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数学 七年级上 2.8有理数的加减混合运算 课件


有理数加减混合运算

复习回顾

?(1)有理数的加法法则是什么?

怎样进行有 理数的加减 混合运算呢?

有理数的加法法则: (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; (2)绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大的加 数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值; (3)互为相反数的两个

数相加得零; (4)一个数与零相加,仍得这个数;

?(2)有理数的减法法则是怎样的?
有理数的减法法则: 减去一个数,等于加上这个数的相反数. 即 a -b = a +(-b)

? 一架飞机做特技表演,起飞后的高度变化 如下表:

此时飞机比起飞点高了多少千米?

方法一: 4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4) =1.3+1.1+(-1.4) =2.4+(-1.4) =1(千米)
方法二: 4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4 = 1.3 + 1.1 - 1.4 = 2.4 - 1.4 = 1(千米) 比较以上两种算法,你发现了什么?

加减法统一成加法
在代数里,一切加法与减法运算,都可以统 一成加法运算。在一个和式里,通常有的加号可 以省略,每个数的括号也可以省略。 如4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4)可以写成省略括号的 形式: 4.5 - 3.2 + 1.1 - 1.4(仍可看作和式) 读作 “正4.5、负3.2、正1.1、负1.4的和” 也可读作 “4.5减3.2加1.1减1.4”

去括号法则
括号前是“+”号,去掉括号和它前 面的“+”号,括号里面各项都不变; 括号前面是“-”号,去掉括号和它 前面的“-”号,括号里的各项都变成它 的相反数.

? 再看下面的例子: (-8) - (-10) + (-6) - (+4)
=(-8) + (+10)+(-6) + (-4) (把减法运算统一成加法运算 )

=-8+10-6-4 (省略括号和加号)
读作: 负8 正10 负6 负4 的和. 或: 负8 加10 减6 减4. 这就是省略加号的代数和.

1.有理数加减法统一成加法的意义
(1)有理数加减混合运算,可以通过有理数减法法则将减法 转化为加法,统一成只有加法运算的和式, 如(?12)?(?8)?(?6)?(?5)

?(?12)?(?8)?(?6)?(?5)
(2)在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省l略
不写,写成省略加号的和的形式: 如 (?12)?(?8)?(?6)?(?5)

??12?8?6?5
〃;

(3)和式的读法,一是按这个式子表示的意义,读作“

?12,?8,?6,?5的和

二是按运算的意义,读作 负12,减8,减6,加5 “ 〃.

例题1
把(+2/3)- 4/5 + 1/5- (-1/3) -1
写成省略加号的和的形式, 并把它读出来。

? 2? ? 4 ? ? 1 ? ? 1 ? 解答 : ? + ? + ? - ? + ? + ? - ? - ? - ? +1? ? 3? ? 5 ? ? 5? ? 3? 2 4 1 1 =(+ ) +(- ) +(+ ) +(+ ) +(-1) 3 5 5 3 ......................( 减法转变成加法 ) 2 4 1 1 = - + + - 1. ? 省略加号和括号? 3 5 5 3
2 4 1 1 + + -1 3 5 5 3 2 4 1 1 读法: , 负 , 正 , 正 , 负1的和. 3 5 5 3 2 4 1 1 或: 减 加 加 减1的差 3 5 5 3

思考 ? 1.算式2-3-8+7可看作是哪几个有理数的 代数和? ? 2.是否所有含有有理数加减混合运算的式子 都能化成有理数的代数和? ? 3.有理数加法运算,满足哪几条运算律? ? 4.如何计算-3+5-9+3+10+2-1比较简 便?

