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高中数学类比推理


类比推理 同步练习 1. 将下列平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的结论是否成立。 (1) 如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交。 (2) 如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线相互平行。 2. 根据三角形的性质,推测空间四面体的性质, (3) 三角形的两边之和大于第三边; (4) 三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆圆心。 3. 类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推出正四面体的 下列哪些性质,你认为比较恰当的是____________________。 (1)各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等; (2)各面都是全等的正三角形,相邻两个面所成二面角都相等; (3)各面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等。 4. 在 ?ABC 中, 射影定理可以表示为 a ? b cos C ? c cos B , 其中 a, b, c 依次为角 A, B, C 的 对边,类比以上定理,给出空间四面体性质的猜想。 5. 在等差数列 ?an ? 中,若 a10 ? 0 ,则有等式
a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a19?n (n ? 19, n ? N * )

成立,类比上述性质,在等比数列 ?bn ? 中,若 b9 ? 1 ,则有等式 __________________________成立。
2 a12 ? a 2 ? a1 ? a 2 ? ?? 6. 若 a1 , a2 ? R ,则有不等式 ? 成立,请你类比推广此性质。 2 ? 2 ? 2

?

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参考答案 1. (1)如果一个平面和两个平面中的一个相交,则必和另一个相交。结论是正确 的。 (2) 如果两个平面同时垂直于第三个平面, 则这两个平面互相平行。 结论错误。

2. (1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积; (2)四面体的六个二面角的平分面交于一点,且该点是四面体内切球的球心。

3

(1) (3) (2) 。

? 4. 四面体 P ? ABC 中,S1 , S 2 , S 3 , S 分别表示面 ?PAB, ?PBC, ?PAC, ?ABC 的面积, , ? , ?

依次表示面 PAB 、面 PBC 、面 PAC 与底面面 ABC 所成的二面角大小,则空间中的射 影定理可表示为: S ? S1 cos? ? S 2 cos? ? S 3 cos? 。

5.

b1b2 ?bn ? b1b2 ?b17?n (n ? 17, n ? N * ) 。

6.

2 2 2 a1 ? a 2 ? a 3 ? a1 ? a 2 ? a 3 ?? ? 3 3 ? 3 3 a1 ? a 2 ? a1 ? a 2 ?? 或 ? 2 2 ? 3

2 2 ? a 2 ? a 2 ? ? ? a n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 或 1 ?? ? ? n n ? ?

2

? ? ? ?

2

n ? a n ? a 2 ? a1 ? a 2 ? 或 1 ?? ? ? 2 2 ? ?

? ? ? ?

n

答案不唯一, n 可取任何的正整数。

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