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高三数学复习考前指导


高三数学复习考前指导 一、近几年高考考情分析和 2011 年高考展望。 (简述) 2011 年高考复习已接近尾声,在最后十几天里,我们复习什么 呢?我们比什么呢?比的是谁的心态好,谁的考试失误少。为此,我 对 2011 年高考给大家一个提醒,有不当之处敬请批评指正。 2010 年文理高考数学试卷较往年难度有所降低, 体现在选择题和 填空题把关题少了,我想今年在这方面应提高。在解答

题方面保持平 稳,题型和题量不会有太大的变化。如果个别题难做,要有足够的思 想准备,力争得到分。估计 2011 年难度文科有可能略高于去年,比 09 年简单,理科应该差不多,也就是在选择和填空上设置个别的把关 题。相信我行,我一定能考好。但是要做准备,所谓工欲善其事必先 利其器,知己知彼方能百战百胜,考试亦如是。所以我们要对数学考 察的方向和大致内容进行必要的归纳和梳理。同学们在最后的时候, 要以《考试说明》和课本为主,注重通法通则,不要再做偏题难题。 二、高考答题失误分析及其对策,有效提高得分率 每次考完试后都能听到“这些题目不难,但我做错了”“题目我 、 都做了,怎么分数这么低啊?”每年高考后总有一批学生发出感叹、 提出疑问。其实高考是对学生综合素质的全面检测,虽然每年试卷各 有特点,但学生的错误往往存在着共性,通过对考生解题错误、失分 原因的分类与分析,避免即将参加高考的考生重蹈覆辙。 1、阅读不细、审题不严、忽视隐蔽条件 ①、题目中有括号注明变量的取值范围漏看了或函数的定义域忘 了。如参数的限定条件,角的范围,函数自变量的取值范围等
1

对策:函数题心中装着定义域,防范“陷阱”. 例 1: (2010 安徽高考)若 A={x (A) (— ?, 0] ? ( (C) (— ?, 0] ? [
2 2 2 2

log 1 x ?
2

1 2

},则 CR A = (B) (
2 2

,+ ? ) ,+ ? )

, +?)

(D)[

2 2

, +?)

②、在不等式中,分不清有无等号。 对策:对于涉及到诸如:整式不等式与分式不等式解的端点, 开与 闭区间的端点以及真子集与子集的端点等号等特殊情形要细致对比分 析,防范“陷阱”. ③、在含有参变量的方程或不等式中,忽略参数的讨论 对策:不等式问题要关注能否取到“=”号时的解.要警惕“陷阱” 设置在隐含条件中. ④、在均值不等式中,忘了“一正,二定,三相等” 在解一元二 次不等式忘了对二次项系数和根的讨论, 等比数列求和中对公比 q ? 1 的 讨论, 对策:关注多变量之间的联系,特别是元素间的相互制约关系。 ⑤、题目变形不等价,在乘方、开方,式子两边同除,三角函数 的化简,都有可能扩大变量的取值范围 对策:题目变形过程一定要注意等价变形,如出现不等价情形, 则要回到原题目对照检验。 2、题目结构分辨不清,盲目套用公式或解题模式 ①、在数列中,在 a 与S 的关系中,忽视项数,在等比数列求和中,
n n

2

忽视对 q 的讨论, 对策:递推式的变形,要关注底标范围的限制。特别是出现底标 为 n ? 1 ,则要保证 n ? 2 。 ②、三角函数的求解,盲目套用公式 对策: 公式的应用要看清是否满足条件.三角方程的解的代入更应 防止死记硬背, 盲目代换.在复习中要了解重要知识的来龙去脉的过程. 对策: 要善于区分平时做过的题与考试中的题之间的差异和联系, 防止“张冠李戴“。 三、表达不准确,解题步骤不全 ①、 对于函数单调性的证明, 应该运用定义的方法给出严格证明, 而不能用观察法取而代之。 对策:对于课本中明确给出的概念和方法,要按照课本的定义要 求执行。 ②、在立体几何中,夹角和距离要会作,能证,再求。 对策:对于课本中重要的概念,要认识清晰,知其然,还要知其 所以然。 ③、对于满足定义域内的任意 x 有 f (? x) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为偶函数, 而要否定 f ( x) 为偶函数,则只需举出一反例说明即可。如取 x ? ?1 ,得
f (?1) ? f (1) ? 2 ? 0, f (?1) ? f (1) ? ?2a ? 0
?



? f (?1) ? ? f (1), f (?1) ? f (1)



函数 f (x) 既不是奇函数,也不是偶函数.

对策: 一般来讲正确命题需要给出严格证明, 而不成立问题则举 反例说明。 四、缺乏思想方法,费时易错
3

x ?x 例 2 : 已 知 函 数 f ( x) ? a ? a (a ? 0, a ? 1),且f (1) ? 3, 则f (0) ? f (1) ? f (2) 的 值




? ? 典型解法:试题中给出了 f (1) ? 3又f (0) ? a ? a ? 2, 只需求解f (2) 。一

些 学 生 由 于 受 定 势 思 维 的 影 响 , 注 重 由
a1 ? a ?1 ? 3, 求出a值, 然后代入f (2) ? a 2 ? a ?2中,过程繁琐,出错率增大。但
2 ?2 ?1 如果利用整体消元思想,由 a ? a ? a ? a ? 2 , 求得f (2) ? 7 。

?

?

2

因此答案应填 12。 例 3: (2010 安徽高考)若 a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足 条件的 a,b 恒成立的是 ①ab≤1; ②
a+ b≤ 2;
2

. (写出所有正确命题的编号). ③a +b ≥2;
2

④a +b ≥3;

3

3

1 1 ⑤ ? ?2 a b

答案:①,③,⑤ 解析:由 令 a=b=1 排除②、④ ,

a 2 + b2 a+b 2 ≥ ≥ ab ≥ 1 1 2 2 + a b

,得①,③,⑤正确

对策:在填空题的作答中,应尽量通过比较后,选择简单方法入手, 既节省时间又提高成功率. 五、数学能力跟不上 不会优先选择从特殊情形考虑,只是盲目从一般角度出发考虑 对策:研究问题可以从特殊情形或一般情形入手。但从简单性角 度来看, 选择特殊情形入手分析更有利于解决复杂问题, 掌握主动权。 例 4、 (2010 安徽高考)设 ?an ? 是任意等比数列,它的前 n 项和, 前 2n 项和与前 3n 项和分别为 x, y, z ,则下列等式中恒成立的是 (A) x ? z ? 2 y (B) y( y ? x) ? z( z ? x)
4

2 (C) y ? xz

(D) y( y ? x) ? x( z ? x)

这是课本上的原题。不会优先选择从特殊情形考虑,只是盲目从 一般角度出发考虑 例 5: (2010 安徽高考) abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像 设 可能是

