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2013年上海市TI杯高二年级数学竞赛


8 — — 4 2  

数 学教 学 

2 0 1 3 年第 8 期 

2 0 1 3 年上海市 TI 杯高二年级数学竞赛 
个人赛试题 




填 空题 ( 共 8小题 , 前 4小 题 每 题 

6分 , 后 4小题每题 9

分, 满分 6 0分)  
1 .设 

) =1 +  

+  

+  

1×3×5×? ? ? ×( 2 n一 1 )  

2×4×6×. . . ×( 2 n) ×( 2 n+ 1 ) ’  

n∈N  , 贝 0   f ( 6 ) = —— ( 精确 至 0   0 . 0 0 0 1 ) .  

图 1  

2 . 设折线  : Y=1 X~2 I +   +l  +2 l 与 
直线 f  : n X一( n+1 ) y +8 n+6=0 ( n∈N  )  
围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为 

? 
— —

三、本题满分 2 0分  在平面直角坐标 系 x Oy中, 设点 P 在 曲  

,则

l i m 

线 Y= ±+2 ( x>0 ) 上, 点 Q在圆   +Y  =   1 上, 求f PQI 的最小值. ( 精确 到 0 . 0 1 )  
四、本题满分 2 0分  设X , Y∈( 0 , 1 ) , 求 

/ 1 \ X 

3 ?方 程 l o g  ̄  
。  

1 0   ( 、    ) I I   J ,   的 解 为 — — ?  

( 若 为近 似 解 , 精确到 0 . 0 0 1 )  

=x / 2 x 2 +2 y   +V / x 2 +Y   一2 y +1 +  
V / x 2 +Y  一 2 x一 2 y+ 2的最 小 值 .  

4 . 直线 Y=2 x +3与 曲线 Y= 3  交于  ,  

B 两点, ( 二 ) 为坐标 原点, 则三角 形 O A B 的面 
积为

— —

( 精确到 0 . 0 1 )  
计算 器 的算 法 .  

团体 赛试题 
解 答本 试卷必 须 写 出解 题 的必 要步 骤或 
本题满分 2 0分  计算可得 3 2 + 4 2 =5 0 , 1 0 0 +1 1 2 +1 2   =1 3   +   1 4 2 求所有的正整数 , 使得存在 2  +1个连  续的正整数, 满足前 k+1个 正整数 的平方 和  等 于后 k个 正 整 数 的平 方和 .   二 、本 题 满 分 2 0分 


5 .正整 数 佗 的 立 方 的 前 两位 数 和 末 两  位 数均 为 1 3  则 满 足 条 件 的 n 的 最 小 值 

. 
— —



6 . 若 a∈( 0 , 9 ] , 则关于 X的方程 X   s i n   z +  
s i n   X+ 2 x+ 2一a= 0至 多有
— —

个实数解.  



7 .数列 f 0   )满足:a l =1 , a   + 1 :a  +  
.  



n= 1 ,2 … , Na 2 o 1 3 =—



I n"I  

( 其中   表 

示不超过 X的最大整数) .  

如图 2 , 已知正方形 AB C D 的顶点 A ( 0 ,  

8 .已知实数 X , Y满足 0<X≤ 2 y≤4 x ,
则  二  的最小值为
— —

0 ) 、   B( 1 , 0 ) 、 C( 1 , 1 ) 、D ( 0 , 1 ) , 点 E 是边 A B  



最大值为

.  




解答 以下三题 必须写 出解题的必要步骤 .   二 、本题满分 2 0分  如图 l , 圆 O 与直角三角形  B   的斜边  AB 相切 于点 _ P , 与边  且圆心 ( = ) 在边 
求圆 ( 二 ) 的直 径 .  

相交 于 点  ,   ,  
图 2  

上. 已知  D = 3 , BC =9 ,  

2 0 1 3 年第 8 期 

数 学 教 学 

8 一  

上 的 动 点 ,点 F 在 边 DA 上 ,满 足 DF= AE ,   点  关 于 直线 E F 的对 称 点 为 G, 求 点 G 的 

( - 12 )   .  


