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导数综合应用类型总结


一、分类讨论问题
a a+1 2 f x) = x3 x +x + b ,其中a,b R。 1、已知函数 ( 3 2 (1)若曲线 y=f(x)在点 P(2,f(2) )处的切线方程为 y=5x-4,求函数 f(x)的解析式; (2)当 a? 0 时,讨论函数 f(x)的单调性。

2、(2013 湖北部分)设 a>0,b>0,已知函数

f(x)= (1)当 a ? b 时,讨论函数 f(x)的单调性。

ax+b 。 x+1

3、 (2010 山东文)已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ?

1? a ? 1(a ? R). x

(Ⅰ)当 a ? ?1时,求曲线 y ? f ( x)在点( 2,f (2))处的切线方程;
1 (Ⅱ)当 a≤ 时,讨论 f ( x) 的单调性. 2

4、(1)设函数 ( f x) =ex -2x+a ,求函数 f(x)的单调性; (2)设函数 ( f x) =ex -ax+2 ,求函数 f(x)的单调性。

二、与函数零点有关的参数范围问题 函数 f ( x) 的零点,即 f ( x) ? 0 的根,亦即函数 f ( x) 的图象与 x 轴交点横坐标,与函数零点 有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判 断函数的大致图像,讨论其图象与 x 轴的位置关系,进而确定参数的取值范围. 5、 设函数 ( (1) 求函数 ( f x) 的单调递增区间; (2) 若关于 x 的方程 ( f x) =2lnx-x2 。 f x) +x2 -x-2-a=0 在区间[1,3]内恰有两个零点,求实数 a 的取值范围。

6、 【2013 江苏 20】设函数 f ? x ? ? ln x ? ax , g ? x ? ? e x ? ax ,其中 a 为实数. (1) 若 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是单调减函数,且 g ? x ? 在 ?1, ?? ? 上有最小值,求 a 的范围; (2) 若 g ? x ? 在 ? ?1, ??? 上是单调增函数,试求 f ? x ? 的零点个数,并证明你的结论.

三、与不等式恒成立问题有关的参数范围问题 含参数的不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立的处理方法:① y ? f ( x) 的图象永远落在 y ? g ( x) 图象

的上方;②构造函数法,一般构造 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) , F ( x)min ? 0 ;③参变分离法,将不等 式等价变形为 a ? h( x) ,或 a ? h( x) ,进而转化为求函数 h( x) 的最值. (一)参变分离法 将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开, 转化为一个已知函数的最值问题 处理,关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数,一般遵循“知道谁的范围,谁是变量;求谁的 范围,谁是参数”的原则. a f x) =x- -lnx,a>0.(1)讨论 f(x)的单调性; 7、已知函数 ( (2)若 f(x)>x-x2 在(1,+ ? ) x 恒成立,求实数 a 的取值范围。

8、 【2012 高考新课标文 21】(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求 k 的最大值

构造函数法 参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题,但是有些函数解析式复杂,利用导数知 识无法完成,或者是不易参变分离,故可利用构造函数法.

9、 (2013 年高考山东卷(文) )已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? ln x (a, b ? R ) (Ⅰ )设 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间 (Ⅱ ) 设 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ? f (1) .试比较 ln a 与 ?2b 的大小

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x,a ? 1 . 2 (1)求 f ( x) 的单调区间;

10、已知函数 f ( x) ?

(2)若 g ( x) ? (2 ? a) x ? ln x , f ( x) ? g ( x) 在区间 [e,??) 恒成立,求 a 的取值范围.

四、与函数单调区间有关的参数范围问题 若函数 f ( x) 在某一个区间 D 可导, f ' ( x) ? 0 ? 函数 f ( x) 在区间 D 单调递增; f ' ( x) ? 0 ?

函数 f ( x) 在区间 D 单调递减. 若函数 f ( x) 在某一个区间 D 可导,且函数 f ( x) 在区间 D 单调递增 ? f ' ( x) ? 0 恒成立;函 数 f ( x) 在区间 D 单调递减 ? f ' ( x) ? 0 恒成立. 参数在函数解析式中 转化为 f ' ( x) ? 0 恒成立和 f ' ( x) ? 0 恒成立问题后,利用恒成立问题的解题方法处理 11、已知函数 f(x)=x2+2alnx。 (1)若函数 f(x)的图像在(2,f(2) )的切线斜率为 1,求 a 的值; 2 (2)若函数 g(x)= +f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围。 x

参数在定义域中 函数解析式确定,故可先确定其单调区间,然后让所给定义域区间包含在单调区间中 12、已知二次函数 h(x)=ax2+bx+c(其中 c<3),其导函数 y ? ?( x) 的图象如图,f(x)=6lnx+h(x) (1)求 f(x)在 x=3 处的切线斜率; 1 (2)若 f(x)在区间(m,m+ )上是单调函数,求实数 m 的取值范围 2 (3)若对任意 k∈ [-1,1],函数 y=kx(x∈ (0,6])的图象总在函数 y=f(x)图象的上方,求 c 的取值 范围.

