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2016届高考数学(理)一轮复习学案:1.1+集合的概念与运算(苏教版含解析)


§1.1

集合的概念与运算

1.集合与元素 (1)集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 符号 自然数集 N 正整数集 N (或 N+)
*

整数集 Z

有理数集 Q

实数集 R

2.集合间的基本关系 关系 自然语言 集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即若 符号语言 Venn 图

子集

A? B
(或 B? A)

x∈A,则 x∈B)
集合 A 是集合 B 的子集, 且集合 B 中至少有 一个元素不在集合 A 中

真子集

A?B
(或 B?A)

集合相等

集合 A, B 中元素相同或集合 A, B 互为子集

A=B

3.集合的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集

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图形 符号

A∪B={x|x∈A 或 x∈B}

A∩B={x|x∈A 且 x∈B}

?UA={x|x∈U,且 x?A}

4.集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集 A 中有 n 个元素,则 A 的子集个数为 2 ,非空子集个数为 2 -1,真子集有 2 -1 个. (2)A? B?A∩B=A?A∪B=B. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1){x|y=x +1}={y|y=x +1}={(x,y)|y=x +1}.( × ) (2)若{x 1}={0,1},则 x=0,1.( ×
2, 2 2 2

n

n

n

)

(3)对于任意两个集合 A,B,关系(A∩B)? (A∪B)恒成立.( √ ) (4)若 A∩B=A∩C,则 B=C.( × ) √ )

(5)已知集合 M={1,2,3,4},N={2,3},则 M∩N=N.(
2

(6)若全集 U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x <4},则?UP={2}.( √ )

1.(2014·课标全国Ⅰ改编)已知集合 A={x|x -2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则 A∩B 等于________. 答案 [-2,-1] 解析 ∵A={x|x≥3 或 x≤-1},B={x|-2≤x<2}, ∴A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1]. 2. (2014·四川改编)已知集合 A={x|x -x-2≤0}, 集合 B 为整数集, 则 A∩B 等于________. 答案 {-1,0,1,2} 解析 因为 A={x|x -x-2≤0}={x|-1≤x≤2},又因为集合 B 为整数集,所以集合 A∩B ={-1,0,1,2}. 3.(2013·山东改编)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是 ________. 答案 5 解析 x-y∈{-2,-1,0,1,2},所以元素的个数为 5. 4.设集合 A={x|x +2x-3>0},集合 B={x|x -2ax-1≤0,a>0}.若 A∩B 中恰含有一个 整数,则实数 a 的取值范围是________.
2 2 2 2

2

?3 4? 答案 ? , ? ?4 3?
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解析 A={x|x +2x-3>0}={x|x>1 或 x<-3}, 因为函数 y=f(x)=x -2ax-1 的对称轴为 x=a>0,f(0)=-1<0, 根据对称性可知要使 A∩B 中恰含有一个整数, 则这个整数为 2, 所以有 f(2)≤0 且 f(3)>0, 3 ? ?a≥4, 所以? 4 ? ?a<3.
2

2

? ?4-4a-1≤0, 即? ?9-6a-1>0, ?

3 4 即 ≤a< . 4 3

题型一 集合的基本概念 例 1 (1)(2013·江西改编)若集合 A={x∈R|ax +ax+1=0}中只有一个元素,则 a 等于 ________. (2)设 a,b∈R,集合{1,a+b,a}=?0, ,b?,则 b-a=________.
? ? ?
2

b a

?

思维点拨 不要忽视集合中元素的互异性. 答案 (1)4 (2)2 解析 (1)当 a=0 时,方程化为 1=0,无解,集合 A 为空集,不符合题意;当 a≠0 时,由 Δ =a -4a=0,解得 a=4. (2)因为{1,a+b,a}=?0, ,b?,a≠0,
? ? ?
2

b a

?

所以 a+b=0,得 =-1, 所以 a=-1,b=1.所以 b-a=2. 思维升华 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制 条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型集合;(2)集合中元素的互异性常常容 易忽略,求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. (1)定义集合 A,B 的一种运算:A*B={x|x=x1·x2,其中 x1∈A,x2∈B},若 A ={1,2},B={1,2},则 A*B 中的所有元素的数字之和为________. (2)已知集合 A={m+2,2m +m},若 3∈A,则 m 的值为________. 3 答案 (1)7 (2)- 2
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2

b a

解析 (1)根据题意,A={1,2},B={1,2},则集合 A*B 中的元素可能为:1,2,2,4,又由集 合元素的互异性,得 A*B={1,2,4},其所有元素之和为 7. (2)因为 3∈A, 所以 m+2=3 或 2m +m=3. 当 m+2=3,即 m=1 时,2m +m=3, 此时集合 A 中有重复元素 3, 所以 m=1 不符合题意,舍去; 当 2m +m=3 时, 3 解得 m=- 或 m=1(舍去), 2 3 1 此时当 m=- 时,m+2= ≠3 符合题意, 2 2 3 所以 m=- . 2 题型二 集合间的基本关系 例 2 (1)已知集合 A={x|x -3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A? C
2 2 2 2