答案:D 解析:利用开口方向 a、对称轴的位置、y 轴上的截距 点 c 之间关系,结合 abc>0 产生矛盾,采用排除法易知.数形结合的 问题,要有感性认识,但不能少了理性分析.此题可取特值代入检验和 排除. 例 6: (2009 年安徽高考) a <b,函数 y ? ( x ? a)
2

( x ? b) 的图象可能是

选(C) 对策: 研究问题可以从特殊情形或一般情形入手。 但从简单性角度 来看,选择特殊情形入手分析更有利于解决复杂问题,掌握主动权。
5

三、高考题型分析及答题要领 1、高考题型 文、理科试卷结构不会有什么变化,10 个选择题;5 道填空题和 6 道解答题。解答题分别是三角函数、概率统计、立体几何、函数与 导数、解析几何、数列与不等式。 解答题先易后难,形成梯度。选择 题文、理科 1-8 题;填空文科 11-13 题,理科 11-14 题;解答题文理 前三(16-18)题,都属基础题,常规题;选择题 9-10,填空题 14-15, 文理科后三题有一定难度和区分度。 2、答题要领: 选择题答题要领 解选择题的要求:解答选择题的首要标准是准确,其次要求是快 速。平常训练力求准确,然后再逐渐追求速度,做到又准又快。 解选择题的策略:对于容易题和大部分的中等难度的题,可采取 直接法;难度较大的题使用一些技巧,采用非常规的方法同时注意多 用图,能不算则不要算。 选择题应是考察基础知识,基本概念,通法通则,注意最后一题 有可能难,考察函数性质,立体几何和概率的综合 方法:直接法 势判断法 正难则反法
2 cos10? ? sin 20? cos 20? 例 7:代数式 的值为

排除法

特值法

验证法

直觉判断法




1 2



A. 2

B.

3

C.1
100 ? 300 ? 200

D. 选B
6

解析:直接法:



x2 ? y 2 ? 1(n ? 1) n 8:双曲线 的两个焦点为 F1 , F2 , P 在双曲线上,且

满足 PF1 ? PF2 ? 2 n ? 2 ,则 ? PF1F2 的面积为
1 A. 2



) D.4

B.1

C.2

解 析 : 直 接 法 : 由 定 义 :
PF1 ? PF2 ? F1 F2 , PF1 ? PF2 ? 2 ,
2 2 2

PF1 ? PF2 ? 2 n

, 得 到

S?ABC ? 1

选B

例 9:已知 α、β、γ 是三个互不重合的平面,l 是一条直线,给出下列 四个命题:①若 α⊥β,l⊥β,则 l∥α;②若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β; ③若 l 上有两个点到 α 的距离相等,则 l∥α;④若 α⊥β,α∥γ,则 γ ⊥β.其中正确命题的序号是__________________________. 解析:直接法:①中,若 α⊥β,l⊥β,则 l∥α 或 l?α,∴①错误; ③中,若 l 上有两个点到 α 的距离相等,则 l∥α 或 l 与 α 相交,∴③错误,②④正确. 答案:②④ 例 10、如图是将二进制数 11111(2)化为十进制数的一个程序框图, 判断框内应填入的条件是( A.i≤5 B.i≤4 D ) D.i>4

C.i>5

7

例 11、 已知定义在区间 ?? ? , ? ? 上的函数 y ? f (x) 的图像关于直线 x ? ? ? ? ?
? 2?

4

? 对称,当 x ? ? 时, f ( x) ? sin x ,如果关于 x 的方程 f ( x) ? a 有解,记所
4

有解的和为 S, 则 S 不可能为 ... A
5 ? ? 4

B

??

C

3 ? ? 4

D

?

?
2

y

??

?

?
4
0

? 2
x

解析: 数形结合选 A 例 12.定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数, 又是周期函数,T 是它的一个 正周期.若将方程 f(x)=0 在闭区间[-T,T]上的根的个数记为 n,则 n 可能为( A.0 解析 ) B.1 C.3 D.5

特例法,利用正弦函数图象验证.D
lg x x

例 13.函数 y ?

的图象大致是

(

)

8

解析:排除法

y?

lg x x

为奇函数,故排除 B.

又当 x=1 时,y=0,故排除 C. 又当 x=10 时, y ?
1 10

当x ? 100时,y ?

2 1 ? 100 10 故排除 A.

答案

D

2 例 14:命题“ ?x ? R, 使x ? ax ? 4a ? 0 ”为假命题是命题“ ?16 ? a ? 0 ”的

(

)条件 A 充要条件 C 充分不必要条件 B 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件
2

解析:正难则反法∵命题“ ?x ? R, 使x
9

? ax ? 4a ? 0 ”为假命题

∴它的否定形式“ ?x

? R 2x ? a x? , 4

a? 成立 ”为真命题 恒 0

∴ 对于 ?x ? R ,由二次函数图像知 ? ? 0 ,即 ?16 ? a ? 0 ∴条件为充要条件,故选 A 备考策略:把做过的选择题再认真研究一下,并留心该题的策略 和方式,多注意答题方法。因为 “选择题的答案是题目给的,ABCD 四个选项有一个肯定是答案,考生可以用排除法,或者去猜答案,还 有一种方法是特殊值法,可以给出一些特殊的例子,然后给出答案。 选择题最后一、两道有一定的难度。 填空题答题要领 解填空题的要求:填空题虽然难度不大,但得分率往往很低,可 见答题技巧和心理上的重视程度是十分重要的,一定要认真对待,仔 细核算,力求准确,最后写出完整的答案。千万不要因为追求速度而 出现偏差,导致失分。预测:今年的填空题难度可能增大 解填空题的策略:对于大部分的填空题,均可采取直接法解答; 一时找不到解题思路的题可以使用一些技巧,采用非常规的方法。 (1)直接法 (2)特殊化法 状态等得出结论。 (3)数形结合法 (4)等价转化法 例 15、在 ? ABC
??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? AO ? x1 AB ? x2 AC (O 中, AB ? 2 AC ? 2 , AB ? AC ? ?1 ,若

挖掘题目的隐含条件,利用特殊值、特例、极限

是 ? ABC 的外心) ,则 x1 ? x2 的值为 解析: 直接法
??? ???? ? ??? 2 ? ??? ??? ? ? AB ? AO ? x1 AB ? x2 AC ? AB , 4 x1 ? x2 ? 2
10

??? ???? ? ???? ??? ? ? ??? 2 ? 1 AC ? AO ? x1 AB ? AC ? x2 AC , ? x1 ? x2 ? 2

5 8 ? x1 ? , x2 ? , 6 6

x1 ? x2 ?

