,所以乙方的实际年利润为: w 因为 w ? 2000 t ? s( t ) 2 ? ?( s t?

? 2000 t ? st

1000 2 10002 所以当t ? ( 1000 ) 2 时,w 取得最大值, )? , s s s

所以乙方取得最大年利润的年产量 t ? (1000 ) 2 (吨) s 解法二:因为赔付价格 s/吨,所以乙方的实际利润为: w 由 w' ? 1000 -s ? 1000 ? s t , 令w' ?

? 2000 t ? st.
0

t

t

0得t 0 ? (

1000 2 ) . 当 t<t s

时,w?>0;当 t>t0 时 w?<0,所以 t=t0 时,w 取得最大值,

因此乙方取得最大年利润的年产量 t ? (1000 ) 2 (吨) 0 s (2)设甲方净收入为 v 元,则 v=st-0.002t ,将 t
2

?(

1000 2 ) 代入上式, s

得到甲方净收入 v 与赔付价格 s 之间的函数关系式 v

?

10002 2 ? 10003 ? s s4

又 v' ?

?

10002 8 ? 10003 10002 ? (8000? s 3 ) ? ? s2 s5 s5
当 s<20 时,v?>0;当 s>20 时,v?<0,

令 v?=0,得 s=20

所以 s=20 时,v 取得最大值,因此甲方向乙方要求赔付价格 s=20(元/吨)时,获得最大净收入。

13. (1997 年全国高考题)甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米/时, 已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成;可变部分与速度 v(千米/时)的平方成正 比,比例系数为 b;固定部分为 a 元。 ①把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出函数的定义域; ②为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
分析:几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联,抽象出其中的函数关系,并求函数的最小值。

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解: (1)(读题)由主要关系:运输总成本=每小时运输成本×时间 (建模)有 y

?6?

? (a ? bv 2 )

S v

(解题)所以全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数关系式是:

a y ? S( ? bv ) ,其中函数的定义域是 v ? ? 0, c ; v
(2)由 y

?

a ? S( ? bv ) 整理得y ? Sb(v ? b ) v v

a

由函数 y ? x ?

k (k ? 0)的单调性而得: x



a a a ? c时,则v ? 时,y取得最小值; 当 ? c时,则v ? c时,y取最小值 , b b b

综上所述,为使全程成本 y 最小,当

a a a ? c时,行驶速度应为 v? ;当 ? c 时,行驶速度应为 v=c。 b b b

说明:1. 对于实际应用问题,可以通过建立目标函数,然后运用解(证)不等式的方法求出函数的最大值或最小值,其中要特 别注意蕴涵的制约关系,如本题中速度 v 的范围,一旦忽视,将出现解答不完整。此种应用问题既属于函数模型,也可属于不等式 模型。2. 二次函数、指数函数以及函数 y

? ax ?

b (a ? 0, b ? 0) 的性质要熟练掌握。3. x

要能熟练地处理分段函数问题。

14. 为促进个人住房商品化进程,我国 1999 年元月公布了个人住房公积金贷款利率和商业性贷款利率如下: 贷款期(年数) ? 11 12 13 14 15 ? 公积金贷款月利率(?) ? 4.365 4.455 4.545 4.635 4.725 ? 商业性贷款月利率(?) ? 5.025 5.025 5.025 5.025 5.025 ?

汪先生家要购买一套商品房,计划贷款 25 万元,其中公积金贷款 10 万元,分十二年还清;商业贷款 15 万 元,分十五年还清,每种贷款分别按月等额还款,问:(1)汪先生家每月应还款多少元?(2)在第十二年底汪先生 家还清了公积贷款,如果他想把余下的商业贷款也一次性还清;那么他家在这个月的还款总数是多少? 144 144 180 (参考数据:1.004455 =1.8966,1.005025 =2.0581,1.005025 =2.4651)
解:设月利率为 r,每月还款数为 a 元,总贷款数为 A 元,还款期限为 n 月 第 1 月末欠款数 A(1+r)-a 第 2 月末欠款数[A(1+r)-a](1+r)-a=A(1+r) -a(1+r)-a 第 3 月末欠款数[A(1+r) -a(1+r)-a](1+r)-a=A(1+r) -a(1+r) -a(1+r)-a ?? 第 n 月末欠款数 A(1+r) -a(1+r) -a(1+r) -??-a(1+r)-a=0 得: a
n n-1 n-2 2 3 2 2

? A(1 ? r ) n ?

r (1 ? r ) n ? 1

对于 12 年期的 10 万元贷款,n=144,r=4.455?

