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2.1.1合情推理(一)


§2.1.1 合情推理(1) 【学习目标 】
1. 结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义; 2. 能利用归纳进行简单的推理,体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

【学习过程】
在日常生活中我们常常遇到这样的现象: (1)看到天空乌云密布,燕子低飞,蚂蚁搬家,推断天要下雨; (2)八月十五云遮月,来年正月十五雪打灯. 以上例子可以得出

推理是 的思维过程.

【知识梳理】
探究任务一:考察下列示例中的推理 问题 1:.1856 年, 法国微生物学家巴斯德发现乳酸杆菌是使啤酒变酸的原因,接 着,通过对蚕病的研究,他发现细菌是引起蚕病的原因,因此,巴斯德推断人身 上的一些传染病也是由细菌引起的。 问题 2:我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚西亚的地质结构类似,二 中亚西亚有丰富的石油,由此,他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油 问题 3:因为三角形的内角和是 180? ? (3 ? 2) ,四边形的内角和是 180? ? (4 ? 2) , 五边形的内角和是 180? ? (5 ? 2) ??所以 n 边形的内角和是 新知 1:从以上事例可一发现: 叫做合情推理。 归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。

探究任务二: 问题 1:在学习等差数列时,我们是怎么样推导首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 {an}的通项公式的?

新知 2 归纳推理就是根据一些事物的 的推理.
归纳是 的过程

,推出该类事物的

例子:哥德巴赫猜想: 观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ??,

50=13+37, ??, 100=3+97, 猜想: 归纳推理的一般步骤 1 通过观察个别情况发现某些相同的性质。 2 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) 。 【例题解析】 例 1 用推理的形式表示等差数列 1,3,5,7??2n-1, ??的前 n 项和 Sn 的归纳过 程。

变式 1 观察下列等式:1+3=4= 2 2 , 1+3+5=9= 32 , 1+3+5+7=16= 4 2 , 1+3+5+7+9=25= 5 2 , ?? 你能猜想到一个怎样的结论? 变式 2 观察下列等式:1=1 1+8=9, 1+8+27=36, 1+8+27+64=100, ?? 你能猜想到一个怎样的结论?

例 2 设 f (n) ? n2 ? n ? 41, n ? N? 计算 f (1), f (2), f (3,)... f (10) 的值,同时作出归纳 推理,并用 n=40 验证猜想是否正确。

变式: (1)已知数列 ?an ? 的第一项 a1 ? 1 ,且 an?1 ? 个数列的通项公式

an (n ?1 ,2,3...) 1 ? an

,试归纳出这

【当堂练习】
练 1. 应用归纳推理猜测 111 ? 1 ? 222 ? 2 的结果. ? ? ? ? ? ? ? ?
2n n

练 2. 观察圆周上 n 个点之间所连的弦,发现两个点可以连一条弦,3 个点可 以连 3 条弦,4 个点可以连 6 条弦,5 个点可以连 10 条弦,由此可以归纳出什么 规律?

【归纳小结】
1.归纳推理的定义. 2. 归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质;②从已知 的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 【 知识拓展】 四色猜想:1852 年,毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位 搞地图着色工作时, 发现了一种有趣的现象: “每幅地图都可以用四种颜色着色, 使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”,四色猜想成了世界数学界关注的问 题.1976 年,美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计 算机上,用 1200 个小时,作了 100 亿逻辑判断,完成证明. 【当堂检测】 (时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1.下列关于归纳推理的说法错误的是( ). A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性,不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 2. 已知 f ( x ? 1) ?
4 2 ?2 1 C. f ( x) ? x ?1
2 f ( x) , f (1) ? 1 ( x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式为( f ( x) ? 2

).

A. f ( x) ?

x

B. f ( x) ?

2 x ?1 2 D. f ( x) ? 2x ? 1

3.
f( ?

f (n) ? 1 ? 3 2 2

1 1 1 ? ? ??? ? (n ? N? ) 2 3 n 5 f) ? , f ? ( 2


4f猜

经 测 ? )





得 ,( 有 8
)

7 当 f 2n ? 2 ? ,时 2

__________________________. 【课后作业 】 1. 已知 1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,??1+2+3+??+n= 方和:
n(n ? 1) ,观察下列立 2

13,13+23,13+23+33,13+23+33+43,?? 试归纳出上述求和的一般公式。


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