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高三函数提优测试卷含答案


高三函数提优测试卷
一、填空题: 1.在正实数集上定义一种运算“*” :当 a ? b 时, a ? b ? b 3 ;当 a ? b 时, a ? b ? b 2 ; 根据这个定义,满足 3 ? x ? 27 的 x 的值为 2.已知函数 f ( x) ? ax ? b 的零点是 2,则函数 g ( x) ? ax ? bx2 的零点是 3.函数 f ( x) ? l

oga ( x ? 1) ? 1(a ? 0且a ? 1) 恒过定点 .

5 4.已知函数 f (x) 在 ?? 1,2? 上是增函数,且满足 f ( x) ? f (4 ? x) ,则 f (0) , f ( ) , f (3) 2

的从小到大顺序是 ...... 5.已知关于 x 的方程 lg 2 x ? 2a lg x ? 2 ? a ? 0 的两根均大于 1,则实数 a 的取值范围是 ...... 6.12、已知 A ? x a ? x ? a ? 3? B ? x x ? ?1或x ? 5 若 A ? B ? B ,则实数 a 的范围 , 7.已知函数 f ( x) ? log2 ( x 2 ? ax ? 3a) 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是 8. 如图,已知奇函数 f (x) 的定义域为 x x ? 0, x ? R?, 且 f (2) ? 0 则不等式 f ( x) ? 0 的解集为 9.若函数 f ( x) ? ( ) .

?

?

?

?

y 0 2 x

1 a

2? x

? m ?a ? 1? 的图象与 x 轴有公共点,则实数 m 的取值范围是

10.是否存在实数 a ,使得 f ? x ? ? loga ax ? 出 a 的取值范围。 11.已知: f ( x) ?

?

x 在区间 ? 2, 4? 上是增函数?若存在,求

?

1 1 1 1 1 1 1 , 则f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (? ) ? f (? ) ? f (? ) ? 2 3 4 2 3 4 2 ?1
x

12.已知 x 满足不等式 (log2 x) 2 ? 7 log2 x ? 6 ? 0 , 函数 f (x) ? (log2 4 x) ? (log4 2 x) 的值 域是 .
a b
a+b+c b?a

13. 已知三次函数 f(x)=3x3+2 x2+cx+d(a<b)在 R 上单调递增,则 个整数,则实数 a 的取值范围是 .

的最小值为

14. 关于 x 的不等式 x2?ax+2a<0 的解集为 A,若集合 A 中恰有两

二、解答题 15. (14 分)△ABC 的外接圆的直径为 1,三个内角 A、B、C 的对边为 a、b、c ,

?? ? ? ?? n ? ? cos A, ?b ? , m ? (a,cos B)a ? b ,已知 m ? n .
(1)求 sin A ? sin B 的取值范围;

(2)若 abx ? a ? b ,试确定实数 x 的取值范围

16.(14 分)已知函数 f ( x) ? loga (1 ? x), g ( x) ? loga (1 ? x) 其中 (a ? 0 且a ? 1 ) ,设 . h( x) ? f ( x)? g ( x) (1)求函数 h( x) 的定义域,判断 h( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)若 f (3) ? 2 ,求使 h( x) ? 0 成立的 x 的集合.

17.(14 分) 某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环 境综合污染指数 f ? x ? 与时间 x(小时)的关系为 f ? x ? ?

x 1 ? ? a ? 2a, x ? ?0, 24? ,其 x ?1 3
2

中 a 与气象有关的参数,且 a ? ?0, ? ,若用每天 f ? x ? 的最大值为当天的综合污染指数, 4 并记作 M ? a ? . (1)令 t ?

? 3? ? ?

x , x ? ? 0, 24? ,求 t 的取值范围; x ?1
2

(2)求函数 M ? a ? ; (3)市政府规定,每天的综合污染指数不得超过 2,试问目前市中心的综合污染指数是多 少?是否超标?

18. (16 分)已知函数 f ( x ) ?

1 ? x 2 ? a (常数 a ? R ? ) x2

(Ⅰ)判断 f (x) 的奇偶性并说明理由; (Ⅱ)试研究函数 f (x) 在定义域内的单调性,并利用单调性的定义给出证明.

19. (本题满分 16 分)已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? a x ? 1 .其 中 a ? 0 且 a ? 1. (1)求 f (2) ? f (?2) 的值; (2)求 f (x) 的解析式; (3)解关于 x 的不等式 ? 1 ? f ( x ? 1) ? 4 ,结果用集合或区间表示.