13 6

例 16.已知一个四棱柱的各个顶点在半径为 2cm 的球面上,若该四 棱柱的底面为边长为 2cm 的正方形,且侧棱与底面垂直,则该棱 柱的表面积为 cm2.
8? 1 6 2

解析: 直接法 四棱柱的体对角线是球的直径可得 例 17.若方程
x ? k ? 1? x2 有
y ? 1 ? x2

且只有一个解,则 k 的取值范围是 和 y ? x ? k 的图像直接得到

解析:数形结合法 画出 答案 k ? 2或k ?[?1,1)

例 18.若动点 P、Q 在椭圆 9x2+16y2=144 上 ,且满足 OP⊥OQ,则中心 O 到弦 PQ 的距离 OH 必等于 解析 选一个特殊位置,

令 OP、OQ 分别在长、短正半轴上, 由 a2=16,b2=9 得,OP=4,OQ=3, 则:OH= 12
5

例 19 (2009 浙江理 17)如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F 为线段 EC(端点除外)上一动点.现将△AFD 沿 AF 折起, 使平面 ABD⊥平面 ABC. 在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB, K 为垂足. 设 AK=t,则 t 的取值范围是__________.

【答案】 ? 1 ,1 ? ? ? 2
? ?
11

【解析】解法一:极端位置法 此题的破解可采用二个极端位置法, 即对于 F 位于 DC 的中点 时,t=1,随着 F 点到 C 点时,因 CB⊥AB,CB⊥DK,∴CB⊥平 面 ADB,即有 CB⊥BD,对于 CD=2,BC=1,∴BD=
2
3,

又 AD=1,AB=2,因此有 AD⊥BD,则有 t ? 1 ,因此 t 的取值范围 是 ? 1 ,1 ? . ? ? 2
? ?

解法二: 利用结论:cos? ?cos?=cos? . 令∠FAK=?, cos∠DAK ? cos? = ?
cos( ? ? ) 2

?

1 cos ?DAK ? tan ? ? ( ,1) ,∴ t ? ( 1 ,1) . 2 2

γ

α β

注意:填空题第 15 题中的多项题,关注平面向量处理平面几何, 函数,三角函数,立体几何,不等式,概率等多项填空题,可能有一 定的难度。 关于解答题答题要领 1、解答题的特点:安徽高考解答题共 6 题,75 分左右,占全卷 成绩的 50%,一般是三易二中一难或二易二中二难,即 3(2)个容易 题,2 个中等难度的题,1(2)个难题。 2、解答题的要求:解答题要求写出主要的推理和演算过程,有详 细的评分标准,按解题步骤给分。做解答题,在找到思路之后要一气 呵成,详细准确地写出解答过程。 3、解答题的策略:容易题拿全分,中等题力争不丢分,难题拿下 基础分。答题注意事项:
12

(1)仔细读题 (2)解答尽量详细。 (3)一次完成,一般不用在草稿纸写。 (4)注意答题卡整洁。 (5)注意条理性。 (6)尽可能画图。对于几何题,即使不会也要画出图形来。 4、各小题解答要览: 第 16 题(三角题) :以中、低档题为主,强化双基训练,通性通 法的考查。注重三角函数的工具作用和灵活变形的特点。 考查核心:以三角函数化简为背景,考查三角函数图像性质,解三 角形 对策:诱导公式,两角和与差、二倍角,正余弦定理一定要记牢; 关注 a sin x ? b cos x ?
b a2 ? b2 sin( x ? ? ), (tan ? ? ) 的应用 a

可选用各地模拟题中的三角函数题目练习。考场上力争不丢本题 的分。

?? ? x x x 例 20、 已知向量 m =( 3sin ,1), n =(cos ,cos2 ). 4 4 4
?? ? ? 2π (1)若 m ? n =1,求 cos( -x)的值;
3

?? ? ? (2)记 f(x)= m ? n ,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,
b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC, 求函数 f(A)的取值范围.
?? ? ? x x x 解析:(1)∵ m ? n =1,即 3sin cos +cos2 =1, 4 4 4
13



3 x 1 x 1 sin + cos + =1, 2 2 2 2 2

x π 1 2π 2π π ∴sin( + )= .∴cos( -x)=cos(x- )=-cos(x+ ) 2 6 2 3 3 3 x π 1 1 =-[1-2sin2( + )]=2· )2-1=- . ( 2 6 2 2 (2)∵(2a -c)cosB=bcosC,由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB= sinBcosC. ∴2sinAcosB-cosBsinC=sinBcosC,∴2sinAcosB=sin(B+C), ∵A+B+C=π, 1 π ∴sin(B+C)=sinA,且 sinA≠0,∴cosB= ,B= , 2 3 ∴0<A< 2π π A π π 1 A π .∴ < + < , <sin( + )<1. 3 6 2 6 2 2 2 6

x π 1 A π 1 ?? ? ? 又∵f(x)= m ? n =sin( + )+ ,∴f(A)=sin( + )+ . 2 6 2 2 6 2 3 故函数 f(A)的取值范围是(1, ). 2

17 题(概率统计题) :文科重点是古典概型,理科在此基础上, 增加二项分布,适当强化建构在排列组合基础知识上的其它概率的求 法及分布列、数学期望等。至于条件概率是为了深刻理解互斥事件、 独立事件的概率。 考查核心 理科: 等可能概型(加乘复合事件)求概率,结合

分布列求期望方差 文科:以统计为背景,来考查等可能事件的概率
14

例 21、在“家电下乡”活动中,某品牌家电厂家从某地购买该品牌家 电的用户中随机抽取 20 名用户进行满意度调查.设满意度最低为 0, 最高为 10,抽查结果统计如下: 满 意 度 分 [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6,8) [8,10] 组 用户数 1 2 4 5 8 (1)完成下列频率分布直方图:

(2)估计这 20 名用户满意度的中位数(写出计算过程) ; (3)设第四组(即满意度在区间 [6,8) 内)的 5 名用户的满意度数据分 别为: 6.5,7,7.5,7.5,7.9 ,先从中任取两名不同用户的满意度数据 x 、 y , 求 x ? y ? 1 的概率.

例 22、解: (1)频率分布直方图如下图:

(2)各组频率依次为: 0.05,0.10,0.20,0.25,0.40 , ∵ 0.05 ? 0.10 ? 0.20 ? 0.35 ? 0.50 ,而 0.05 ? 0.10 ? 0.20 ? 0.25 ? 0.60 ? 0.50 , ∴中位数在区间 [6,8) 内,设为 x , 则有:, 0.025 ? 2 ? 0.05 ? 2 ? 0.10 ? 2 ? 0.125 ? ( x ? 6) ? 0.5 解之得 x ? 7.2 ,即中位数为 7.2 .
15

(3)基本事件共有 10 个,即 (6.5,7),(6.5,7.5),,(6.5,7.5),(6.5,7.9) ,
(7,7.5),(7,7.5),(7,7.9),(7.5,7.5),(7.5,7.9),(7.5,7.9) .

