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山东省菏泽市2014届高三3月模拟考试 文科数学( Word版含答案


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试卷类型:A

高三数学试题(文)
一、选择题(共 10 道小题,每题 5 分,共 50 分) 1.设集合 M ? { y | y ? 2sin x, x ? [?5,5]} , N ? {x | y ? log 2 ( x ? 1)} ,则 M ? N ? A. {x |1 ? x ? 5} 2.已知复数 z ? A. | z |? 2 B. {x | ?1 ? x ? 0} C. {x | ?2 ? x ? 0} (

2014.3



D. {x | 1 ? x ? 2} ( )

2 ,则 ?1 ? i

B.z 的实部为 1

C.z 的虚部为﹣1

D.z 的共轭复数为 1+i ( )

3.下列命题中的真命题是 A.对于实数 a 、b、c,若 a ? b ,则 ac 2 ? bc 2 B. x2>1 是 x>1 的充分而不必要条件 C. ?? , ? ? R ,使得 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 成立 D. ?? , ? ? R , tan(? ? ? ) ?
tan ? ? tan ? 成立 1 ? tan ? ? tan ?
3 2

4.某几何体的三视图如图 1 所示,且该几何体的体积是 , 则正视图中的 x 的值是 A. 2 B.
9 2

( C.
3 2

) D. 3

5. 某程序框图如图 2 所示,现将输出 ( x, y ) 值依次记为:
( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ),? , ( xn , yn ),? 若程序运行中输出的一个数组是 ( x, ?10), 则数组中的 x ?

( C.18
10 ln x ? 1 x ?1



A.32

B.24

D.16 (
y

6.下列四个图中,函数 y ?
y -1

的图象可能是
y


y

O

x

-1

O

x

-1

O

x

-1

O

x

A

B

C

D )

7.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且在 [0,1] 上是增函数,则有( A. f ( ) ? f ( ? ) ? f ( )
1 4 1 4 3 2

B. f ( ? ) ? f ( ) ? f ( )

1 4

1 4

3 2

第 -1- 页 共 8 页

C. f ( ) ? f ( ) ? f ( ? )

1 4

3 2

1 4

D. f ( ? ) ? f ( ) ? f ( )

1 4

3 2

1 4

8. 为大力提倡“厉行节约, 反对浪费”, 某市通过随机询问 100 名性别不同的居民是否能做到“光 盘”行动,得到如下的列联表: 做不到“光盘” 男 女
K2 ?

能做到“光盘” 附: 10 15

P(K2 ? k) k

0.10

0.05

0.025

45 30

2.706 3.841 5.024

n( ad ? bc )2 ( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

参照附表,得到的正确结论是





A.在犯错误的概率不超过 l%的前提下,认为“该市居民能否做到?光盘?与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 l%的前提下,认为“该市居民能否做到?光盘?与性别无关” C.有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到?光盘?与性别有关” D.有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到?光盘?与性别无关” 9.已知函数 f ( x) ? ? 的取值范围是 A. (1,2014) B. (1,2015)
2 2

?sin ? x(0 ? x ? 1) ,若 a、b、c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 a+b+c ?log 2014 x( x ? 1)

( C. (2,2015) D.[2,2015]



10.已知抛物线 y 2 ? 4 x 的准线过双曲线

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点且与双曲线交于 A、B 2 a b
3 2

两点,O 为坐标原点,且△AOB 的面积为 ,则双曲线的离心率为 A.
3 2

( D.2



B.4

C.3

二、填空题(共 5 道小题,每题 5 分,共 25 分) 11.设 f ( x) ? ax 3 ? 3x 2 ? 2 ,若 f (x)在 x=1 处的切线与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 垂直,则实数 a 的值 为 .

?2 x ? y ? 1 ? 0, ? 12.设关于 x,y 的不等式组 ? x ? m ? 0, 表示的平面区域内存在点 P(x0,y0)满足 x0-2y0=2, ? y ? m ? 0. ?

则 m 的取值范围是

.

