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高一数学竞赛辅导(八)


高一数学竞赛辅导(八)
例1 已知函数 y=cos2x+2psinx+q 的值域为[7,10],试求 p,q 的值.

例2

设 ? >1, ? , ? 均为实数,试求当 ? 变化时,函数 的最小值。

(a ? sin ? )(4 ? sin ? ) 1 ? sin ?

1

/>
例3

已知面积为 32cm2 的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长 的和为 16cm。试确定另一条对角线的所有可能的长度。

例4

证明:对所有的实数 x,y 有不等式 cosx2+cosy2-cosxy<3.

2

例5

求证方程 x=asinx+b(a>0, b>0) 至少有一个正根,它不超过 a+b.

例6

已知 f(x)是定义在实数集上的函数,且 f(x+2)(1-f(x))=1+f(x). (1) 试证:f(x)是周期函数; (2) 若 f(1)=2+ 3 ,试求 f(1985)的值.

3

例7

试证 f ( x) ? cos x 不是周期函数.

例8

已知 ? 为正常数,定义在实数集上的函数 f(x)满足 (1) f(x)为偶函数; (2) g(x)=f(x+ ? )为奇函数; (3) 对区间(0,2 ? )内的任何 ? , f ( x)的图角关于直线x ? r不对称. 求证:f(x)是以 4 ? 为最小正周期的周期函数.

4

例9

? )内,并且满足 cosa=a, sin(cosb)=b, cos(sinc)=c. 2 试将这些数按递增的次序排列.
数 a,b,c 在区间(0,

例10

证明顶点在半径为 1 的圆上的锐角三角形的三内角的余弦之和小 于该三角形的周长之半.

5

例11

正数 ? , ? , a, b 满足下列不等式

? ? ? , ? ? ? ? ? ,a ? b ? ? ,
证明:a<b.

sin a ? sin b

s ?n i , s ?n i

6

习题:
I. 选择题 (1)在△ABC 中,∠C 是直角,则 sin2A+2sinB( A. 有最大值无最小值 C. 有最大值也有最小值 ? (2)若 ? 、 ? ? (0, ) ,则必有( 2 A. cos( ? ? ? )>cos ? ? cos ? C. cos(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? (3) 方程 ) B. 有最小值无最大值 D. 无最大值也无最小值 ) B. cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? D. cos(? ? ? ) ? sin ? ? sin ?

| x| ? 4? 的实数解的个数是( ) cos x A. 4 B. 5 C. 8 D. 10

(4) 对 0 ? ? ? ( )

?
2

, 使 cos 2 ? ? 2m sin ? ? 2m ? 2 ? 0 成立的实数 m 的范围是

A. 1 ? 2 ? m ? 1 ? 2 C. m ? ?
1 2

1 B. ? ? m ? 1 2

D. 0<m<1 ) D. 可以多于 16 点

(5)任意的一个圆和 y=sinx 的图象相交的交点( A. 至多 2 点 II. 填空题 B. 至多 4 点

C. 至多 8 点

x2 ? x ? 2 x ?1 ? 2? ( x ?1) ? 0 的解为________. (1) 方程 cos 6
2

(2) 使方程 sin2x+3a2cosx-2a2(3a-2) -1=0 有解,a 的范围是_________. (3) 函数 y ? 1 ? sin x ? 1 ? sin x 的最大值是________.

7

III. 解答题 1. 在锐角三角形中,求证 tgAtg B>1.

2. 证明: 对任意实数 a 和任意的正数 x,y, 不等式 xsin a ?ycos a ? x ? y 成
2 2

立.

8

3. 设 a,b,c 是直角三角形的三边,c 为斜边,整数 n≥3,求证: an+bn<cn.

4. 设 A={t|0<t<2 ? , t∈R},A 到坐标平面上点集的映射为 f:t→ (sint,2sintcost),又设 B={f(t)|t∈A, 有 f(t)∈C(x)}, C(r)={(x,y)|x2+y2≤r2(r>0)},求满足 B ? C(r)的 r 的最小值.

9

5. 设 g(x) 为 周 期 函 数 ,f(x) 为 正 值 函 数 , 且 对 一 切 实 数 x , 有 f2(x)+g2(x)=1,求证:f(x)也是周期函数.

6. 求证 y=x+cosx 不是周期函数.

10

7. 在一个给定的角 O 内,任意地给定一点 P,过 P 作一直线交定角 1 1 ? 的两边于 A,B 两点,问过 P 作怎样的直线才能使 最大? PA PB

8. 设函数 f(x)=E(x) -2E(

x ), 其中 E(x)表示实数 x 的整数部分.证明 2 f(x)是周期函数,并作出它的图象.

11

9. f 为已知函数,且存在正常数 K 和 T,使 f(x+T)=Kf(x)对一切实数 x 成立,试确定常数 a,使 f(x)=ax ? ( x), 且? ( x) 是以 T 为周期的函数.

10. a ? 0 ,f 为已知函数,且对一切实数 x,有 1 f ( x ? a ) ? ? f ( x) ? { f ( x)}2 , 2 求证:f(x)是周期函数.

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