轨迹方程, 并画出轨迹 的图像.   三 、本题满分 2 0分 



.如 

图 4 ,用 图形 计 算 器 可求 得,当 t= 1 . 4 时,  

如图 3 , 已知点 A( 4 , -2 ) 、B( 4 , -6 ) , 求 
以线 段  为 直 径 的 半 圆 绕 原 点 ( 二 ) 逆 时 针 旋 转  9 0 。所 扫 过 的 阴影 部 分 的面 积 .  
6  
● 

f ( t ) 取最小值 2 . 0 5 , 故 l P Ql 的最小值为 2 . 0 5 .  

4.  
2  



5  


图4  
2?  
● 

四 、解 :由题 设 



4 



6?  

图 3  

、 / / 2 、 / /   +Y  + V / x +( Y —1 )  +   、 / / (  一1 )   +( Y 一1 ) 0 .  
=  

在平面直角坐标系 x O y中, 设点 P( x  ) ,  

参考 答案 
个人 赛 
题 号  答 案 
题 号 

A ( 0 , 0 ) , B( 0 , 1 ) , c( 1 , 1 ) , D( 1 , 0 ) , 如图 5所示,  
则  = 、 / / 2 J F )  +J F ) J E } + 尸 .  

将 △ PJ E ;绕 点  逆 时 针 旋 转 9 0 。  得  到 △ EF,则 点 F( 一l , 0 ) ,PJ E ;= EF  因 
4   4 . 6 2  
8  

t  1   1 . 3 5 6 4  
5  

2   1 6  
6  

3   0 . 3 6 4  
7  

为 △AP E 是等 腰 直角 三 角 形, 所 以, PE =   、 / / 2 P  . 于是  u= 、 , 2 P A+ PB+ P C = PE+ EF+  
P C ≥ F C =  ,  


答 案  5 1 7   3   6 3 5 丽 9   2   焉  
二 、解 : 连接 O P, 设圆 ( = ) 的直 径 为 X , 则 
由勾 股 定 理 得 :  
P 

当 X:   1

b   孚 0   时 等 号 成 立  
,  

所 以,   的最 小 值 为 
  J

.  


,  

 
F 

l  

AB = 

/  : :  
0  A   1  

又A P=A B— BP=A B — CB=X / — ( 3 +x ) — 2 +9 2 -  
9 .… … … … … … … … … … … … … … … …②  由 ①, ② 可得 

图5  


3+ 3 x 2— 9 7 2: 0
. 

= 丽

一  
,  

团体 赛 


9 , 两 边平方化简得 x ( x+3 ) =1 8  
解 得 X= 9 . 所 以,圆 0 的 直 径 为 9 .  



解: 设 

n   +( n+1 ) 。 + … +( n+后 )  = ( n+k+  
1 )  +( n- t -   +2 )  +… +( n+2 k )   ,   其中 T t , k都 是 正 整 数 , 于 是 

三 、解:因 为 l PQI +I QOI ≥J POl , 所  以I P Q『 ≥f P OI 一1 .故只 需求 I P 0『 的最 小 
值.  

设 点 P ( t   + 2 ) , t >  0   I P O l   =  

f 后 +1 ) n   +2 ( 1 +2 +. . . +k ) n- 4 - 1  +2   +… +七  =k n   +2 ( (  +1 ) +(  +2 )   +? ? ? +2 南 ) 他 +( 七 +1 )   +( 七 +2 ) 。 +? ? ? + ( 2   ) 2 ,   即n 2 —2 k 2 n—k 2 ( 2 k +1 ) =0 ,  

8 —  
解 得 n= 2 k  + k或 一k( 舍 去 ).  

数 学教 学 

2 0 1 3 年第8 期 

所 以, 对任 意正整数 k , 都 存在 2 七+ 1个  一   2   连 续 的正 整 数 :   1 , . 一, 2   +3  , 满 足    Z  /●\   一 前 k +1个正整数的平方和等于后 k个正整数  =   的平 方 和 .  