13. 在△ABC 中,内角 A、 B、 C 的对边长分别为 a、 b、 c,已知 a 2 ? c 2 ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C , 则 b= .
??? ? 14.如图,A 是半径为 5 的圆 O 上的一个定点,单位向量 AB 在 A 点处与圆 O

第 -2- 页 共 8 页

??? ? ??? ? 相切,点 P 是圆 O 上的一个动点,且点 P 与点 A 不重合,则 AP · AB 的

取值范围是

.

15.函数 f ( x) 的定义域为 A,若 x1 , x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 ,则称
f ( x) 为单函数.例如,函数 f ( x) ? x ? 1( x ? R ) 是单函数.下列命题:
?log 2 x, x ? 2, 是单函数; ?2 ? x, x ? ??

①函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x( x ? R ) 是单函数;

②函数 f ( x) ? ?

③若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④若函数 f ( x) 在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f ( x) 一定是单函数. 其中真命题是 (写出所有真命题的编号).

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3 ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调增区间; (Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向左平移
?
6

个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的

图象;若 y ? g ( x) 在 [0, b](b ? 0) 上至少含有 10 个零点,求 b 的最小值. 17.(本小题满分 12 分)如图, 已知四边形 ABCD 和 BCEG 均为直角梯形, AD∥BC,CE∥BG,且 ?BCD ? ?BCE ? BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2. 求证: (Ⅰ)EC⊥CD ; (Ⅱ)求证:AG∥平面 BDE; (III)求:几何体 EG-ABCD 的体积.
?
2

,平面 ABCD⊥平面

18. (本小题满分 12 分) 对一批共 50 件的某电器进行分类检测,其重量(克)统计如下: 重量段 件数 [80,85) 5 [85,90) a [90,95) 15 [95,100] b

规定重量在 82 克及以下的为“A”型, 重量在 85 克及以上的为“B”型, 已知该批电器有 “A” 型2件 (Ⅰ)从该批电器中任选 1 件,求其为“B”型的概率; (Ⅱ)从重量在[80,85)的 5 件电器中,任选 2 件,求其中恰有 1 件为“A”型的概率. 19. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}, a1 ? ?5 , a2 ? ?2 ,记 A(n) ? a1 ? a2 ? ??? ? an , B(n) ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?1 ,
C (n) ? a3 ? a4 ? ??? ? an ? 2 (n ? N *) ,若对于任意 n ? N * ,A(n),B(n),C(n)成等差数列.
第 -3- 页 共 8 页

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{|an|}的前 n 项和. 20. (本小题满分 13 分)
a 已知关于 x 的函数 f ( x) ? ax ? (a ? 0) x e

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若函数 F ( x) ? f ( x) ? 1 没有零点,求实数 a 取值范围. 21. (本小题满分 14 分)如图;.已知椭圆 C:
3 x2 y 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以椭圆的 2 2 a b

左顶点 T 为圆心作圆 T: (x ? 2) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0), 设圆 T 与椭圆 C 交于点 M、N. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程; (Ⅲ)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S, O 为坐标原点。求证: OR ? OS 为定值.
???? ??? ?

高三数学试题(文)参考 答案
一、选择题:DCCCA CBCCD 二、填空题: ?2 ? 11.-1; 12. ? , ?? ? ; 13.4 ?3 ? 三、解答题 16.解: (Ⅰ)由题意得: f ( x) ? 2sin ? x cos ? x ? 2 3 sin 2 ? x ? 3
? sin 2? x ? 3 cos 2? x ? 2sin(2? x ? ) , 3

14. ? ?5,5?

15.③

?

…………………………………………2 分 ……………………………4 分 ,

? 由周期为 ? ,得 ? ? 1 ,得 f ? x ? ? 2sin(2 x ? ) ,
3

函数的单调增区间为: 2k? ? 整理得 k? ?
?
12 ? x ? k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k ? ?

?
2

5? ,k ? Z , 12

所以函数 f ( x) 的单调增区间是 [k? ?
第 -4- 页 共 8 页

?
12

, k? ?

5? ] , k ? Z .………………………6 分 12

(Ⅱ)将函数 f ( x) 的图象向左平移 所以 g ( x) ? 2sin 2 x ? 1 ,…8 分 令 g ( x) ? 0 ,得 x ? k? ?

