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选择填空题方法大总结


选择填空题方法大总结

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第 1、2、3 讲 选择填空题方法大总结 选择题的七大方法总结
【知识要点归纳】 1、直接求解法:

(0, 6) 内整数解的个数的最小值是 ( 例 1: 定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数, 且 f ( 2) = 0 在区间 A.2 B.3

C.4 D.5



例 2:已知等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( A.130 B.170 C.210 D.260



例 3:如果等比数列 {a n } 的首项是正数,公比大于 1,那么数列 {log 1 a n } 是(
3



A.递增的等比数列

B.递减的等比数列

C.递增的等差数列

D.递减的等差数列

例 4:已知 θ 是第三象限角,|cos θ |= m,且 sin

θ θ θ + cos > 0 ,则 cos 等于( 2 2 2



A.

1+ m 2

B.–

1+ m 2

C.

1? m 2

D.–

1? m 2





例 5:设 F1、F2 为双曲线 的面积是( A.1 )

x2 - y2= 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上满足∠F1PF2 = 90o,则△F1PF2 4

B.

5 2

C.2

D. 5

B 两点, 过 AB 中点 M 与原点的直线斜率为 例 6: 椭圆 mx2+ ny2 = 1 与直线 x+ y = 1 交于 A、

2 , 2



m 的值为( n
A.
2 2


2 3 3 3 2

B.

C.1

D.

2、特殊化法:

例 1:如图,定圆半径为 a,圆心为 ( b ,c ), 则直线 ax + by + c = 0 与直线 x – y + 1 = 0 的交点在( A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
y



x O

例 2:函数 f (x) = Msin( ωx + ? ) ( ω > 0 )在区间[a,b]上是增函数,且 f (a) = – M, f (b) = M,则函 数 g (x) = Mcos( ωx + ? )在[a,b]上( A.是增函数 B.是减函数 ) D.可以取得最小值 – M

C.可以取得最大值 M

~ 第 2页 ~

例 3:已知实数 a,b 均不为零,

b π a sin α + b cos α = tan β ,且 β ? α = ,则 等于( a cos α ? b sin α 6 a
D.–



A. 3

B.

3 3

C.– 3

3 3

例 4:已知 a,b 是任意实数,记|a + b|,|a – b|,|b – 1|中的最大值为 M,则(



A.M ≥ 0

B .0 ≤ M ≤

1 2

C.M ≥ 1

D.M ≥

1 2

例 5:已知函数 f (x)= 2mx2- 2(4- m)x+ l,g (x)= mx,若对于任一实数 x,f (x)与 g (x)的值至少 有一个为正数,则实数 m 的取值范围是 B.(0,8) C.(2,8) D.(-∞,0) A.(0,2)

例 6:给出下列四个命题,正确的是:

(1)若 sin2A = sin2B 则 ΔABC 是等腰三角形. (2)若 sinA = sinB 则 ΔABC 是直角三角形. (3)若 sinA + sin B+ sin C < 2 则 ΔABC 是钝角三角形. (4)若 cos(A – B )cos(B – C )cos(C – A ) = 1 则 ΔABC 是正三角形. A. (1) (2) B. (3) (4) C. (1) (4) D. (2) (3)

~ 第 3页 ~

例 7:设 F 为抛物线

y 2 = 4 x 的焦点, A,B,C 为该抛物线上三点,若 FA + FB + FC = 0 ,则


FA + FB + FC = (
A.9

B .6

C .4

D.3

例 8:已知对任意实数 x 有 f ( ? x) = ? f ( x), g ( ? x) = g ( x) ,且 x > 0 时, f '( x) > 0, g '( x) > 0 , 则 x < 0 时( )

A. f '( x) > 0, g '( x) > 0 C. f '( x) < 0, g '( x) > 0

B. f '( x) > 0, g '( x) < 0 D. f '( x) < 0, g '( x) < 0

3、排除法:

?2 ? x ? 1 ? 例 1:设函数 f ( x ) = ? 1 2 ? ?x
A.(–1, 1) B.(–1, + ∞ )

( x ≤ 0) ( x > 0)
,若 f (x0) > 1,则 x0 的取值范围是( )

C.(– ∞ ,–2) ∪ (0,+ ∞ )

D.(– ∞ ,–1) ∪ (1,+ ∞ )

例 2:已知二次函数 f (x) = x2 + 2(p – 2)x + p,若 f (x)在区间[0,1]内至少存在一个实数 c,使 f ( c) > 0, 则实数 p 的取值范围是( ) B. C. D. (1,4) ( 1 ,+ ∞ ) (0,+ ∞ ) (0,1) A.