? B 的集合 C 的个数为________. (2)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B? A,则实数 m 的取值范围是 ________. 答案 (1)4 (2)(-∞,4] 解析 (1)由 x -3x+2=0 得 A={1,2}. 又 B={1,2,3,4}. ∴满足 A? C? B 的集合 C 可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共 4 个. (2)当 B=?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2. 当 B≠?时,若 B? A,如图.
2

m+1≥-2, ? ? 则?2m-1≤7, ? ?m+1<2m-1,

解得 2<m≤4.

综上,m 的取值范围为 m≤4. 思维升华 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合关系时,必须优先考虑空集的情况,否 则会造成漏解;(2)已知两个集合间的关系求参数时,关键是将条件转化为元素或区间端点 间的关系,进而转化为参数所满足的关系.常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题. (1)设 M 为非空的数集,M? {1,2,3},且 M 中至少含有一个奇数元素,则这样
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的集合 M 共有________个. (2)已知集合 A={x|y=lg(x-x )},B={x|x -cx<0,c>0},若 A? B,则实数 c 的取值范围 是________. 答案 (1)6 (2)[1,+∞) 解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有 2 =8(个), 集合{2}的所有子集共有 2 个, 故满足要 求的集合 M 共有 8-2=6(个). (2)A={x|y=lg(x-x )}={x|x-x >0}=(0,1),B={x|x -cx<0,c>0} =(0,c),因为 A? B,画出数轴,如图所示,得 c≥1. 题型三 集合的基本运算 例3 (1)(2014·辽宁改编)已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)
2 2 2 3 2 2

等于________. (2)设 U=R,集合 A={x|x +3x+2=0},B={x|x +(m+1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________. 答案 (1){x|0<x<1} (2)1 或 2 解析 (1)∵A={x|x≤0},B={x|x≥1}, ∴A∪B={x|x≤0 或 x≥1}, 在数轴上表示如图. ∴?U(A∪B)={x|0<x<1}. (2)A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得 B? A, ∵方程 x +(m+1)x+m=0 的判别式 Δ =(m+1) -4m=(m-1) ≥0,∴B≠?. ∴B={-1}或 B={-2}或 B={-1,-2}. ①若 B={-1},则 m=1; ②若 B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且 m=(-2)×(-2)=4,这两式不 能同时成立,∴B≠{-2}; ③若 B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且 m=(-1)×(-2)=2,由 这两式得 m=2. 经检验知 m=1 和 m=2 符合条件. ∴m=1 或 2. 思维升华 (1)一般来讲,集合中的元素若是离散的,则用 Venn 图表示;集合中的元素若是 连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况;(2)运算过程中要注意集合间的特殊 关系的使用,灵活使用这些关系,会使运算简化. (1)(2014·浙江改编)设全集 U={x∈N|x≥2},集合 A={x∈N|x ≥5},则?UA 等于________. (2)设集合 M={x|-1≤x<2}, N={y|y<a}, 若 M∩N≠?, 则实数 a 的取值范围一定是________.
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2 2 2 2 2 2

答案 (1){2} (2)a>-1 解析 (1)因为 A={x∈N|x≤- 5或 x≥ 5}, 所以?UA={x∈N|2≤x< 5},故?UA={2}. (2)∵M={x|-1≤x<2},N={y|y<a}, 且 M∩N≠?,如图只要 a>-1 即可.

题型四 集合中的新定义问题 例 4 若集合 A 具有以下性质: (Ⅰ)0∈A,1∈A; 1 (Ⅱ)若 x∈A,y∈A,则 x-y∈A,且 x≠0 时, ∈A.

x

则 称 集 合

A

是 “ 好 集 ” . 下 列 命 题 正 确 的 个 数 是

________________________________________________________________________. (1)集合 B={-1,0,1}是“好集”; (2)有理数集 Q 是“好集”; (3)设集合 A 是“好集”,若 x∈A,y∈A,则 x+y∈A. 答案 2 解析 (1)集合 B 不是“好集”,假设集合 B 是“好集”,因为-1∈B,1∈B,所以-1-1 =-2∈B,这与-2?B 矛盾. (2)有理数集 Q 是“好集”,因为 0∈Q,1∈Q,对任意的 x∈Q,y∈Q,有 x-y∈Q,且 x≠0 1 时, ∈Q,所以有理数集 Q 是“好集”.(3)因为集合 A 是“好集”,所以 0∈A,若 x∈A,

x

y∈A,则 0-y∈A,即-y∈A,所以 x-(-y)∈A,即 x+y∈A.
思维升华 解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定 义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是 破解新定义型集合问题难点的关键所在;(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现 可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的运算与性质.
2 A, B 是非空集合, 定义 A×B={x|x∈A∪B, 且 x?A∩B}. 若 A={x|y= x -3x},