? a ? 100000 ? 1.004455144 ?

0.004455 ? 942.37 1.004455144 ? 1 0.005025 ? 1268.22 1.005025180 ? 1
144 143 142

对于 15 年期的 15 万元贷款,n=180,r=5.025?

? a ? 150000 ? 1.005025180 ?

由此可知,汪先生家前 12 年每月还款 942.37+1268.22=2210.59 元,后 3 年每月还款 1268.22 元; (2)至 12 年末,汪先生家按计划还款以后还欠商业贷款 X=A(1+r) -a(1+r) -a(1+r) -?-a(1+r)-a

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其中 A=150000,a=1268.22,r=5.025? ∴X=41669.53 再加上当月的计划还款数 2210.59 元,当月共还款 43880.12 元。

?7?

15.(02 全国 20)某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且 每年新增汽车数量相同。为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不应 超过多少辆?
解:设 2001 年末汽车保有量为 b1 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆,b3 万辆,?,每年新增汽车 x 万辆,则 b1=30, b2=b1×0.94+x 对于 n>1,有 bn+1=bn×0.94+x=bn-1×0.94 +(1+0.94)x,??
2

? b n ?1 ? b1 ? 0.94n ? x(1 ? 0.94 ? ? ? 0.94n ?1 ) ? b1 ? 0.94n ?
当 30 ?
n+1 n 1

1 ? 0.94n x x x? ? (30 ? ) ? 0.94n 0.06 0.06 0.06

x ? 0 ,即 x≤1.8 时,b ≤b ≤?≤b =30 0.06 x x x x ? 0,即 x ? 1.8时, lim [ ? (30 ? ) ? 0.94 n ?1 ] ? 当 30 ? n ?? 0.06 0.06 0.06 0.06 x . 因此,如果要求汽车保有量不超过 60 万辆,即 并且数列{b } 逐项增加,可以任意靠近 0.06 x ? 60,即x ? 3.6 (万辆) 综上,每年新增汽车不应超过 3.6 万辆。 0.06
n

bn≤60(n=1,2 ,3 ,??) 则

16. (05 辽宁 18)如图,在直径为 1 的圆 O 中,作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形,其中 y>x>0。 (Ⅰ)将十字形的面积表示为θ 的函数;(Ⅱ)θ 为何值时,十字形的面积最大?最 大 面积是多少?
(Ⅰ)解:设 S 为十字形的面积,则 S=2xy-x
2

? ? ? 2 sin ? cos ? ? cos 2 ?( ? ? ? ) 4 2
(Ⅱ)解法一:

S ? 2 sin ? cos ? ? cos 2 ? 1 1 ? sin 2? ? cos 2? ? 2 2 5 1 ? sin(2? ? ? ) ? . 2 2
其中 ? ? arccos 2 5

5

(2? 当 sin

? ?) ? 1 ,即 2? ? ? ? ? 时,S最大
2

所以,当 ? ?

? 1 2 5 时,S 最大,S 的最大值为 5 ? 1。 ? arccos 4 2 5 2
2 2 2

解法二:因为 S=2sinθ cosθ -cos θ , 所以 S?=2cos θ -2sin θ +2sinθ cosθ =2cos2θ +sin2θ , 令 S?=0,即 2cos2θ +sin2θ =0, 可解得 ?

?

? 1 ? arctan( ?2) 2 2

所以,当 ?

?

? 1 5 ?1 ? arctan( ?2) 时,S 最大,S 的最大值为 . 2 2 2

17. 据气象台预报,在 A 市正东方向 300 公里的 B 处有一台风中心形成,并以每小时 40 公里的速度向西北 方向移动,距离台风中心 250 公里内的地方都要受其影响。问:从现在起,大约多长时间后,台风将影响 A 市, 持续时间有多长? 分析:台风中心在运动,它的运动规律是什么?我们可以建立一个直角坐标系来研究这一规律。

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2 2

?8?
2

视 A 市为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系 XOY,则 B 处的坐标(300,0),圆 A 的方程为 x +y =250 ,易 知当台风中心在圆 A 上或内部时,台风将影响 A 市。
解:建立如图所示的直角坐标系,台风中心运动的轨迹是一条射线,由于台风中心以每小时 40 公里的速度向西北方向移动, 于是可设台风中心所在的射线的参数方程为:
0 ? ? x ? 300 ? 40t cos 45 (t ? 0) ? 0 ? ? y ? 40t sin 45

即?