20. (本题 16 分)已知函数 (1) 当 (2)若函数 时,求函数 的极值;

(

R).

的图象与 轴有且只有一个交点,求

的取值范围

答案
一、填空题: 1.在正实数集上定义一种运算“*” :当 a ? b 时, a ? b ? b 3 ;当 a ? b 时, a ? b ? b 2 ; 根据这个定义,满足 3 ? x ? 27 的 x 的值为 3、 3 3 0、 ?

2.已知函数 f ( x) ? ax ? b 的零点是 2,则函数 g ( x) ? ax ? bx2 的零点是 3.函数 f ( x) ? loga ( x ? 1) ? 1(a ? 0且a ? 1) 恒过定点

1 ; 2

(2,1)

.已知函数

5 4.若函数 f (x) 在 ?? 1,2? 上是增函数,且满足 f ( x) ? f (4 ? x) ,则 f (0) , f ( ) , f (3) 的 2

从小到大顺序是 ......

f (0), f (3), f (2.5)

5.已知关于 x 的方程 lg 2 x ? 2a lg x ? 2 ? a ? 0 的两根均大于 1,则实数 a 的取值范围是 .. . ...

?? ?,?2?
6.12、已知 A ? x a ? x ? a ? 3? B ? x x ? ?1或x ? 5 若 A ? B ? B ,则实数 a 的范围 ,

?

?

?

a ? ?4或a ? 5
2 7.已知函数 f ( x) ? log2 ( x ? ax ? 3a) 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是

? 1 ? ? ? 2 , 2? ? ?
8. 如图,已知奇函数 f (x) 的定义域为 x x ? 0, x ? R?, 且 f (2) ? 0 则不等式 f ( x) ? 0 的解集为 9.若函数 f ( x) ? ( )

?

y . 0 2 x

?x ? 2 ? x ? 0或x ? 2?

1 a

2? x

? m ?a ? 1? 的图象与 x 轴有公共点,则实数 m 的取值范围是

?? 1,0?
10.是否存在实数 a ,使得 f ? x ? ? loga ax ? 出 a 的取值范围。 11.已知: f ( x) ?
x

?

x 在区间 ? 2, 4? 上是增函数?若存在,求
(答: a ? 1 )

?

1 1 1 1 1 1 1 , 则f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (? ) ? f (? ) ? f (? ) ? 2 3 4 2 3 4 2 ?1

3

2 12.已知 x 满足不等式 (log2 x) ? 7 log2 x ? 6 ? 0 , 求函数 f (x) ? (log2 4 x) ? (log4 2 x) 的

值域. 解 : 由 题 意 可 知 :

? 6 ? log2 x ? ?1 ∴ f ( x) ?

1 2 log 2 x ? 3 log 2 x ? 2 2

?

?

1? 3? 1 ? ?log2 x ? ? ? 2? 2? 8
由 ? 6 ? log2 x ? ?1得 0 ? ? log2 x ? 所以 f (x) 的值域是 ?? 13.3
1 25 14. [?1, ? ) ? ( ,9] 3 3

2

? ?

1 3? 81 得 ? ? f ( x ) ? 10 ? ? 8 2? 4

2

? 1 ? ,10? ? 8 ?

二、解答题

n 15. 解: (1)∵ m ? n ,∴ m? ? 0 ,∴ a cos A ? b cos B ? 0 .
由正弦定理知,

??

?

?? ?

a b ? ? 2 R ? 1 ,∴ a ? sin A, b ? sin B . sin A sin B

∴ sin A cos A ? sin B cos B, ∴ sin 2 A ? sin 2 B . ∵ A, B ? ? 0, ? ? ,∴ 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? . ∴ A ? B , A? B ?

?
2



?? ? sin A ? sin B ? sin A ? cos A ? 2 sin ? A ? ? , 4? ?
?
4 ? A?

?
4

?

3? 2 ?? ? ,∴ ? sin ? A ? ? ? 1 . 4 2 4? ?

∴ sin A ? sin B 的取值范围为 1, 2 ? .

?

?

sin (2)∵ abx ? a ? b ,∴ sin A? B?x ? sin A ? sin B
∴x?

sin A ? cos A . sin A cos A

令 sin A ? cos A ? t ? 1, 2 ? ,sin A cos A ?

?

?

t 2 ?1 , 2

∴x?