以 F ( 0 ,   ) 、 E (   r, 0 ) . 因 为 D F =  
AE, 所 以 1一   方 程 为 r= 
S 1   n 

T  



故 点 G 的 轨迹 

2   + k, 2 k  + k +

+   O S   ( \   r ≥ 0 , 0 ≤   ≤ 三 、 / 1   .


三 、解: 如图 7 , 将阴影部分 ① 绕原点旋  转 至 ①  , 拼成一个 圆环 , 阴影部 分 ② 、③ 合 
并 为 半 圆,因此 s 阴 影= 半 圆 面 积 +  圆环 面 
只  

二 二、 解 法 1 :   设 点 G 的 坐 标 为f X ,   ) ,点 G 在 第 一 象 限 或 为 原 点,故  ≥ 0 ,  

Y ≥ 0 . 直 线E F 过 点 ( 吾 ,   ) , 斜 率 为一   Y ,  

故E F : y 一 兰 一 = 一 考 (   一 詈 ) . 所 以 F ( 0 ,  

6-  
  ●

●  

+ 詈 , 。 ) . 因 为 D F = A E , 所 以 1 一  
y2

4 :■   皇  
  .

/ 、  l ’  
_ 

+  X




I _   豳 I l  

故 点 G 的轨 迹 方 程 为 
5  
— -

.  
●  . 

冒 l   鱼 l  

  _



. 

+x y   +Y 。 =2 x y( X> 1 0 , Y≥ 0 ) .  

8   黼I  曩  

_ 。 ’,  

2-  
.  ● 

l   豳   r  
-  





4?  
● 

. 



6?  

图7  

设圆环半径分别为 r 、R, 则r  = ( 一 2 )   +  

4  2 0 , R 2 = ( 卿
解法 2 :设点 G 的坐标 为( r 厂 c o s 0 , r   s i n 0 ) ,   点 G 在 第一象 限或 为原 点, 故 r> / o , 0 ≤   ≤   半 圆 面 积= 互 1 丌
=  
?

+ 2 )  3 6 + 1 6 v  ̄ .  
27 r
,  

22 =

1 圆 环 面 积 

4 +4   ) 7 r =( 6 +4   ) 丌 .   ≥  :   一  = 一  (   一  ) , 所  2n+(

( 兄 2一  。 ) 丌= ( 4+4  ) 丌 ,因此  影 =  

应 当在 周 围找 一 找, 很 可 能就 有 几 个. ”从本  文例子可 以看 出, 但凡含有 自然对数 “ l n ” 或自   1 (   1 +   1 ) , 累 加 得 :l n ( 扎 + 1 ) <  然对 数 的底 数 “ e ” 的不等 式 几乎 都与 不等 式 
1  


/ , 1  

1  

1 、  

1  

2 +I \   +   + 一 ‘ +   / J +   F  
l   1   n 

(   1 + _ 1一 + . +   ) + 志 一 互 1 =   +   +  
3+一 ‘  一   丽


、② 、③及 其变式有着 密不可分 的 “ 渊缘 关  +  ① 系” . 换言之 , 这些不等式可 以看成是 由不等式 
① 、② 、③ “ 繁 殖”出来 的“ 蘑菇 群” , 类似 地,  
它 们 还 可 以衍 生 出很 多新 的不 等 式 .我 们 期 待 

‘  


故  +   +  +   1+

通过不等式① 、② 、⑧能 “ 繁殖” 出更 多、更大 

+   >l n ( n+   ) +  

的“ 蘑菇群” .   参考文献  … 方 亚斌 . e   的幂 级数 展开 式演 绎 高考 

( n≥  ) ’  
波利 亚说 得好 : “ 好 问题 同某 些蘑 菇有 些  相似, 它们大都成堆地 生长, 找到一个 以后, 你 

题  . 数学通讯, 2 o 1 2 ( 2 ) : 5 0 .  


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