? -3+5-9+3+10+2-1 ? =(-3+3)+〔(-1-9)+10〕 +5+2 ? =0+0+5+2 ? =7 ? 由于算式可理解为-3,5,-9,3, 10,2,-1等七个数的和,因此应用 加法结合律、交换律,这七个数可随 意结合、交换进行运算,使运算简便。

加法运算律在加减混合运算中的应用 ? 例1:计算 ? (1)-24+3.2-13+2.8-3 ? 解: -24+3.2-13+2.8-3 ? =( -24-13-3 )+( 3.2+2.8) ? = -40+6 ? = -34 ? 解题小技巧:运用运算律将正负数分别相加。

例2:0-1/2- 2/3 -(-3/4)+(-5/6)
? 解: 0-1/2- 2/3 -(-3/4)+(-5/6)

? =0-1/2-2/3+3/4-5/6 ? =(-1/2+3/4)+(-2/3-5/6) ? =(-2/4+3/4)+(-4/6-5/6) ? = 1/4 +(-3/2) ? =1/4-6/4 ? =-5/4 ? 解题小技巧:分母相同或有倍数关系的 分数结合相加

例3(-0.5)-(-1/4)+(+2.75)-(+5.5)
? 解:(-0.5)-(-1/4)+(+2.75)-(+5.5) ? =(-0.5)+(+0.25)+(+2.75)+(-5.5) ? =-0.5+0.25+2.75-5.5 ? =(-0.5-5.5)+(0.25+2.75) ? =-6+3 ? =-3
? 解题小技巧:在式子中若既有分数又有小数,把小数 统一成分数或把分数统一成小数

练习:
? 1.计算:3-7+5+9-2-8 ? 2.计算:

? -17-14-11-8-5-2+1+4+7+ 10

? 3.用较为简便的方法计算下题: ? 163-(+63)-(-259)-(-41);

例题2 计算
?1( ? - 24) + (+ 3.2) -(+16)-(+3.5)-(-0.3) 4 4 5 9 5 ? 2( ? - ) + (+ ) -(+ )-(+ )-(-1 ) 9 5 6 10 18 2 ? 1? ? 2? ? 1? ? 3 ? 0 - 21 + ? +3 ? - ? - ? - ? + ? 3 ? 4? ? 3? ? 4? 7 ? 1? ? 2? ? 3 ? ? 4 ? - 4 - ? -3 ? - ? +2 ? + ? -6 ? 9 ? 6? ? 9? ? 4?

分析与解
? (1)因原式表示省略加号的代数和,运用 加法的交换律和结合律将加数适当交换 位置,并作适当的结合后进行计算 : -24+3.2-16-3.5+0.3 =(-24-16)+(3.2+0.3)-3.5 = -40+(3.5-3.5) = -40+0 =-40 (交换位置后,整数,小数分别结合)

4 4 5 9 23 ? 2 ? 原式 = - + - - + 9 5 6 10 18 4 23 ? ? 4 9 ? 5 ? = ?- + ?+ ? - ?? 9 18 ? ? 5 10 ? 6 8 23 ? ? 8 9 ? 5 ? = ?- + ?+? - ?? 18 18 ? ? 10 10 ? 6 15 1 5 5 5 1 1 = - - = - - =18 10 6 6 6 10 10

(交换位置,便于通分)

65 ? 13 ? ? 2 ? ? 1 ? ? 3 ? 原式 = 0 - + ? + ? + ? + ? + ? - ? 3 ? 4 ? ? 3? ? 4? 65 13 2 1 -65 + 2 13 -1 =- + + - = + 3 4 3 4 3 4 = -21+ 3 = -18
(减法转为加法,再运用交换律结合律)

7 1 2 3 ? 4 ?(-4 )-(-3 )-(+2 )+(-6 ) 9 6 9 4 43 ? ? 19 ? ? 20 ? ? 27 ? ? = ?- ?+?+ ?+?- ?+?- ? ? 9? ? 6? ? 9? ? 4? 43 19 20 27 43 20 19 27 =- + - - =- - + 9 6 9 4 9 9 6 4 43 127 = -7 - = 12 12

练习(1)10-24-15+26-24+18-20 (2)(+0.5)-1/3+(-1/4)-(+1/6)
? (1)解: 10-24-15+26-24+18-20 ? =(10+26+18)+(-24-15-24-20) ? =54-83 ? =-29 ? (2)解: (+0.5)-1/3+(-1/4)-(+1/6) ? =(+1/2)+( -1/3)+(-1/4)+(-1/6) ? =1/2-1/3-1/4-1/6 ? =(1/2-1/4)+(-1/3-1/6) ? =1/4-1/2 ? =-1/4