B={y|y=3x},则 A×B=________.
答案 (-∞,3) 解析 A=(-∞,0]∪[3,+∞),B=(0,+∞),A∪B=R,A∩B=[3,+∞).所以 A×B =(-∞,3).

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遗忘空集致误 典例:设集合 A={0,-4},B={x|x +2(a+1)x+a -1=0,x∈R}.若 B? A,则实数 a 的取值范围是________. 易错分析 集合 B 为方程 x +2(a+1)x+a -1=0 的实数根所构成的集合,由 B? A,可知 集合 B 中的元素都在集合 A 中,在解题中容易忽视方程无解,即 B=?的情况,导致漏解. 解析 因为 A={0,-4},所以 B? A 分以下三种情况: ①当 B=A 时,B={0,-4},由此知 0 和-4 是方程 x +2(a+1)x+a -1=0 的两个根,由 根与系数之间的关系, Δ =4?a+1? -4?a -1?>0, ? ? 得?-2?a+1?=-4, ? ?a2-1=0,
2 2 2 2 2 2 2 2

解得 a=1;

②当 B≠?且 B?A 时,B={0}或 B={-4},并且 Δ =4(a+1) -4(a -1)=0, 解得 a=-1,此时 B={0}满足题意; ③当 B=?时,Δ =4(a+1) -4(a -1)<0, 解得 a<-1. 综上所述,所求实数 a 的取值范围是 a≤-1 或 a=1. 答案 (-∞,-1]∪{1} 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓 住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)已知集合 B,若已知 A? B 或 A∩B=?,则很容易 忽视 A=?而造成漏解.在解题过程中应根据集合 A 分三种情况进行讨 论 .
2 2

2

2

方法与技巧 1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检 验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系, 求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助 Venn 图,这是数形结合思想的又 一体现. 失误与防范
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1.解题中要明确集合中元素的特征,关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集). 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 4.Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示 法 心 时 要 特 别 注 意 端 点 是 实 心 还 是 空 .

A 组 专项基础训练 (时间:30 分钟) 1. A={a,1,-1},B={x,1,0},若 A=B,则 a=________,x=________. 答案 0 -1 解析 ∵A=B,∴a=0,x=-1. 2 .(2014·课标全国Ⅱ改编 ) 设集合 M = {0,1,2} , N = {x|x - 3x +2≤0},则 M∩N 等于 ________. 答案 {1,2} 解析 由 x -3x+2=(x-1)(x-2)≤0, 解得 1≤x≤2,故 N={x|1≤x≤2},∴M∩N={1,2}. 3.已知全集 S={1,2,a -2a+3},A={1,a},?SA={3},则实数 a 等于________. 答案 2 解析 由题意,知?
? ?a=2, ?a -2a+3=3, ?
2 2 2 2 2

则 a=2.

4.设 U={0,1,2,3},A={x∈U|x +mx=0},若?UA={1,2},则实数 m=________. 答案 -3 解析 ∵?UA={1,2},∴A={0,3}. 又 A={x∈U|x +mx=0}={0,-m}, ∴-m=3,∴m=-3. 5.(2013·辽宁改编)已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩B=________. 答案 (1,2] 解析 ∵A={x|1<x<4},B={x|x≤2}, ∴A∩B={x|1<x≤2}. 6. 设全集 U 为整数集,集合 A = {x∈N|y = 7x-x -6} , B = {x∈Z| - 1<x≤3},则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为________.
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2 2

答案 7 解析 因为 A={x∈N|y= 7x-x -6}={x∈N|7x-x -6≥0}={x∈N|1≤x≤6}, 由题意知,图中阴影部分表示的集合为 A∩B={1,2,3},所以其真子集有:?,{1},{2}, {3},{1,2},{1,3},{2,3},共 7 个. 7.已知集合 A={x|x>1},B={x|x -2x<0},则 A∪B=________. 答案 {x|x>0} 解析 由 x -2x<0,得 0<x<2,∴B={x|0<x<2},故 A∪B={x|x>0}. 8.已知集合 A={x|-1<x<0},B={x|x≤a},若 A? B,则 a 的取值范围为________. 答案 [0,+∞) 解析 用数轴表示集合 A,B(如图)
2 2 2 2

由 A? B 得 a≥0. 9. (2014·重庆)设全集 U={n∈N|1≤n≤10}, A={1,2,3,5,8}, B={1,3,5,7,9}, 则(?UA)∩B =________. 答案 {7,9} 解析 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, 画出 Venn 图, 如图所示, 阴影部分就是所要求的集合, 即(?UA)∩B={7,9}.