其中满足 x ? y ? 1 的有 7 个(除 (6.5,7.5),(6.5,7.5),(6.5,7.9) 外) ,从而 x ? y ? 1 的 概率为
7 10

.

例 23.袋中装有 10 个形状大小完全相同的小球,其中标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球,每个小球被取出 的可能性都相同。 (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率 (2)用 ? 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求随机变量 ? 的概率 分布和数学期望
3 解析:(1) 从袋中任取 3 个小球共有 C10 ? 120 种取法,

其中 “取出的 3 个小球上的数字互不相同” 含有 C52 ? 23 ? 80 种取法. 所以取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率 P ? (2)
? 所有可能取值有
80 2 ? 120 3

2、3、4、5. P(ξ=4)=3/10 P(ξ=5)=8/15

P(ξ=2)=1/30

P(ξ=3)=2/15

随机变量 ? 的概率分布为 ξ P 2 1/30 3 2/15 4 3/10 5 8/15

随机变量 ? 的数学期望 E(ξ)=

1 2 3 8 13 ? 2 ? ?3? ? 4 ? ?5 ? 30 15 10 15 3

例 24、“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游 戏,其规则是:用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布;两个 玩家同时出示各自手势 1 次记为 1 次游戏,“石头”胜“剪刀”,“剪 刀”胜“布”,“布”胜“石头”;双方出示的手势相同时,不分胜负.现
16

假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的. (Ⅰ)求出在 1 次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率; (Ⅱ)若玩家甲、乙双方共进行了 3 次游戏,其中玩家甲胜玩家乙 的次数记作随机变量 X ,求 X 的分布列及其期望. 解析: (Ⅰ)玩家甲、乙双方在 1 次游戏中出示手势的所有可能结果 是: (石头,石头) (石头,剪刀) (石头,布) (剪刀,石头) ; ; ; ; (剪刀, 剪刀) ; (剪刀, ; 布) (布, 石头) ; (布, 剪刀) ; (布, . 布) 共 有 9 个基本事件, 玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是: 石头, ( 剪刀) ; (剪刀,布)(布,石头) ; ,共有 3 个.所以,在 1 次游戏中玩家甲 胜玩家乙的概率 P ? 3 ? 1 .
9 3

(Ⅱ) X 的可能取值分别为 0,1,2,3.
8 ?2? , P ? X ? 1? ? C31 ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? 12 , P ? X ? 0? ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 27 ? 3 ? ? 3 ? 27
0 3 3 1 2

?1? P ? X ? 2? ? C ? ? ? ? 3?
2 3

2

6 1 ? 2? 3 ?1? . ? ? ? ? , P ? X ? 3? ? C3 ? ? ? ? ? 3 ? 27 ? 3 ? 27

1

3

X

的分布列如下:
X
P

0
8 27

1

2

3

12 6 1 27 27 27 8 12 6 1 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?1 27 27 27 27 (或: X ~ B(3, 1 ) , EX ? np ? 3 ? 1 ? 1 ) . 3 3

注意:随机数表、直方图、茎叶图与前者结合的问题;单纯求概率及 期望、方差的问题。 复习建议:认真审题,理解题目的深刻背景,结合试题归纳出概 率类型,明确符号表示,写出相应公式,解答完整清晰。具体来说就
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是:解答中要明确说出概率的类型;要设出字母来表示相关的概率; 计算前要写出计算公式,然后再代数据;数据要仔细核算验证。只要 按以上要求去做,概率统计题目拿满分是非常有希望的。

18 题(立体几何题) :从解决“平行与垂直”的有关问题着手, 通过较为基本问题,熟悉公理、定理的内容和功能,通过对问题的分 析与概括, 掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行(垂 直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想,以提高推理 论证能力和空间想象能力.理科应注重利用空间向量在解题上的运用, 特别是异面直线所成角、线面所成角和二面角的求法,还有点到面的 距离的求法。 考查核心 几何体应是四面体或五面体, 以“线面平行垂直”

为中心,设置求角与距离、面积体积的定量运算问题;平行垂直共线 共面的定性判断问题。文科求几何体的体积,理科向量法求夹角和距 离

例 25、如图所示,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,AB =2BC,AC=AA1= 3BC. (1)证明:A1C⊥平面 AB1C1; (2)若 D 是棱 CC1 的中点, 在棱 AB 上是否存在一点 E, 使 DE∥平面 AB1C1?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由.

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证明:∵AB=2BC,AC= 3BC, π ∴△ABC 为直角三角形且∠ACB= . 2 从而 BC⊥AC. 又 AA1⊥平面 ABC, ∴BC⊥CC1, 从而 BC⊥面 ACC1A1, ∴BC⊥A1C,B1C1⊥A1C, ∵AC=AA1, ∴侧面 ACC1A1 为正方形, ∴AC1⊥A1C, 又 B1C1∩AC1=C1, ∴A1C⊥平面 AB1C1. (2)解:存在点 E,且 E 为 AB 的中点 下面给出证明: 取 BB1 的中点 F,连接 DF,则 DF∥B1C1. ∵AB 的中点为 E,连接 EF,则 EF∥AB1, B1C1 与 AB1 是相交直线, ∴面 DEF∥面 AB1C1. 而 DE?面 DEF,
∴DE∥面 AB1C1.

例 26. 如图所示是一几何体的直观图、 正视图、 侧视图和俯视图. (1)若 F 为 PD 的中点,求证:AF⊥平面 PCD; (2)证明:BD∥平面 PEC;
19

(3) 【理科】求平面 PEC 与平面 PDC 所成二面角(锐角)的余弦值.
P
2 4 2

E F B

4 正视图 4

4 侧视图

A

4

C

D

俯视图

【解析】 (1)证明:由几何体三视图可知,底面 ABCD 是边长为 4 的正方形,PA⊥平面 ABCD,PA∥EB,又 PA=2EB=4. ∵PA=AD, F 为 PD 的中点,∴PD⊥AF. 又∵CD⊥DA,CD⊥PA,∴CD⊥平面 PAD. 又∵AF?平面 PDA,∴CD⊥FA,∵CD∩PD=D,∴AF⊥平面 PCD. (2)证明:取 PC 的中点 M,AC 与 BD 的交点为 N,MN= 1 PA,
2

MN∥PA. ∴MN=EB,MN∥EB,∴四边形 EMNB 是平行四边形,∴EM∥BN. 又∵EM?平面 PEC,BD?平面 PEC,∴BD∥平面 PEC.
P z E M B N C D F B N x D E M A C F A y P

(3)解:如图所示,分别以 BC、BA、BE 所在的直线为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 C(4,0,0),D(4,4,0),E(0,0,2), A(0,4,0),P(0,4,4).
20

∴ CE ? (?4,0,2) , CP ? (?4,4,4) ,∵F 为 PD 的中点,∴F(2,4,2). AF⊥平面 PCD,∴ FA 为平面 PCD 的法向量, FA ? (?2,0, ?2) .
??? ? ?n ? CE ? 0 z ? 2x ? ? ??? ? ? 设平面 PEC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? ,∴ ? x ? y ? z ? 0 . ? ?n ? CP ? 0 ?
??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

令 x=1,∴ n ? (1, ?1, 2) .
??? ? ??? ? FA ? n 3 ?? ? ∴ cos? FA, n? ? ??? 2 . FA ? n

∴ FA 与 n 的夹角为 5? .
6
3 2

??? ?