?
6

个单位,再向上平移单位,得到 y ? 2sin 2 x ? 1 的图象,

7? 11? 或 x ? k? ? (k ? Z) ,………………………………10 分 12 12

所以在 ? 0, ? ? 上恰好有两个零点, 若 y ? g ( x) 在 [0, b] 上有 10 个零点,则 b 不小于第 10 个零点的横坐标即可,即 b 的最小值 为 4? ?
11? 59? . ? 12 12

……………………………………12 分

17.(Ⅰ)证明:由平面 ABCD⊥平面 BCEG, CE ? BC , CE ? 平面 BCEG, 平面 ABCD∩平面 BCEG=BC,

? EC⊥平面 ABCD,…………3 分 又 CD ? 平面 BCDA, 故 EC⊥CD…………4 分
(Ⅱ)证明:在平面 BCDG 中,过 G 作 GN⊥CE 交 BE 于 M,连 DM,则由已知知;MG=MN,MN∥BC∥DA,且 MN ? AD ?
1 BC 2

? MG∥AD,MG=AD, 故四边形 ADMG 为平行四边形, ? AG∥DM……………6 分 ∵DM ? 平面 BDE,AG ? 平面 BDE, ? AG∥平面 BDE…………………………8 分
(III)解: VEG ? ABCD ? VD ? BCEG ? VG ? ABD ? S BCEG ? DC ? S ?ABD ? BG …………………… 10 分
1 2 ?1 1 1 7 …………………………………………12 分 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 1? 2 ? 1 ? 3 2 3 2 3 1 3 1 3

18.解: (Ⅰ)设“从该批电器中任选 1 件,其为”B”型”为事件 A1, 则 P( A1 ) ?
50 ? 5 9 ? ,……………………………………………………………………3 分 50 10
9 . ……………………………4 分 10

所以从该批电器中任选 1 件,求其为”B”型的概率为

(Ⅱ)设“从重量在[80,85)的 5 件电器中,任选 2 件电器,求其中恰有 1 件为”A”型”为事件 A2,记这 5 件电器分别为 a,b,c,d,e,其中”A”型为 a,b.从中任选 2 件,所有可能的情 况为 ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共 10 种.……………8 分 其中恰有 1 件为”A”型的情况有 ac,ad,ae,bc,bd,be,共 6 种.………… 10 分 所以 P( A2 ) ?
6 3 任选 2 件电器, 其中恰有 1 件为”A” ? .所以从重量在[80,85)的 5 件电器中, 10 5

3 型的概率为 . …………………………………………………………………………12 分 5 19.解:(Ⅰ)根据题意 A(n), B(n), C(n)成等差数列, ∴A(n)+ C(n)=2 B(n); ...................2 分 整理得 an ? 2 ? an ?1 ? a2 ? a1 ? ?2 ? 5 ? 3 , ∴数列{an}是首项为 ?5 ,公差为 3 的等差数列. …………………………………………4 分 ∴ an ? ?5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 8 .....................……………………………………………….....6 分 ;

第 -5- 页 共 8 页

?3n ? 8, n ? 2 (Ⅱ) | an |? ? ? ?3n ? 8, n ? 3

, 记数列 ?| an |? 的前 n 项和为 Sn.

当 n ? 2 时, S n ?

n(5 ? 8 ? 3n) 3n 2 13 ?? ? n 2 2 2

;…………………………………9 分

当 n ? 3 时, S n ? 7 ?

(n ? 2)(1 ? 3n ? 8) 3n 2 13 ? ? n ? 14 ;…………………….11 分 2 2 2
…………………………………………..12 分 .
ex

? 3 2 13 ? n ? n n ? 2, ? ? 2 综上, Sn ? ? 2 ? 3 n 2 ? 13 n ? 14 n ? 3. ? ?2 2

20.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

?ae x ( x ? 2) (e )
x 2

?

?a ( x ? 2)

, x?R .

………………………………2 分

当 a ? ?1 时, f ( x) , f '( x) 的情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

(??, 2)

?


2 0 极小值

(2, ??)

?
↗ ……………………………6 分

所以,当 a ? ?1 时,函数 f ( x) 的极小值为 f ( x) ? ?e ?2 . (Ⅱ) F ?( x) ? f ?( x) ?
?a ( x ? 2) ex

.