1 1 1 2 2t 2 .∵ t ? 在 1, 2 ? 单调递增,∴ 0 ? t ? ? 2 ? , ? ? ? t t 2 t ?1 t ? 1 2 t
2

?

∴ x ? 2 2 ,故 x 的取值范围为 ? 2 2, ?? .

?

?

16. 已 知 函 数 f ( x ) ?

la o ? x ( g x ?) , g 1

a

0 (? x) 其 中 g(a (?1 且a) ? 1 ) , 设 l o

h( x) ?

f ( ?x)

. ( x) g

(1)求函数 h( x) 的定义域,判断 h( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)若 f (3) ? 2 ,求使 h( x) ? 0 成立的 x 的集合.

解: (1)由题意,得

?1 ? x ? 0 ? x ? ?1 ? ? 1? x ? 0 ? x ? 1

解得 ?1 ? x ? 1 故 h( x) 的定义域为 (?1,1) .

h( x) 的定义域为 (?1,1) ,关于数 0 对称,
且 h(? x) ? f (? x) ? g (? x) ? log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) ? ?h( x) 故 h( x) 为奇函数. (2)由 f (3) ? 2 得 a ? 2 h( x) ? log 2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x) ? log 2 (

1? x ) ? 0 ? log 2 1 1? x

?1 ? x ? 1 ? x ? 0或x ? 1 ? 即 ?1 ? x ,解得 ?1 ? x ? 0 ? 所求的 x 的集合为 (?1, 0) ? ?1 ? x ? 1 ?
17. 解(1)∵ t ?

x , x ? ? 0, 24? , x ? 0 时, t ? 0 . x ?1 1 x 1 ? 1? 0 ? x ? 24 时, t ? , x ? ? 2 ,∴ 0 ? t ? .∴ t ? ?0, ? 。 1 2 x ? 2? x? x
2

(2)令 g ? x ? ? t ?

1 ? 1? ? a ? 2a, t ? ?0, ? . 3 ? 2?

当a?

1 1 7 5 ?1? 5 ? ,即 0 ? a ? 时, ? g ? x ? ? max ? g ? ? ? ? a ? 2a ? a ? ; ? ? 3 4 12 6 ?2? 6 1 1 7 3 1 1 ? ,即 ? a ? 时, ? g ? x ?? max ? g ? 0 ? ? ? a ? 2a ? 3a ? 。 ? ? 3 4 12 4 3 3

当a?

5 7 ? ?a ? 6 , 0 ? a ? 12 , ? 所以 M ? a ? ? ? ?3a ? 1 , 7 ? a ? 3 . ? 3 12 4 ?
(3)当 a ? ?0,

?7? 7 ? 7? ? 时, M ? a ? 是增函数, M ? a ? ? M ? ? ? ? 2 ; ? 12 ? 12 ? 12 ?

当a??

? 7 3? ? 3 ? 23 , ? 时, M ? a ? 是增函数, M ? a ? ? M ? ? ? ? 2. ?12 4 ? ? 4 ? 12
23 ,没有超标. 12

综上所述,市中心污染指数是

18.已知函数 f ( x ) ?

1 ? x 2 ? a (常数 a ? R ? ) 2 x

(Ⅰ)判断 f (x) 的奇偶性并说明理由; (Ⅱ)试研究函数 f (x) 在定义域内的单调性,并利用单调性的定义给出证明. 解: (1)定义域为: (??,0) ? (0,??)

? f ( ? x) ?

1 1 ? (? x) 2 ? a ? 2 ? x 2 ? a ? f ( x), ? f (x) 是偶函数, 2 ( ? x) x

?1 2 ? x 2 ? x ? a ( x ? ? a 或x ? a ) (2) f ( x) ? ? (a ? R ? ) 1 ? 2 ? x 2 ? a (? a ? x ? a ) ? x 1 1 0 若 x ? ? a或x ? a ,则f ( x) ? 2 ? x 2 ? a , x
设 a ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 1 1 2 2 ? x12 ? 2 ? x2 ? ( x2 ? x12 )( 2 2 ? 1) ?5 分 2 x1 x2 x1 x2 1 1 2 ? 2 且x2 ? x12 ? 0, 2 x x2 a
2 1

2 由 a ? x1 ? x2 ? x12 x2 ? a 2 ?