∴平面 PEC 与平面 PDC 所成二面角(锐角)的余弦值为

.

解答策略:转化的思想是解决立体几何的关键。掌握基本概念,强调 向量方法,一图二证三算,难易区别对待。把基本概念理一遍,强化 证题步骤。关注题目中的条件,如中点,作辅助线过某点作某线的平 行线,过某点作面的垂线等,对于线面平行要突出直线在平面外,体 积的计算注意等积法, (不规则几何体的体积要割补) 线线角, 线面角。

19 题: (解析几何)从曲线方程与轨迹切入,求离心率,离心率 的取值范围,参数取值范围继续作为较综合的问题。背景可能会出现 向量 考查核心:基本量运算问题;求轨迹问题;直线与圆锥曲线的有 关问题(位置、中点、交点、定值等)以及椭圆(抛物线)与圆、圆 锥曲线与数列的结合。 备考策略:圆锥曲线的定义,基本量计算,直线方程和圆锥曲线联立 方程组,合理转化题目条件。 例 27、 如图,过圆 x
2

? y2 ? 4 与

x 轴的两个交点 A、B,作圆的切线
21

AC、BD,再过圆任意一点 H 作圆的切线,交 AC、BD 于 C、D 两 点,设 AD、BC 的交点为 R. (Ⅰ) 求动点 R 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ) 过曲线 E 的右焦点作直线 l 交曲线于 M、N 两点,交 y 轴于 P 点,且记 PM ? ? MF , PN ? ? NF ,求证: ? ? ? 为定值.
1 2
1 2

???? ?

???? ?

????

????

y H C R A O B

D

x

【解析】(Ⅰ) 设点 H 的坐标为(x0,y0),则 x

2 0

2 ? y0 ? 4 ,

∴以 H 为切点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? 4 . ∵A(?2,0),B(2,0),将 x=?2 代入上述方程可得
C (?2,

4 ? 2 x0 4 ? 2 x0 ). ) , D (2, y0 y0

∴直线 AD、BC 的方程分别为 AD: y ? BC: y ?
4 ? 2 x0 ( x ? 2) 4 y0

????①, ????②

4 ? 2 x0 ( x ? 2) ?4 y0

2 ①×②得 y ?

2 x2 16 ? 4 x0 2 2 ( x ? 4) , 即 4 ? y ? 1 为动点 R 的轨迹 E 的方程. 2 ?16 y0

22

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得 E 的右焦点为 F ( (i)当 l⊥x 轴时,不合题意.

3,0)

(ii) l 的斜率为 0 时, N、 三点均在 x 轴上, 当 M、 P 不妨设 M(2,0)、 N(?2,0),且 P(0,0). 此时,|PM| =2, | MF |? 2 ? 3 ,|PN| =2, | NF |? 2 ?
???? ??? ? | PM | | PN | ∴λ1 +λ2 = - ???? - ??? = - 2 - 2 = -8 ? | MF | | NF | 2- 3 2+ 3

3,

(iii)当 l 的斜率不为 0 时,令 MN: x ? my ? 设 M(x1 , y1 ),
1 2

3 (m ? 0) ,则 P (0, ?

3 ) m

N(x 2 , y 2 ) , ? 由

? x = my + 3 ? , 消去 x 得 (m2 ? 4) y2 ? 2 3my ?1 ? 0 2 2 ?x + 4y = 4 ?
1

(※).

则 y , y 是(※)的两根,所以 y 又 PM ? ? MF , PN ? ? NF ,
1 2

? y2 ?

?2 3m m2 ? 4

,y ?y
1

2

?

?1 . m ?4
2

???? ?

???? ?

????

????

? ? y1 ? ? ∴? ?y ? ? 2 ?

3 ? ??1 y1 m 3 ? ??2 y2 m

∴λ1 +λ2 =

y1 +

3 3 y2 + m + m = -2 - 3 × y1 + y 2 ? ?2 ? 3 ? (?2 3m) ? ?8 . m -y1 -y 2 m y1 y 2

综上所述,得 ?1 ? ?2 ? ?8 为定值. 例 28:已知 M 经过点 G(0, ?1) ,且与圆 Q : x (Ⅰ)求动圆 M 的圆心的轨迹 E 的方程. (Ⅱ)以 m ? (1,
2) 为方向向量的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 A、 ,在曲 B
2

? ( y ?1)2 ? 8 内切.

线 E 上是否存在点 P 使四边形 OAPB 为平行四边形( O 为坐标原点).若 存在,求出所有的 P 点的坐标与直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)依题意,动圆与定圆相内切,得| MG | ? | MQ |? 2
23

2 ,可知 M



两个定点 G 、Q 的距离和为常数,并且常数大于 | GQ | ,所以 P 点的轨迹 为椭圆,可以求得 a ?
2

2 , c ? 1 , b ? 1,

y2 x ? ?1 2 所以曲线 E 的方程为 .

(Ⅱ)假设 E 上存在点 P ,使四边形 OAPB 为平行四边形. 由 (Ⅰ)可知曲线 E 的方程为 设直线 l 的方程为 y ?
? y ? 2 x ? m; ? ? 2 y2 ? 1. ?x ? 2 ? 由 ,得
x2 ? y2 ?1 2 .

2x ? m , A( x1,y1 ) , B( x2,y 2 ) .

4 x 2 ? 2 2mx ? m 2 ? 2 ? 0 ,

由? ? 0得m 则

2

? 4 ,且

x1 ? x2 ? ?

m2 ? 2 2m x1 x 2 ? 4 , 2 ,

y1 y 2 ? ( 2 x1 ? m)( 2 x2 ? m) ?

m2 ? 2 2 ,

y1 ? y2 ? ( 2x1 ? m) ? ( 2x2 ? m) ? m ,
E 上的点 P 使四边形 OAPB

为平行四边形的充要条件是 OP ? OA ? OB ,

x 即 P点的坐标为( 1 ? x2 , y1 ? y2)



( x1 ? x 2 ) 2 ?
2

( y1 ? y 2 ) 2 ?1 2 ,
2

y y 2 x1 ? 1 ? 1 x2 ? 2 ? 1 2 2 又 ,
2

,所以可得 2x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ? 0 ,

可得 m

2

? 1 ,即 m ? 1 或 m ? ?1 .

