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2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件:1.3含绝对值的不等式和一元二次不等式(第2课时)


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第一章

集合与简易逻辑

第3讲
含绝对值的不等式 和一元二次不等式 (第二课时)
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? 题型四:二次不等式、分式不等式的解法 ? 1. 解不等式组 ?

>x 2 ? 6 x ? 8>0 x?3 >2. x ?1

由x2-6x+8>0,得(x-2)(x-4)>0,
x?3 ?x ? 5 >2 ,得 >0 ,所以1<x< x ?1 x ?1
2

? 所以x<2或x>4.
? 由

5.

? 所以原不等式组的解集是(1,2)∪(4,5).

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? 点评:解一元二次不等式,一般先化二 次项系数为正,然后解得其对应的一元 二次方程的两个根,再由此写出不等式 的解集;分式不等式,一般是先通分, 然后对分子分母分解因式,再根据实数 乘除的符号法则化为一元二次不等式进 行求解.
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? ? ? ? ?

解不等式 2 ? x ? 3 > x ? 2 . x ? 2 x ?1 原不等式可化为 2 ? (1 ? 1 )>1 ? 1 , x ?1 2x ? 3 x ? 2 1 即 1 ,即 >0, ? >0 ( x ?其解用数轴表示 1)( x ? 2) x 所以x ? 1 3 ? 2 ( 如下: x ? 2 )( x ? 1)( x ? 2)>0,

? 所以不等式的解集是(1, )∪(2,+∞).
3 2

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?

题型五: 高次不等式的解法

? 2. 解下列不等式: ? (1)2x3-x2-15x>0;

? (2)(x+4)(x+5)2(2-x)3<0.
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?
5 ? x 2= 2

(1)原不等式可化为x(2x+5)(x-3)>0,

? 把方程x(2x+5)(x-3)=0的三个根x1=0, ,x3=3顺次标在数轴上,然后从右上 开始画曲线顺次经过三个根,其解集为如图 所示的阴影部分.

5 ? 所以原不等式的解集为{x| ?<x<0或x>3}. 2
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? ? ? ? ?

(2)原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 ?x+5≠0 x≠-5 (x+4)(x-2)>0 ? x<-4或x>2. 所以原不等式的解集为 {x|x<-5或-5<x<-4或x>2}.

? 点评:解高次不等式的策略是降次,降次的 方法一是分解因式法,二是换元法.本题是 利用分解因式,然后根据实数的积的符号法 则,结合数轴标根法得出不等式的解集.
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4x ? 2 ? 1. ? (原创)解不等式 2 x ? x?6 x2 ? 3 x ? 4 ? 原不等式可化为 ? 0, ( x ? 2)( x ? 3) 即(x+1)(x-4)(x-2)(x+3)≤0,所以(x+1)(x-4)(x2)(x+3)≤0且x≠-3,x≠2,用“数轴标根法”画 草图, ? 所以原不等式的解集是(-3,-1]∪(2,4].
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? 题型六:含参数的一元二次不等式的解 法 ? 3. 已知不等式ax2+bx+c>0的解集为 {x|1<x<3}, ? 求cx2+bx+a<0的解集.

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?

解法1:注意到一元二次不等式的解 集与相应二次方程的根之间的关系,可以知 道ax2+bx+c=0的两个根为1,3,即原不等式 与(x-1)(x-3)<0同解.
?a ?b ?c ? ? ? k>0, 1 ?4 3

? 即x2-4x+3<0与-ax2-bx-c<0同解, ? 因此 ? 这 样 目 标 不 等 式 cx2+bx+a < 0 可 变 成 3x21 2-4x+1=0的根为 4x+1>0,而方程3x ( , 1)
13 ? 因此所求不等式的解集为{x|x< 或x>1}. 3
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? 解法2:由ax2+bx+c>0的解集为{x|1<x <3},可知ax2+bx+c=0的两个实根为1,3, b c ? 且a<0,根据韦达定理有 ? 4, ? 3, a a 因为a<0,不等式cx2+bx+a<0可变成 c 2 b x ? x ? 1>0, 即3x2-4x+1>0, a a 1 解得 x< 或x>1, 3 1或x>1}. 故原不等式的解集为{x| x< 3
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? ? ? ?