10.已知全集 U=R,集合 A={x∈Z|y= x-3},B={x|x>5},则 A∩(?UB)=________. 答案 {3,4,5} 解析 ∵A={x∈Z|x≥3},?UB={x|x≤5}, ∴A∩(?UB)={3,4,5}. 11.已知集合 A={(0,1),(1,1),(-1,2)},B={(x,y)|x+y-1=0,x,y∈Z},则 A∩B =__________. 答案 {(0,1),(-1,2)} 解析 A、B 都表示点集,A∩B 即是由 A 中在直线 x+y-1=0 上的所有点组成的集合,代入 验证即可. 12. 已知集合 A={x|1≤x<5}, C={x|-a<x≤a+3}. 若 C∩A=C, 则 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,-1] 解析 因为 C∩A=C,所以 C? A. 3 ①当 C=?时,满足 C? A,此时-a≥a+3,得 a≤- ; 2
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-a<a+3, ? ? ②当 C≠?时,要使 C? A,则?-a≥1, ? ?a+3<5, 综上,a 的取值范围是(-∞,-1].

3 解得- <a≤-1. 2

B 组 专项能力提升 (时间:15 分钟) 1.设集合 A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足 S? A 且 S∩B≠?的集合 S 的个数是 ________. 答案 56 解析 集合 S 的个数为 2 -2 =64-8=56. 2.(2014·山东改编)设集合 A={x||x-1|<2},B={y|y=2 ,x∈[0,2]},则 A∩B 等于 ________. 答案 [1,3) 解析 由|x-1|<2, 解得-1<x<3, 由 y=2 , x∈[0,2], 解得 1≤y≤4, ∴A∩B=(-1,3)∩[1,4] =[1,3). 4 2 * * 3.若集合 A={x|x -9x<0,x∈N },B={y| ∈N },则 A∩B 中元素个数为________.
x x
6 3

y

答案 3 解析 由 A 得 x -9x<0,x∈N ,所以 0<x<9,且 x∈N ,得 A={1,2,3,4,5,6,7,8},由 B 得 4
2 * *

y

∈N ,即 y=1,2,4,得 B={1,2,4},故 A∩B={1,2,4}.

*

4.已知集合 A,B,定义集合 A 与 B 的一种运算 A ? B,其结果如下表所示:

A B A?B

{1,2,3,4} {2,3,6} {1,4,6}

{-1,1} {-1,1} ?

{-4,8} {-4,-2,0,2} {-2,0,2,8}

{-1,0,1} {-2,-1,0,1} {-2}

按照上述定义,若 M={-2 011,0,2 012},N={-2 012,0,2 013},则 M ? N=________. 答案 {-2 011,2 012,-2 012,2 013} 解析 由给出的定义知集合 A ? B 的元素是由所有属于集合 A 但不属于集合 B 和属于集合 B 但不属于集合 A 的元素构成的, 即 A ? B={x|x∈A 且 x?B, 或 x∈B 且 x?A}. 故 M ? N={- 2 011,2 012,-2 012,2 013}. 5.若 x,y∈R,A={(x,y)|(x+1) +y =2},B={(x,y)|x+y+a=0},当 A∩B≠?时, 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________ ; 当 A∩B = ? 时 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 __________________. 答案 [-1,3] (-∞,-1)∪(3,+∞)
2 2

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解析 观察得集合 A 表示的是以(-1,0)为圆心, 2为半径的圆上的点,B 表示的是直线 x +y+a=0 上的点, 若满足 A∩B≠?, 只需直线与圆相切或相交, 即满足不等式 |a-1|≤2,-2≤a-1≤2,即-1≤a≤3; |a-1| 若满足 A∩B=?时,只需直线与圆相离,即满足不等式 > 2,即 a<-1 或 a>3. 2 6.已知集合 A={(x,y)|y=a},B={(x,y)|y=b +1,b>0,b≠1},若集合 A∩B 只有一 个真子集,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (1,+∞) 解析 由于集合 B 中的元素是指数函数 y=b 的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图 象上的所有点,要使集合 A∩B 只有一个真子集,那么 y=b +1(b>0,b≠1)与 y=a 的图象 只能有一个交点,所以实数 a 的取值范围是(1,+∞).
x x x

|a-1| ≤ 2, 2

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