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量子力学2.6


§2.6 一维无限深方势阱
一、势能分布
?0, x ?a ? U ?x? ? ? ??, x ? a ?
U ?x ?

?a

U ? x ?不显含,为定态问题。 t

O

a
1

x

二、方程的解 定态薛定谔

方程
?2 d 2 ? ? ? U? ? E? 2 2? dx

(1) x ? a

?2 d 2 ? ? ?U ? E ?? 2 2? dx

因为U→∞,要上式成立,只有

?

=0。

即在 x>a, x<-a 的区域内,粒子出现的几 率为零。
2

?2? x ? a,U ?x? ? 0
? d ? ? ? E? 2 2? dx

2 2

2 ?E ? ? 2 ?
2



d ? ? ? 2? ? 0 2 dx

2

通解为

? ? A sin ?x ? B cos?x
3

根据函数的连续性,有

? ?a ? ? ? ?? a ? ? 0
代入得

A sin ?a ? B cos?a ? 0 ? A sin ?a ? B cos?a ? 0



A sin ?a ? 0 B cos?a ? 0

A和B不能同时为零,否则? 到处为零,这在物 理上没有意义。因此可得到两组解: 4

(1)

A ? 0,cos ?a ? 0
B ? 0, sin ?a ? 0

(2)
?

A sin ?a ? 0 B cos?a ? 0

n ?a ? ? , n ? 1,2 ,3,? 2

对于第一组解,n=奇数

n? ? n ( x) ? B cos x (n ? 奇数) 2a 对于第二组解, n=偶数 n? ? n ( x) ? A sin x (n ? 偶数) 2a
2a
5

统一两组解: ? ( x) ? A? sin n? ( x ? a) n

n ? a ? ? , n ? 1,2,3, ? 2

体系的能量为

2 ?E ? ? 2 ?
2

? 2? 2 ? 2 ? 2 n 2 En ? ? 2 2? 8?a
与En 对应的波函数为
n? ? ? x ? a ?, ? A? sin ?n ? ? 2a ? 0, ?

n为整数

x ? a, x ? a.
6

归一化条件确定

A ?:
?

?

2

??

?? dx ? ? ? dx ? 1
* 2 ??
2

?

n? ?x ? a ?dx ? A? 2 a ? 1 A? ? sin ?a 2a
a

所以得

A? ?

1 a

?n ?

1 n? ?x ? a ? sin a 2a

?? a ? x ? a ?

n ? 1 2, , ?
7

一维无限深势阱中粒子的定态波函数为
? n ( x, t ) ? ? n ( x ) e
i ? En t ?

i ? 1 ? En t n? ? ?x ? a ?e ? , ?? a ? x ? a ? sin ?? a 2a ? ? x ? ? a, x ? a ? 0, ?

n ? 1 2, , ?
把无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。 一般地说,束缚态所属的能级是分立的。
8

三、讨论
(一)能量量子化(能级)
? 2? 2 n 2 En ? 8?a 2

n ? 1 2, , ?

(1)基态和激发态
? 2? 2 ?基 态? E1 ? 2 8?a E2 ? 4E1,E3 ? 9 E1, ?激 发 态? ?
9

(2)

? 2? 2 ?E ? En?1 ? En ? ?2n ? 1? 8?a 2

n ? , ?E ?

?En 2 1 n? ? ?? 2 ? ? ? ?2n ? 1? n ? ? 2 ?? ? 0 ? 2 2 8? a En 8? a n n
2 2 2 2

分立 ?n? ? ? 连续 ? ? 当 n →∞ 时,量子力学→经典力学。

在一定条件下,量子力学过渡到经典力学。
10

例: 质量m ? 9.1 ? 10?31 ?kg ?的电子,处在
a ? 1.0 ? 10?2 ?m?的势阱内(普通势阱) ,则
? 2 n 2? 2 ?16 2 E? ? 9.3 ? 10 ? n ?eV? 2 8?a ? ? ?E ? ?2n ? 1? ? 9.3 ? 10?16 ? (2n ? 1)?eV? 8?a 2 看成连续
2 2

若电子处在 ? 10 a 则
2

?10

?m?的势阱内(微观),
?eV?
量子化
11

?E ? 9.3 ? ?2n ? 1?

E ? 9.3 ? n ?eV?

(3)“静止的波”无意义—— 粒子的波动性

E1 ? 0

12

(二)正交归一化波函数
?n ?
1 n? ?x ? a ? sin a 2a

?? a ? x ? a ?

n ? 1 2, , ?

(三)几率密度
能量为 E 的粒子在势阱中的几率密度为

? n ?x ?

2

1 2 n? ?x ? a ? ? sin a 2a
13

(1)一维无限深 势阱的粒子波函数
? 1( x) ?
? 2( x) ?
? 3( x) ?
1 ? cos x a 2a 1 2? sin x a 2a 1 3? cos x a 2a 1 4? sin x a 2a

?1

n ?1

?a

?2 n ? 2

x a x a

?a ? 3 ?a ? 4 ?a

n?3 n?4

x a
a x
14

? 4( x) ?

(2)一维无限深势阱的 粒子位置几率密度分布

?1

2

n ?1

?a ?n ? 1,x ? 0处 ,
几率最大

?a ?2 2 n ? 2 a ?a ? 3
?4
2

x

?b ?n ? , 峰 数n ? ,
节 点 数 : ? 1. n

n?3 n?4

x a
a x

当n ? ?时 , 无 数 峰 :? a

2

? 量 子 ? 经 典?均 匀 分 布
一维无限深方势阱.avi

?a

x a
15

(3)波函数的奇偶性——宇称
? n ( x ) ? A sin n? x n为偶数: 2a ? n (? x ) ? ? ?n ( x )
n? n为奇数:? n ( x ) ? B cos x 2a ? n (? x ) ? ? n ( x )

奇宇称

偶宇称

本征函数所具有的这种确定的奇偶性是 由势能的对称性 U ( x ) ? U (? x ) 而来的。
16

四、求解定态薛定谔方程的步骤
①根据物理问题确定出粒子的势能表达式(有的 问题是直接给出的)。 ②列出定态薛定谔方程,引入参数,简化方程,求 出方程的通解。 ③利用波函数的标准条件,求出能量本征值和本 征函数。 ④利用波函数的归一化条件,将波函数归一化。 作业: 2.3,*2.4, 2.6
17


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