当 m ? 1 时,

P(?

2 , 1) 2 ,直线 l 方程为 y ? 2x ? 1; 2 , 1) ? 2 ,直线 l 方程为 y ? 2x ? 1 .
24

当 m ? ?1 时,

P(

例 29

x2 y2 已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a b

F1、F2,其

中 F2 也是抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 的焦点,M 是 C1 与 C2 在第一象限的交点, 且 | MF2 |?
5 . 3

(I)求椭圆 C1 的方程;

(II)已知菱形 ABCD 的顶点 A、C 在椭

圆 C1 上,顶点 B、D 在直线 7 x ? 7 y ? 1 ? 0 上,求直线 AC 的方程。
5 解析: (I)设 M ( x1 , y1 ),? F2 (1,0), | MF2 |? . 由抛物线定义, x1 ? 1 ? ,? x1 ? , 3

5 3

2 3

? y12 ? 4 x1 ,? y1 ?
?

2 6 ., 3

2 2 6 ?M( , ),?M 点 C1 上, 3 3

4 8 1 ? 2 ? 1, 又b 2 ? a 2 ? 1 ?9a4 ? 37a2 ? 4 ? 0, ? a 2 ? 4或a 2 ? ? c 2 舍去. 2 9 9a 3b
2 2

x2 y2 ? 1. ? a ? 4, b ? 3 ? 椭圆 C1 的方程为 ? 4 3

(II)? 直线BD的方程7 x ? 7 y ? 1 ? 0, ABCD 为菱形,? AC ? BD ,设直 线 AC 的方程为 y ? ? x ? m
? y ? ?x ? m ? 2 ? 7 x 2 ? 8m x ? 4m 2 ? 12 ? 0, ? A, C 在 ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4

2 椭圆 C1 上,? ? ? 0,? m ? 7,? ? 7 ? m ? 7. 设 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y 2 ) ,

则 x1 ? x 2 ?

8m . 7

y1 ? y 2 ? (? x1 ? m) ? (? x 2 ? m) ? ?( x1 ? x2 ) ? 2m ? ?
7 7

8m 6m ? 2m ? . ? AC 的 中 7 7
7 7

点 坐 标 为 ( 4m , 3m ) , 由 ABCD 为 菱 形 可 知 , 点 ( 4m , 3m ) 在 直 线 BD :

7 x ? 7 y ? 1 ? 0 上,? 7 ?

4m 3m ? 7 ? ? 1 ? 0, m ? ?1, ? m ? ?1? (? 7 , 7 ), 7 7

∴直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 1,即x ? y ? 1 ? 0.
25

20 题(数列题) :数列本身并不难,数列知识一般只是作为一个 载体,综合运用函数的思想、方程和不等式的思想研究数列问题;强 化双基训练与化归与转化的思想。 考察核心:数列的概念 等差数列 等比数列 数列递推:

基本类型:等差型、等比型、 Sn 与 an 关系型、累加型、累积型 数列求和: (大题)错项相减法,拆项相消法,公式法,(小题) 。 倒序相加法,累加法, 累乘法,并项求和法,周期性法。 数列在分期付款问题中的应用 单利、复利、增长率问题。 提高型以理科考察较多:递推 ?通项 ?求和(可能会综合有不等 式证明、函数求最值、数学归纳法等,但数列是核心,函数是工具) 解题对策:熟练用基本量求数列的通项,前 n 项和,
Sn 与 an 关系,

简单递推数列,强化代数式的运算,注意总结不同思想方法,加强数 列与函数、不等式的综合。
a 例 30: 已知数列 {a } 的前 n 项和 S 满足: n ? a (S n ? an ? 1( a 为常数, ? 0, a ? 1 S )
n n

(Ⅰ)求 ?an ?的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? an2 ? Sn ? an ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值; (Ⅲ)在满足条件(Ⅱ)的情形下, cn = 和为 Tn . 求证: Tn
? 2n ? 1 . 2

1 1 ,数列 {cn } 的前 an +1 a n+1 -1

n项

解: (Ⅰ) S1 ? a(S1 ? a1 ? 1) 当 n ? 2 时, S n ? a(S n ? an ? 1)
S n?1 ? a(S n?1 ? an?1 ? 1)

∴ a1 ? a,

26

两式相减得: an ? a ? an?1 , ∴ an ? a ? an?1 ? an ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a≠1
bn ? (a n ) 2 ? a(a n ? 1) n a , a ?1
bn ?

an ? a (a≠0,n≥2)即 {an } 是等比数列. an ?1

(2a ? 1)a 2 n ? aa n a ?1



若 {b } 为等比数列,则有 b22 ? b1b3 ,
n

而 b1 ? 2a 2 , b2 ? a 3 (2a ? 1)

b3 ? a4 (2a2 ? a ? 1)

故 [a 3 (2a ? 1)]2 ? 2a 2 ? a 3 (2a ? 1) , 再将 a ? 1 代入得 bn
2 1 1 ? ( ) n 成立,所以 a ? . 2 2

解得 a ? 1 ,
2

(III)证明:由(Ⅱ)知 bn 所以 cn ?
1 1 ( )n ?1 2 ? 1 1 ( ) n?1 ? 1 2

1 ? ( )n , 2

,?

2n 2n ?1 1 1 ? 2? n ? n ?1 ? n ?1 n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

所以 cn
? (2 ?
? 2n ?

? 2?

1 1 ? n ?1 ,Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn n 2 2

1 1 1 1 1 1 ? 2 ) ? (2 ? 2 ? 3 ) ? ? ? (2 ? n ? n ?1 ) 2 2 2 2 2 2
1 1 1 ? n ?1 ? 2n ? 2 2 2

[来源:学科网]

例 31、设数列{ a n}满足 a 1= a , a n+1= a n2+ a 1, M (1)当 a ∈(-∞,-2)时,求证: a?M; (2)当 a ∈(0, 1 ]时,求证: a ∈M;
4

? an ? R n ? N ? , an ? 2

?

?

(3)当 a ∈( 1 ,+∞)时,判断元素 a 与集合 M 的关系,并证明你的结
4

论. 证明: (1)如果 a ? ?2 ,则 a (2) 当 0 ? a ≤ 4 时, an
1
1

?| a |? 2 , a ? M





1 ( ?n ≥ 1 ) . 2

27

事实上,当 n ? 1 时, a1

? a≤

1 . 2

设 n ? k ? 1 时成立( k ≥ 2 为某整数) , 则 n ? k , ak
≤ ak ?1
2

?1? 1 1 ? a ≤? ? ? ? ?2? 4 2

2


2

由归纳假设,对任意 n∈N*,|an|≤ 1 <2,所以 a∈M. (3) 当 a ? 1 时, a ? M .证明如下:
4

对于任意 n ≥ 1 , a

n

?a?