~ 第 4页 ~

例 3:已知 sinθ =

m?3 4 ? 2m θ π ( < θ < π),则 tan = ( , cosθ = m+5 m+5 2 2

).

A.

m?3 9?m

B. |

m?3 | 9?m

C.

1 3

D. 5

例 4:函数 f ( x ) =

sin x x sin x + 2 sin 2

是(



A.以 4π 为周期的偶函数 C.以 2π 为周期的偶函数

B.以 2π 为周期的奇函数 D.以 4π 为周期的奇函数

?2 x + y ≥ 12 ?2 x + 9 y ≥ 36 ? ? ?2 x + 3 y = 24 ? x ≥ 0, y ≥ 0 例 5:变量 x,y 满足下列条件: ? ,则使得 z = 3x + 2y 的值的最小的(x,y)是( )
A. (4.5,3) B. (3,6) C. (9,2) D. (6,4)

例 6:设 0 ≤ x ≤ 2π ,且 1 ? sin 2 x = sin x ? cos x ,则

A. 0 ≤ x ≤ π

B.

π
4

≤x≤

7π 4

C.

π
4

≤x≤

5π 4

D.

π
2

≤x≤

3π 2

~ 第 5页 ~

4、数形结合法(图象法) :

例 1:对于任意 x ∈ R,函数 f (x)表示 – x + 3, ( A.2 )

3 1 x + ,x2 – 4x + 3 中的较大者,则 f (x)的最小值是 2 2

B.3

C.8

D.–1

例 2:已知向量 OB = (2, 0) ,向量 OC = (2, 2) ,向量 CA = ( 2 cos α , 2 sin α ) ,则向量 OA 与向 量 OB 的夹角的取值范围是( )

A.[0,

π
4

]

B.[

π
4



5π ] 12

C.[

5π π , ] 12 2

D.[

π
12



5π ] 12

例 3:已知方程|x – 2n| = k x (n ∈ N*)在区间[2n – 1,2n + 1]上有两个不相等的实数根,则 k 的取值 范围是( )

A.k > 0

B.0 < k ≤

1 2n + 1

C.

1 ≤k≤ 2n + 1

1 2n + 1

D.以上都不是

5、极限法

例 1: (08 全国)设 a

> 1 ,则双曲线
B. ( 2 , 5 )

x2 y2 ? = 1 的离心率 e 的取值范围是 a 2 (a + 1) 2
C.

A. ( 2 ,2)

( 2,5)

D. ( 2, 5 )

~ 第 6页 ~

例 2:设三棱柱 ABC – A1B1C1 的体积为 V,P、Q 分别是侧棱 AA1、CC1 上的点,且 PA = QC1,则四棱 ( 锥 B – APQC 的体积为 ) A. V

1 6

B. V

1 4

C. V

1 3

D. V

1 2

6、推理分析法:

例 1:当 x∈[-4,0]时,a+ ? x 2 ? 4 x ≤ A.5 B.
5 3

4 x+1 恒成立,则 a 的一个可能值是( 3



C.-

5 3

D.-5

7、类比推理法

例 1: (2009 浙江文)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,则 S 4 , S8 ? S 4 , S12 ? S8 , S16 ? S12 成等 差数列.类比以上结论有:设等比数列 {bn } 的前 n 项积为 Tn ,则 T4 , 数列. , ,

T16 成等比 T12

第 7页

【课堂练习】
1.(2010 全国卷 1 文数 10)设 a = log 3 2, b = ln 2, c = 5 2 则 (A) a < b < c (B) b < c < a
?1