7 5 1 当a = ,b = - ,c = - 时求下列各式的值: 3 3 3
(1)(a+b)-(a-c) (2)2(a-b)+(b+c)-IcI (3)4(a-c)-(a+b+c) (4)IaI+IbI+IcI-(a+b+c)

例题3

思维方式:
? 先化简,再把所给值 代入后运用有理数加 减混合运算法则及加 法运算律进行计算。

解答
? (1)(a+b)-(a-c) = a+b-a+c = b+c

7 5 1 当a = ,b = - ,c = - 时 3 3 3

5 1 原式 = - +(- )= -2 3 3

(2)2(a-b)+(b+c)-IcI =2a-2b+b+c- IcI=2a-b+c-IcI

7 5 1 当a = ,b = - ,c = - 时 3 3 3

7 ? 5 ? ? 1? 1 原式 = 2× - ? - ? + ? - ? - 3 ? 3? ? 3? 3 14 5 1 1 17 = + - - = 3 3 3 3 3

(3)4(a-c)-(a+b+c) =4a-4c-a-b-c =3a-b-5c

7 5 1 当a = ,b = - ,c = - 时 3 3 3
7 ? 5? 1? ? 原式 = 3× - ? - ? - 5×? - ? 3 ? 3? ? 3? 5 5 31 = 7+ + = 3 3 3

(4) IaI+IbI+IcI-(a+b+c)

7 5 1 当a = ,b = - ,c = - 时 3 3 3 7 5 1 ? 7 ? 5 ? ? 1 ?? 原式 = + - + - - ? + ? - ? + ? - ? ? 3 3 3 ? 3 ? 3 ? ? 3 ?? 7 5 1 ? 7 5 1 ? 13 1 12 = + + -? - - ?= - = =4 3 3 3 ?3 3 3 ? 3 3 3

某公路养护小组乘车沿南北公路巡护维护。某天早晨从 A地出发,晚上最后到达B地,约定向北为正方向,当天的 行驶记录如下(单位:千米): +18,-9,-7,-14,-6,+13,-6,-8, 问题:B地A地何方?相距多少千米?若汽车行驶每千米耗 油a升,求该天共耗油多少升? ? 【分析】将行驶记录相加,若结果为正,则在原出发地A地 的正北方向;若结果为负,则在原出发地A地的正南方向。 汽车耗油跟方向无关,只跟行驶的总路程有关。而每段路 程即记录的绝对值,总路程即每段路程绝对值的和。 ? 解:(+18)+(-9)+(-7)+(-14)+(-6)+(+13)+ (-6)+(-8)=-5(千米) ? 所以,B地在A地的南方,距A地5千米处。 ? |+18|+|-9|+|-7|+|-14|+|-6|+|+13|+|-6|+|-8|=81(千米) ? 81X a=81 a 答:A地在B地的南方距B地5千米。求该天共耗油81 a升

1.加减混合运算的基本步骤
⑴把混合运算中的减法转变为加法,写成前 面是加号的形式; ⑵省略加号和括号; ⑶恰当运用加法交换律和结合律简化计算; ⑷在每一步的运算中都须先定符号,后计算 数值。

2、加减混合运算的常用方法
⑴按照运算顺序,从左到右逐一加以计算;
⑵把加减法混合运算统一成加法,写成和式的形 式后,再运用运算律进行计算。

3、加减混合运算的技巧总结
(1)运用运算律将正负数分别相加。 (2)分母相同或有倍数关系的分数结合相加。 (3)在式子中若既有分数又有小数,把小数统 一成分数或把分数统一成小数。 (4)互为相反数的两数可先相加。 (5)带分数整数部分,小数部分可拆开相加。

4、注意点:

⑴在运算熟练之后可以省去减法变加法这一步骤, 直接写成省略加号的形式; ⑵在交换数的前后位置时,应连同它前面的符号 一起交换; ⑶在进行混合运算时,小学学过的确定运算顺序 的方法仍然适用,如果有括号,应先算括号内的。


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