1 ,且 an?1 ? an2 ? a . 4

对于任意 n ≥ 1 , an?1 ? an ? an2 ? an ? a ? (an ? 则 an?1 ? an ≥ a ? 4 . 所以, an?1 ? a ? an?1 ? a1 ≥ n(a ? 当n ?
2?a 1 a? 4

1 2 1 1 ) ? a ? ≥a ? , 2 4 4

1

1 ). 4

时,an?1 ≥ n(a ? ) ? a ? 2 ? a ? a ? 2 ,即 an ?1 ? 2 ,因此 a ? M .

1 4

(21)函数与导数:从函数的定义域切入,会求曲线过某点处的 切线方程,利用导数求函数的单调区间和极值(注意含参数的分类讨 论) 请注意在知识点交汇上予以适当训练, , 这部分内容包括所有数学 方法与全部数学思想 考察核心:函数的基本性质和数学方法,注意恒成立问题;求函 数的单调区间和最值(包括分类讨论) ;简单构造函数问题;函数图像 交点(或方程的解)的个数。 答题策略: 函数问题的中心是单调性,若用导数求,一般会给出一个三
28

次函数(文科或组合复合函数(超越式与一般式) 。所以可以记住一个 口诀: “见了三次就求导”“见了超越式一般式的组合复合也求导” , 。 函数的极值和最值的求法,注意题目本身隐含的前后联系,有时隐含 后面的问题用前面的结论,本题一般是中档难度以上题,有可能是一 个难题,可以不求全对,但不可留空。 例 32、已知函数 f ( x) ?
1? x ? ln x ( a 为常数). ax

(Ⅰ)当 a =1 时,求 f (x) 在 x ? ? 1 , e? 上的最大值和最小值 ?e ? 2.71828? ; ? ?
?e ?

(Ⅱ)求证: ln n ?1 ? n . (n ? 1 ,且 n ? N * ) 解:(Ⅰ) f ?( x) ?
ax ? 1 . ax 2

n

1

当 a ? 1 时, f ?( x) ? x ? 1 ,其中 x ? ? 1 , e? , 2 ? ?
x

?e ?

而 x ? ? 1 ,1? 时, f ?( x) ? 0 ; x ? ?1, e? 时, f ?( x) ? 0 , ? ?
?e ?

∴ x ? 1 是 f (x) 在 ? 1 , e? 上唯一的极小值点, ? ?
?e ?

∴ ? f ( x)?min ? ∴ f ?1? ? ? ?
?e?

f (1) ? 0 .

又 f ? 1 ? ? f (e) ? e ? 2 ? 1 ? e ? 1 ? e(e ? 2) ? 1 ? 0 , ? ?
?e? e e

f (e) ,

∴ ? f ( x)?max ?

?1? f? ? ?e?2 ?e?

.

综上,当 a ? 1 时,
?1 ? f (x) 在 ? , e? ?e ?

上的最大值和最小值分别为 e ? 2 和 0.

(Ⅱ)若 a ? 1 时,由(Ⅰ)知
29

1? x ? ln x 在 ?1,??? 上为增函数, x 当 n ? 1 时,令 x ? n ,则 x ? 1 ,故 f ( x) ? f (1) ? 0 , n ?1 f ( x) ?

n n ? 1 ? ln n ? ? 1 ? ln n ? 0 ,∴ ln n ? 1 . 即 n ?1 n n n ?1 n n ?1 n ?1 例 33.已知函数 f ( x) ? ln x ? 1 ? a , a ? R . x ? n ? f? ?? ? n ?1? 1?

(Ⅰ)求 f (x) 的极值; (Ⅱ)若 ln x ? kx ? 0 在 (0,??) 上恒成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)已知 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且 x1 ? x2 ? e ,求证: x1 ? x2 ? x1 x2 . 【解析】 (Ⅰ) f ( x) 的定义域 (0, ??)
f ?( x ) ? a ? ln x ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e a . x2

当 x ? (0, e a ), f ' ( x) ? 0, f ( x) 为增函数; 当 x ? (e a ,??), f ' ( x) ? 0, f ( x) 为减函数, 可知 f (x) 有极大值为 f (e a ) ? e ?a . (Ⅱ) 欲使 ln x ? kx ? 0 在 (0,??) 上恒成立, 只需 ln x ? k 在 (0,??) 上
x

恒成立, 设 g ( x) ?
ln x ( x ? 0) . x
e e ln x f ( x) ? 在 (0, e) 上单调递增, x

由(Ⅰ)知, g (x) 在 x ? e 处取最大值 1 ,所以 k ? 1 . (Ⅲ) e ? x1 ? x2 ? x1 ? 0 ,由上可知 所以

ln( x1 ? x2 ) ln x1 ,即 x1 ln(x1 ? x2 ) ? ln x1 , ? x1 ? x2 x1 ? x2 x1
x1 ? x2

同理 x2 ln(x1 ? x2 ) ? ln x2 ,两式相加得 ln(x1 ? x2 ) ? ln x1 ? ln x2 ? ln(x1 x2 ) , 所以 x1 ? x2 ? x1 x2 .
30

例 34 、 已 知 对 任 意 的 实 数 m, 直 线 x ? y ? m ? 0 都 不 与 曲 线 f ( x) ? x3 ? 3ax(a ? R) 相切. (I)求实数 a 的取值范围; (II)当 x ? [?1,1] 时,函数 y=f(x)的图象上是否存在一点 P,使得点 P 到 x 轴的距离不小于 1 .试证明你的结论.
4

解: (I) f ?( x) ? 3x2 ? 3a ?[?3a,??) , ∵对任意 m ? R ,直线 x ? y ? m ? 0 都不与 y ? f (x) 相切, ∴ ? 1?[?3a,??) , ? 1 ? ?3a ,实数 a 的取值范围是 a ? 1 ;
3

(II)存在,证明:问题等价于当 x ? [?1,1] 时, | f ( x) | 设 g ( x) ?| f ( x) | ,则 g (x) 在 x ? [?1,1] 上是偶函数, 故只要证明当 x ? [0,1] 时, | f ( x) | ? 1 ,
max

max

?