(C) c < a < b

(D) c < b < a

2.(2010 陕西文数 10)某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除 以 10 的余数大于 时再 增选一名代表.那么,各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用 . ..6 取整函数 y=[x]([x]表示不大于 x 的最大整数)可以表示为 (A)y= [

x ] 10

(B)y= [

x+3 ] 10

(C)y= [

x+4 ] 10

(D)y= [

x+5 ] 10

5 5 5 ,则 a,b,c 的大小关系是 3.(2010 安徽文数 7)设 a = b= ( ), ( ) ,c = ( )

3 5

2

2 5

3

2 5

2

(A)a > c > b

(B)a > b > c
1

(C)c > a > b

(D)b > c > a

4.(2010 北京文数 6)给定函数① y = x 2 ,② y = log 1 ( x + 1) ,③ y =| x ? 1| ,④ y = 2
2

x +1

,期中在

区间(0,1)上单调递减的函数序号是 (A)①② (B)②③ (C)③④
2 ' 4 '

(D)①④
3 '

5.(2010 山东文数 10)观察 ( x ) = 2 x , ( x ) = 4 x , (cos x) = ? sin x ,由归纳推理可得:若定义 在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( ? x) = f ( x) ,记 g ( x) 为 f ( x) 的导函数,则 g ( ? x) = (A) f ( x)

(B) ? f ( x)

(C) g ( x)

(D) ? g ( x)

6.(2010 全国卷 1 文数 4)已知各项均为正数的等比数列{ an },a1a2 a3 =5,a7 a8 a9 =10,则

a4 a5 a6 =

(A) 5 2

(B) 7

(C) 6

(D) 4 2

(2010 安徽理数 10) 设 {an } 是任意等比数列, 它的前 n 项和, 前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X , Y , Z , 7. 则下列等式中恒成立的是

A、 X + Z = 2Y

B、 Y ( Y ? X ) = Z ( Z ? X )

C、 Y = XZ
2

D、 Y ( Y ? X ) = X ( Z ? X )

~ 第 8页 ~

8.(2010 全国卷 1 文数 8)已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x ? y = 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,
2 2

∠ F1 P F2 = 60 ,则 | PF1 |i| PF2 |=
0

(A)2

(B)4

(C) 6

(D) 8
2 2

9.(2010 全国卷 1 理数 9)已知 F1 、 F2 为双曲线 C: x ? y = 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, ∠ F1 P F2 = 60 ,则 P 到 x 轴的距离为
0

(A)

3 2

(B)

6 2

(C)

3

(D)
2

6

10.(2010 湖北文数 9)若直线 y = x + b 与曲线 y = 3 ? 4 x ? x 有公共点,则 b 的取值范围是

A. [ 1 ? 2 2 , 1 + 2 2 ] C. [-1, 1 + 2 2 ]

B. [ 1 ? 2 ,3] D. [ 1 ? 2 2 ,3]

11. (2010 江西理数 8) 直线 y = kx + 3 与圆 ( x ? 3) + ( y ? 2 ) = 4 相交于 M,N 两点, 若 MN ≥ 2 3 ,
2 2

则 k 的取值范围是

? 3 ? 0? ? , ? 4 ? ? A.

? 3 3? 3? ? , ? ?? 0 , ∪ , ?∞ ? + ∞ [ ] ? ? 3 3 ? 4 ? B. ? C. ?
2 2

? 2 ? ? , 0? ? 3 ? ? D.

12. (2010 安徽理数 9)动点 A ( x, y ) 在圆 x + y = 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋
转一周。 已知时间 t = 0 时, 点 A 的坐标是 ( , 位:秒)的函数的单调递增区间是

1 3 则当 0 ≤ t ≤ 12 时, 动点 A 的纵坐标 y 关于 t(单 ), 2 2

A、 [ 0,1]

B、 [1, 7 ]

C、 [ 7,12]

D、 [ 0,1] 和 [ 7,12]

【课堂练习】参考答案
~ 第 9页 ~

1. C 解法 1: a= log 3 2=
1 2

1 1 , b=In2= ,而 log 2 3 > log 2 e > 1 ,所以 a<b, log 2 3 log 2 e

c= 5

?

=

1 ,而 5 > 2 = log 2 4 > log 2 3 ,所以 c<a,综上 c<a<b. 5 1 1 e 3 ,b=ln2= , 1 < log 2 < log 2 < 2 3 log 2 log e 2


解 法 2 : a= log 3 2=
1 2

1 1 1 < < <1 ; 3 2 log 2 log e 2

c= 5

?

