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2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透:第6章 不等式、推理与证明及不等式选讲 第7节


[课堂练通考点] 1.命题“如果数列{an}的前 n 项和 Sn=2n2-3n,那么数列{an}一定是等差数列”是否 成立( ) B.成立 D.能断定 A.不成立 C.不能断定 解析:选 B ∵Sn=2n2-3n, ∴Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)(n≥2), ∴an=Sn-Sn-1=4n-5(当 n=1 时,a1=S1=-1 符合上式). ∴an+1-an=4(n≥1),∴{an}是等差数列. 2.要证:a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( A.2ab-1-a2 b2≤0 ?a+b?2 C. -1-a2b2≤0 2 ) a4+b4 B.a2+b2-1- ≤0 2 D.(a2-1)(b2-1)≥0 解析:选 D 因为 a2+b2-1-a2b2≤0?(a2-1)(b2-1)≥0. 3.不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,并且 x 是 a,b 的等比中项,y 是 b,c 的等 比中项,则 x2,b2,y2 三数( ) A.成等比数列而非等差数列 B.成等差数列而非等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.既非等差数列又非等比数列 a+c=2b, ? ?2 解析:选 B 由已知条件,可得?x =ab, ② ? ?y2=bc. ③ ① 由②③得 ? ? y ?c= b . 2 x2 a= , b x2 y2 代入①,得 + =2b, b b 即 x2+y2=2b2.故 x2,b2,y2 成等差数列. 4.设 a,b 是两个实数,给出下列条件: ①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1. 其中能推出:“a,b 中至少有一个大于 1”的条件是( A.②③ B.①②③ ) C.③ D.③④⑤ 1 2 解析:选 C 若 a= ,b= ,则 a+b>1, 2 3 但 a<1,b<1,故①推不出; 若 a=b=1,则 a+b=2,故②推不出; 若 a=-2,b=-3,则 a2+b2>2,故④推不出; 若 a=-2,b=-3,则 ab>1,故⑤推不出; 对于③,即 a+b>2,则 a,b 中至少有一个大于 1, 反证法:假设 a≤1 且 b≤1, 则 a+b≤2 与 a+b>2 矛盾, 因此假设不成立,a,b 中至少有一个大于 1. 5.(2013· 新课标全国Ⅱ)设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1.证明: 1 (1) ab+bc+ac≤ ; 3 (2) a2 b2 c2 + + ≥1. b c a 证明:(1)由 a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca 得 a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1,即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 1 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ .当且仅当 a=b=c= 时,等号成立. 3 3 a2 b2 c2 (2)因为 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c, b c a a2 b2 c2 故 + + +(a+b+c)≥2(a+b+c),即 b c a a2 b2 c2 + + ≥a+b+c. b c a a2 b2 c2 所以 + + ≥1. b c a [课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.用反证法证明: 若整系数一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么 a, b, c 中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是( A.假设 a,b,c 都是偶数 B.假设 a,b,c 都不是偶数 C.假设 a,b,c 至多有一个偶数 D.假

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