1 , 4

① 当 a ? 0时, f ?( x) ? 0, f ( x)在[0,1] 上 单 调 递 增 , 且 f (0) ? 0 ,
g ( x) ? f ( x) , g ( x)max ? f (1) ? 1 ? 3a ? 1 ?
1 3

4

1 ; 4

②当 0 ? a ? 时, f ?( x) ? 3x 2 ? 3a ? 3( x ? a )( x ? a ) ,列表:
x

(??,? a )

? a

(? a , a )

a

( a ,??)

f ?(x )

+
?

0 极 大

?

0 极小

+
?

f (x)

2a a
f (x) 在 (0, a ) 上递减,在 ( a ,1) 上递增,

? 2a a

注意到 f (0) ? f ( 3a ) ? 0 ,且 a ? 3a ? 1, ∴ x? (0, 3a ) 时, g ( x) ? ? f ( x) , x ? ( 3a ,1) 时, g ( x) ? f ( x) , ∴ g ( x)max ? max{ f (1),? f ( a )} , 由
f (1) ? 1 ? 3a ? 1 4



0?a?

1 3

,解得
1 4

0?a?

1 4

,此时

? f ( a ) ? f (1)



立. ∴ g ( x) max ? f (1) ? 1 ? 3a ? . 由? f (
a ) ? 2a a ? 1 及 0 ? a ? 1 ,解得 1 ? a ? 1 ,此时 ? f ( a ) ? f (1) 成立. 4 3 4 3

∴ g ( x)max ? ? f ( a ) ? 2a a ? .
31

1 4

∴在 x ?[?1,1] 上至少存在一个 x ,使得 | f ( x ) |? 1 成立.
0

0

4

解答综合、压轴题, 1.审题:这是解题的开始,也是解题的基础.一定要全面审视题 目的所有条件和答题要求,以求正确、全面理解题意,在整体上把握 试题的特点、结构,以利于解题方法的选择和解题步骤的设计. 审题思考中,要把握“三性” ,即明确目的性,提高准确性, 注意隐含性. 解题实践表明:条件暗示可知并启发解题手段,结论预告并诱导 解题方向, 只有细致地审题, 才能从题目本身获得尽可能多的信息. 这 一步,不要怕慢,其实“慢”中有“快” ,解题方向明确,解题手段合 理得当,这是“快”的前提和保证.否则,欲速则不达. 2.寻求合理的解题思路和方法:破除模式化,力求创新是近几年 数学试题的显著特点,解答题体现得尤为突出,因此,切忌套用机械 的模式寻求解题思路和方法,而应从各个不同的侧面、不同的角度, 识别题目的条件和结论,认识条件和结论之间的关系、图形的几何特 征与数、 式的数量、 结构特征的关系, 谨慎地确定解题的思路和方法. 当 思维受阻时,要及时调整思路和方法,并重新审视题意,注意挖掘隐 蔽的条件和内在联系, 切记不能在一题上花太多的时间, 要学会放弃, 理智的应对做不出的题,不要钻牛角尖。 四、高考后期备考准备 1、回归课本、查漏补缺 就复习策略而言,高考的脚步越来越近,想要在这几天提高 就难了。这十几天的时间内,首先做到回归课本,查漏补缺,不能有
32

知识点的遗漏,比如 2008 年考正态分布,有的考生根本不知道。把该 得的分得到,数学科目的总结归纳是非常重要的。很多考生到现在还 有临时抱佛脚,做题海战术的情况就没有必要了。就目前而言,应该 总结一些题型的变化规律,找到自己容易得分的题,一看到就能条件 反射。以至于在高考答题时,看到此题心理有底,从易到难做起。 比如考试说明: (1)函数:会运用函数的图像理解和研究函数的性质,注意数行 结合,函数性质 (2) .等差数列、等比数列:能在具体的问题情境中识别数列的 等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题。 (3)基本不等式: 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 (4)圆锥曲线:掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程 和简单的几何性质。了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道 其简单的几何性质。了解圆锥曲线的简单应用。 (5)立体几何中球与多面体的计算 2、高考数学最后冲刺要安排“过电影” 最后两周应当合理安排“过电影”,回归基础找感觉。要理清基本 概念、原理等知识的细节、内涵、内蕴、变通形式;理清知识网络与 结构体系;理清重点、热点题型的解题思路、方法、规律、步骤与注 意事项等。对有关知识与方法力求达到“三清”(原理清、方法清、思路 清)。 答题时, 应当注意高考答题“踩点得分”原则, 将解题策略转化为 得分点,防止“跳步”、“以图代证”等;要防止一味求“快”,导致“快一
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点,错一片”。对于短时间内难以弄懂弄通的内容或综合程度高、难度 大、耗时多的问题则要学会取舍,大胆放弃。确保“会做的题拿满分, 不会的题尽量不得零分”。 高考近在眉睫,就数学而言,文科和理科在备考方面没有多大差 别,关键在于调整心态。 考生普遍害怕考数学,往年有高考生一拿到 数学试卷就懵了, 这样的心理素质不利于考场发挥, 应该带着自信心、 平常心进考场,才能检验出自己的实际水平。我认为模考 70-80 分左 右的同学,高考 100 分是有把握。 就答题时间的安排上,数学考试时间紧,很多考生在高考中 答不完数学题。第一次参加高考的考生对此要有心理准备,将 2 个小 时的答题时间分配和应用好。做选择题和填空题时,每道题的答题时 间平均为 3 分钟,容易的题争取一分钟出答案。选择题有 10 道,填空 题有 5 道,每道题占 5 分,争取在 45 分钟内拿下这 75 分。因为基本 没有时间回头检查,要力求将试题一次搞定。做大题时,每道题的答 题时间平均为 10 分钟左右。基础不同的学生对试题难易的感受不一 样,基础扎实的学生如果在前面答题比较顺利,时间充裕,可以冲击 最后几道大题;平时学习成绩一般的同学,对后几道大题,能做几题 就做几题,争取拿到步骤分;平时成绩薄弱的考生,一般来说应主攻 选择题和填空题,大题能做几题就做几题,最后答不出来的题可以选 择放弃,近几年,最后几道解答题的第一问相对比较容易,能得分一 定要得分。 就调整心态而言有两点,首先考生自己要有个心理过渡期,即从 学生身份转换成考生身份。第二要有生物钟调整,答题秩序,答题时
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间等方面的调整,只有保持良好的心态才有获胜的筹码。 最后寄语大家:考试中注意----①先易后难,先熟后生; ②一慢一快:审题要慢,做题要快; ③不能小题难做,小题大做, 而要小题小做,小题巧做; ④我易人易我不大意,我难人难我不畏难; ⑤考试不怕题不会,就怕会题做不对; ⑥基础题拿满分,中档题拿足分,难题力争多得分,似曾相识题力争 不失分; ⑦对数学解题有困难的考生的建议: 立足中下题目,力争高上水平, 有时“放弃”是一种策略.

预祝同学们取得优异的成绩!!!

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