与逻辑有关的参数范围问题 解决的关键是弄懂全称量词和特称量词的特定含义.

1 f x) = ax 2( - 2a+1)x+2ln x(a ? R ) 。 13、已知函数 ( 2 (1)求 f(x)的单调区间;

(2)设 g ( x) = x2 - 2x ,若对任意 x1 ? (0,2] ,均存在 x2 ? (0, 2] ,使得 f ( x1 ) < g ( x2 ) ,求 a 的 取值范围。

综合上述五种类型,利用导数求解含参问题时,首先具备必要的基础知识(导数的几何意 义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等) ,其次要灵活掌握各种解题方法 和运算技巧,比如参变分离法,分类讨论思想和数形结合思想等,涉及极值和最值问题时, 一般情况下先求导函数,然后观察能否分解因式,若能则比较根的大小,并与定义域比较位 置关系、分段考虑导函数符号,划分单调区间,判断函数大致图像;若不能分解因式,则考 虑二次求导,研究函数是否具有单调性.利用导数处理参数范围问题并不可怕,关键在于通过 解题不断摸索解题思路,形成一种解题格式和套路.

参考答案 2 3、解: (Ⅰ) 当 a ? ?1时,f ( x) ? ln x ? x ? ? 1, x ? (0,?? ), x 所以
f ' ( x) ?

x2 ? x ? 2 , x ? ( 0?? , x2

)

? 1, 因此, f(2)

即 曲线 y ? f ( x)在点( 2,f (2))处的切线斜率为 1 , . 又
f (2) ? ln 2 ? 2,

所以曲线

y ? f ( x)在点(2,f (2))处的切线方程为 y ? (ln 2 ? 2) ? x ? 2,

即x ? y ? ln 2 ? 0.
(Ⅱ)因为 所以 令
f ( x) ? ln x ? ax ? 1? a ? 1, x

1 a ?1 ax2 ? x ? 1 ? a f ' ( x) ? ? a ? 2 ? ? x x x2

x ? (0,??) ,

g ( x) ? ax2 ? x ? 1 ? a, x ? (0,??),

(1)当 a ? 0时, h( x) ? ?x ? 1, x ? (0, ??) 所以,当 x ? (0,1)时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; 当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0,函数f(x)单调递 (2)当 a ? 0时,由f?(x)=0 即 ax 2 ? x ? 1 ? a ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ①当 a ?
1 ?1 a

1 时, x1 ? x2 , h( x) ? 0 恒成立, 2

此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在(0,+∞)上单调递减;
1 1 ②当 0 ? a ? 时, ? 1 ? 1 ? 0 2 a

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递减;
x ? (1, 1 ? 1) 时, h( x) ? 0, 此时f ?( x) ? 0,函数f ( x) 单调递增; a

1 x ? ( ? 1, ??)时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; a 1 ③当 a ? 0 时,由于 ? 1 ? 0 a

x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减; x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,此时 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增。

综上所述: 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在(0,1)上单调递减; 函数 f ( x) 在(1,+∞)上单调递增;
1 时,函数 f ( x) 在(0,+∞)上单调递减; 2 1 当 0 ? a ? 时,函数 f ( x) 在(0,1)上单调递减; 2 1 函数 f ( x) 在 (1, ? 1) 上单调递增; a 1 函数 f ( x )在( ? 1, ?? ) 上单调递减, a

当a ?

5、

6、

7、

8、 【答案】

9、【答案】

当 a ? 0 时函数 f ( x) 的单调递减区间是

10、思路分析:(1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) .
f ' ( x) ? x ? a ? a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? x x x

注意分以下情况讨论导函数值的正负,

确定函数的单调区间. a ? 2 , 1 ? a ? 2 , a ? 2 等. 1 (2)由题意得 f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? a ln x ? 2 x ? 0 恒成立.引入函 2 1 a F(x) ? f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? a ln x ? 2 x , 则 F' (x) ? x ? ? 2 ? 2 a ? 2 ? 0 ,得到 F(x) 在区间 2 x 1 1 [e,? ?) 上是增函数,从而只需 F(e) ? e 2 ? a ? 2e ? 0 ,求得 a ? 2e ? e 2 . 2 2 11、

12、

思路分析:①根据图像求出一次导函数的解析式,那么函数 f ( x) 的导函数就很容易得到了, 所求的切线斜率即是其所对应的的导函数值;②根据函数的单调性与导数的关系求出函数的 三个单调区间,使得所给的区间在任何一个单调区间内即可求出未知数的取值范围;③由已 知条件先导出和 k 有关的不等式,将 k 放在不等式的一边,那么就有 k 的最小值也要大于等于 不等式另一边式子的最大值,才能保证不等式恒成立,由函数的单调性和导数的关系求最值 即可. 13 、


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