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? 点评:一元二次不等式与一元二次方程 有着千丝万缕的关系,如一元二次不等 式解集的边界值等于其对应的一元二次 方程的两根,而方程的根又与系数有着 联系,因此不等式的边界值与系数也就 联系起来了.不同的是要注意一元二次 不等式最高次项的符号.
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? 已知a<1,解关于x的不等式: x?2 ? 0. 2 2 ax ? a x ? x ? a x?2 ? ?0. ? (x+2)(ax-1) ? 2 2 ax ? a x ? x ? a (x+a)>0, ? 因为a<1,所以, ? (1)当a=0时,原不等式? -x(x+2)>0 ? ?

? ?-2<x<0;

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1 ? (2)当0<a<1时,原不等式?(x+2)(x- ) a (x+a)>0,

? 因为-2<-a< 1 ,所以-2<x<-a或x> 1 ; ? (3)当a<0时,原不等式?(x+2)(x- 1)a a (x+a)<0, a ? ①若 时,原不等式?-2<x<-a或 1 x< ;? a ? 0 ? ? ? ②若 2 时,原不等式 且x≠1 2; a 1 1
a?? 2

? x?

2
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1 1 ? ? ③若 a ? 时,原不等式? a<x<-a或x<-2, 2 ? 综上,当0<a<1时,解集是{x|-2<x<-a或 }; 1 x? ? 当a=0时,解集是{x|-2<x<0}; a

? 当

时,解集是{x|-2<x<-a或

};

1 1 x? ? 当 ? ?a?0 时,解集是{x| 且x≠-2}; a 2 1 1 ? 当 a ? ? 时,解集是{x| x ? 2 或x<-2}. 2 1 1 ? x ? ?a a?? a 2
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参考题

? 不等式(m-2)x2+2(m-2)x-4<0对一切实数

x都成立,求实数m的取值范围.
? ①若m=2,不等式可化为-4<0, 这个不等式与x无关,即对一切x∈R都 成立.
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? ②若m≠2,这是一个一元二次不等式. ? 由于解集为R,故知抛物线y=(m-2)x2+2(m-

2)x-4的开口向下,且与x轴无交点,必有
m-2<0 即 ? Δ<0, 4(m-2)2-4(m-2)(-4)<0, ? 解得-2<m<2. ? 综上,m的取值范围是{m|-2<m≤2}.
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m-2<0

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? 1.含参数的二次不等式可从 ? ①二次项系数与0的大小; ? ②判别式与0的大小; ? ③一元二次方程的根这三个方面进 行分层讨论.

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? 2. 一元n (n≥2,n∈N)次不等式及分式不 等式的求解问题也可采用标根分区间法求解. ? 其步骤是: ? (1)将多项式的最高次项的系数化为正数; ? (2)将多项式分解为若干个一次因式的积;

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? (3)将每一个一次因式的根标在数轴上, 从右上方依次通过每一点画曲线; ? (4)根据曲线显现出的多项式值的符号变 化规律,写出不等式的解集.

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? ? ? ?

一般地,一元n次不等式: (x-a1)(x-a2)…(x-an)>0 (x-a1)(x-a2)…(x-an)<0 其中a1<a2<a3<…<an,把a1,a2,…, an按大小顺序标在数轴上,则不等式的解的 区间如下图所示.

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? 右端第一区间(an,+∞)一定为正,然后 正负相间. ? 对于一次因式中有奇次方(大于1)和偶 次方的高次不等式,其办法为:“奇次 方一穿而过,偶次方穿而不过.”

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