? ? x ? 300 ? 20 2t ? ? y ? 20 2t

(t ? 0) ,

其中,参数 t 的物理意义是时间(小时),于是问题转化为“当时间 t 在何范围时, 台风中心在圆 A 的内部或边界上” 。台风中心 C(300 ? 20 或者内部的充要条件是: (300 ? 20

2t , 20 2t ) 在圆 A 上

2 2t) ? (20 2t )2 ? 2502 , 解得 1.9≤t≤8.6

所以大约 2 小时后,A 市将受到台风影响,并持续 6.5 小时左右。 说明:这个解析几何模型对于研究台风、寒流、沙暴中心的运动规律,指导和预防自然灾害的影响具有现实意义。

18. 某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一 次订购量超过 100 个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元。(Ⅰ)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元?(Ⅱ)设一次订购量为 x 个,零件的实 际出厂单价为 P 元,写出函数 P=f(x)的表达式;(Ⅲ)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少 元?如果订购 1000 个,利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本)
解:(Ⅰ)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元,一次订购量为 x0 个,则

x 0 ? 100 ?

60 ? 51 ? 550 因此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元。 0.02

(Ⅱ)当 0<x≤100 时,P=60 当 100<x<550 时, P 当 x≥550 时,P=51

? 60 ? 0.02( x ? 100 ) ? 62 ?

x 50

?60 ? x 所以 ? P ? f ( x) ? ?62 ? 50 ? ? ?51

0 ? x ? 100 100 ? x ? 550( x ? N ) x ? 550

(Ⅲ)设销售商的一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润为 L 元,则

?20 x ? x2 ? L ? ( P ? 40) x ? ?22 x ? 50 ? 11 x ? ?

0 ? x ? 100 100 ? x ? 550 ( x ? N ) x ? 550

∴当 x=500 时,L=6000;当 x=1000 时,L=11000 因此,当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是 6000 元; 如果订购 1000 个,利润是 11000 元。

19. 某学校为了教职工的住房问题,计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为 A(m )的宿舍楼。已知土地的征 2 用费为 2388 元/m ,且每层的建筑面积相同,土地的征用面积为第一层的 2.5 倍。经工程技术人员核算,第一、 2 2 二层的建筑费用相同都为 445 元/m ,以后每增高一层,其建筑费用就增加 30 元/m ,试设计这幢宿舍楼的楼高层 数,使总费用最少,并求出其最少费用。(总费用为建筑费用和征地费用之和)
解:设楼高为 n 层,总费用为 y 元,则征地面积为

2

2 .5 A 2 5970 A m ,征地费用为 n n

元,楼层建筑费用为:

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[445 ? 445 ? (445 ? 30) ? (445 ? 30 ? 2) ? ? ? 445 ? 30 ? (n ? 2)] ?
从而 y

?9?

A 30 ? (15n ? ? 400 )A元 , n n

?

5970 A 30 A 6000 ? 15nA ? ? 400 A ? (15n ? ? 400)A ? 1000A( 元) n n n
n

当且仅当 15n ? 6000 , n ? 20( 层) 时,总费用 y 最少 故当这幢宿舍楼的楼高层数为 20 层时,最少总费用为 1000A 元。

20.某校有教职员工 150 人,为了丰富教工的课余生活,每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计,每次 去健身房的人有 10%下次去娱乐室,而在娱乐室的人有 20%下次去健身房。请问,随着时间的推移,去健身房的 人数能否趋于稳定?
解:引入字母,转化为递归数列模型。设第 n 次去健身房的人数为 an,去娱乐室的人数为 bn,则 an+bn=150

? an ?

9 2 9 2 7 7 an ?1 ? bn ?1 ? an ?1 ? (150 ? an ?1 ) ? an ?1 ? 30. 即a n ? a n-1 ? 30 10 10 10 10 10 10 7 7 n -1 7 n-1 ? a n -100 ? (a n-1 -100), 于是a n -100 ? (a1 -100)( ) 即 a n ? 100 ? ( ) ? (a 1 - 100). 10 10 10
n ??

? lim a n ? 100 ,

故随着时间的推移,去健身房的人数稳定在 100 人左右。


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