1 ? 1 ? a ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ),? f ( x) 在 [ a ,??) 上是增函数; a2

又 f (x) 是偶函数, f (x) 在 (??,? a ] 上是减函数。



1 1 ? 1 ? 0 ? a ? 1 时, a ? x1 ? x2 ? 1时, 2 2 ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ), 2 a x1 x2

1 ? x1 ? x2 时,
函数;

1 ? 1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ).? f (x) 在 [ a ,1] 上是减函数,在 [1,??) 上是增 2 x x2
2 1

又 f (x) 是偶函数,在 [?1,? a ] 上是增函数,在 (??,?1] 上是减函数.

2 0 若 ? a ? x ? a ( x ? 0), 则f ( x) ?

1 ? x 2 ? a, 2 x

设0 ? x1 ? x2 ? a , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

1 1 1 2 2 ? x12 ? 2 ? x2 ? ( x2 ? x12 )( 2 2 ? 1) ? 0 2 x1 x2 x1 x2
f (x) 是偶函数,于是 f (x) 在 [? a ,0) 上是

? f ( x)在( ,a ] 上是减函数,又 0
增函数。 由 1 2 知:
0 0

当 0 ? a ? 1 时, f (x) 在 (0,1] 上是减函数,在 [1,??) 上是增函数, 在 (??,?1] 上是减函数,在 [?1,0) 上是增函数; 当 a ? 1 时, f (x) 在 (0, a ] 上是减函数,在 [ a ,??) 上是增函数, 在 (??,? a ] 上是减函数,在 [? a ,0) 上是增函数. 19. (本题满分 16 分)已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? a x ? 1 .其 中 a ? 0 且 a ? 1. (1)求 f (2) ? f (?2) 的值; (2)求 f (x) 的解析式; (3)解关于 x 的不等式 ? 1 ? f ( x ? 1) ? 4 ,结果用集合或区间表示. 解: (1)因 f (x) 是奇函数,所以有 f (?2) ? ? f (2) ,所以 f (2) ? f (?2) =0. (2) x ? 0 时,? x ? 0 ? 当

f (? x) ? a ?x ? 1 由 f (x) 是奇函数有, f (? x) ? ? f ( x) , f ( x) ? ?a ? x ? 1 ( x ? 0)

?
?

? f ( x) ? a ?x ? 1 ?
所求的解析式为

? a x ?1 x ? 0 f ( x) ? ? ? x ??a ? 1 x ? 0

(3)不等式等价于 ?

x ?1 ? 0 x ?1 ? 0 ? ? 或? ? x ?1 ? 1 ? 4 ?? 1 ? a x ?1 ? 1 ? 4 ?? 1 ? ?a

即?

? x ?1 ? 0 或 ? x ?1 ?2 ?? 3 ? a
, 注 意 此 时

? x ?1 ? 0 ? x ?1 ?0 ? a ? 5

当 a ?1 时 , 有 ?

?

x ?1

? x ? 1 ? l o ag2

或 ?

?

x ?1

? x ? 1 ? loga 5

l o ag2 ? 0, l o ag5 ? 0 ,
可得此时不等式的解集为 (1 ? loga 2,1 ? loga 5) 集为 R . ( 或 由 此 时 函 数 的 值 域 为 (?1,1) 得 ) 综 上 所 述 , 当 a ? 1 时 , 不 等 式 的 解 集 为 同理可得,当 0 ? a ? 1 时,不等式的解

(1 ? l o g 2,1 ? l o g 5) ; a a
当 0 ? a ? 1 时,不等式的解集为 R . 20. 解: (1)当 ∴ 令 当 当 当 ∴ 当 当 (2) ∵ 时, 时, 时, = =0, 得 时, 时, , , 则 , 则 在 . 在 在 上单调递增; 上单调递减; 时, . ,

上单调递增. ; . = .

取得极大值为 取得极小值为 ,∴△=

① 若 a≥1,则△≤0, ∴ ∵f(0) ,

≥0 在 R 上恒成立,∴ f(x)在 R 上单调递增 . , = 0 有两个不相等的实数根, 不妨设为 x1,2,x1<x2) x( . 的取值情况如下表: x1 (x1,x2) - ↘ x2 0 极小值 + ↗

∴当 a≥1 时,函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点. ② 若 a<1, 则△>0, ∴ ∴x1+x2 = 2,x1x2 = a. 当 变化时, x + f(x) ↗

0 极大值

∵ ∴

,∴

.

. 同理 ∴ .

. 令 f(x1)· 2)>0, 解得 a> . f(x 而当 故当 时, , 时, 函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点. .

综上所述,a 的取值范围是


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