①当 a ? 0 时, F ( x), F '( x) 的情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

(??, 2)

?


2 0 极小值

(2, ??)

---7 分

?


因为 F(1)=1>0, …………………………………………………………………………8 分 若使函数 F(x)没有零点,需且仅需 F (2) ?
a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ?e 2 ,………………… 9 分 e2

2 所以此时 ?e ? a ? 0 ;……………………………………………………………………10 分

②当 a ? 0 时, F ( x), F '( x) 的情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

(??, 2)

2 0 极大值

(2, ??)

?


?
↘ -----11 分

第 -6- 页 共 8 页

10 e 因为 F (2) ? F (1) ? 0 ,且 F (1 ? ) ? a
a ? x ? 1? ex
x

1?

10 a 1?

? 10
10 a

?

e ? 10 e
1? 10 a

? 0,

e

所以此时函数 F ( x) 总存在零点. ……………………………………………………12 分 (或:当 x ? 2 时, F ( x) ? 当 x ? 2 时,令 F ( x) ?
? 1 ? 1,

a ? x ? 1? e

x ? 1 ? 0, 即 a ? x ? 1? ? e ? 0,

由于 a ? x ? 1? ? e x ? a ? x ? 1? ? e 2 , 令 a ? x ? 1? ? e 2 ? 0, 得 x ? 1?
e2 e2 ,即 x ? 1 ? 时 F ( x) ? 0 ,即 x ? 2 时 F ( x) 存在零点.) a a

2 综上所述,所求实数 a 的取值范围是 ?e ? a ? 0 .????????????13 分

21.解: (I)由题意知 ? a

?c 3 , ? ? 2 2 2 2 解之得; a ? 2, c ? 3 ,由 c ? a ? b 得 b=1, ?a ? 2, ?

故椭圆 C 方程为

x2 ? y 2 ? 1 ;…………………3 分 4

(II)点 M 与点 N 关于 x 轴对称, 设 M ( x1 , y1 ), N ( x1 , ? y1 ) 不妨 设 y1 ? 0 . 由于点 M 在椭圆 C 上,? y12 ? 1 ? 由已知 T (?2,0), 则TM ? (x1 ? 2,
???? ??? ? ? TM ? TN ? ( x1 ? 2,
(x1 ? 2) 2 ? (1 ? 阶段 ?
x12 , 4

y1 ), TN ? ( x1 ? 2, ? y1 ) ,

y1 )?( x1 ? 2, ? y1 ) ? ( x1 ? 2) 2 ? y12 ,

x12 5 8 1 ) ? ( x1 ? ) 2 ? ; 4 4 5 5 ???? ??? ? 1 8 由于 ?2 ? x ? 2, 故当 x1 ? ? 时, TM ? TN 取得最小值为- , 5 5

当 x1 ? ? 时 y1 ?

8 5

3 8 ,故 M (? , 5 5

3 13 ,故圆 T 的 ), 又点 M 在圆 T 上,代入圆的方程得 r 2 ? 5 25

方程为: (x ? 2) 2 ? y 2 ?

13 ;.……………………………………………………………..8 分 25

(III)设 P( x0 , y0 ) ,则直线 MP 的方程为 y ? y0 ? 令 y ? 0 ,得 xR ?

y0 ? y1 ( x ? x0 ), x0 ? x1

x1 y0 ? x0 y1 x y ?x y x 2y 2 ? x 2y 2 ,同理 xS ? 1 0 0 1 , 故 xR ? xS ? 1 0 2 0 2 1 ,??10 分 y0 ? y1 y0 ? y1 y0 ? y1

又点 M 与点 P 在椭圆上,故 x0 2 ? 4(1 ? y0 2 ), x12 ? 4(1 ? y12 ) ,

第 -7- 页 共 8 页

得 xR ? xS ?

4(1 ? y12 ) y0 2 ? 4(1 ? y0 2 ) y12 4( y0 2 ? y12 ) ? ? 4, y0 2 ? y12 y0 2 ? y12

? OR ? OS ? xR ? xS ? xR ? xS ? 4 为定值.…………………………………………….14 分

第 -8- 页 共 8 页


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