=

1 1 1 < = ,∴c<a<b 5 4 2

2. B 解法 1:特殊取值法,若 x=56,y=5,排除 C、D,若 x=57,y=6,排除 A,所以选 B 解法 2:设 x = 10m + α (0 ≤ α ≤ 9) , 0 ≤ α ≤ 6时, ?

α + 3? ? x + 3? ? ?x? = ?m + = m = ? ?, ? ? 10 ? ? 10 ? ? ?10 ?

α + 3? ? x + 3? ? ?x? 当6 < α ≤ 9时, ? = ?m + = m + 1 = ? ? + 1 ,所以选 B ? ? 10 ? ? 10 ? ? ?10 ?
3. A 解: y = x 5 在 x > 0 时是增函数,所以 a > c , y = ( ) 在 x > 0 时是减函数,所以 c > b 。
x
2

2 5

4.B 5. D 6. A,由等比数列的性质知 a1a2 a3 = ( a1a3 )ia2 = a2 = 5 , a7 a8 a9 = (a7 a9 )ia8 = a8 = 10,所以 a2 a8 = 50 3 ,
3 3 1

所以 a4 a5 a6 = ( a4 a6 )ia5 = a5 = ( a2 a8 ) = (50 6 ) = 5 2
3 3 3

1

7.D,取等比数列 1, 2, 4 ,令 n = 1 得 X = 1, Y = 3, Z = 7 代入验算,只有选项 D 满足。
8. B 【解析 1】.由余弦定理得

| PF1 |2 + | PF2 |2 ? | F1 F2 |2 cos∠ F1 P F2 = 2 | PF1 || PF2 |

~ 第 10 页 ~

? cos 600

( PF =

1

? PF2

)

2

+ 2 PF1 PF2 ? F1 F2

2

2 PF1 PF2

2 1 2 + 2 PF1 PF2 ? 2 2 ? = 2 2 PF1 PF2

(

)

2

| PF1 |i| PF2 |= 4
【解析 2】由焦点三角形面积公式得:

S ΔF1PF2 = b 2 cot

θ
2

= 12 cot

600 1 1 3 = 3 = PF1 PF2 sin 600 = PF1 PF2 2 2 2 2

| PF1 |i| PF2 |= 4
9. B

10.

11. A

2) 解法 1: 圆心的坐标为 (3., , 且圆与 y 轴相切.当 | MN |= 2 3时 , 由点到直线距离公式, 解得 [?

解法 2:数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可, 不取 +∞ ,排除 B,考虑区间不对称, 排除 C,利用斜率估值,选 A

3 , 0] ; 4

12. D
【解析】 画出图形, 设动点 A 与 x 轴正方向夹角为 α , 则 t = 0 时α = 上 α ∈[

π
3

, 每秒钟旋转

π
6

, 在 t ∈ [ 0,1]

π π

3π 7π , ] ,在 [ 7,12] 上 α ∈ [ , ] ,动点 A 的纵坐标 y 关于 t 都是单调递增的。 3 2 2 3
~ 第 11 页 ~

【方法技巧】由动点 A ( x, y ) 在圆 x + y = 1 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,可知与三角函数
2 2

的定义类似,由 12 秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度,画出单位圆,很容易看出,当 t 在 [0,12] 变化 时,点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调性的变化,从而得单调递增区间.

填空题的三大方法总结
1、 直接求解法:

例 1:过抛物线 y = ax (a > 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线交于 P、Q 两点,若线段 PF、FQ 的长分
2

别为 p、q,则

1 1 + = p q



2、 特殊化法:

例 1:在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c。若 a、b、c 成等差数列,则

cos A + cos C = 1 + cos A cos C



例 2:设 a > b > 1,则 loga b, logb a, logab b 的大小关系是



例 3:求值 cos a + cos (a + 120 ) + cos (a + 240 ) =
2 2 2



例 4:若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为 3 ,则其外接球的表面积是

.

例 5:如果函数 f (x) = x2 + bx + c 对任意实数 t 都有 f (2 + t) = f (2 – t ),那么 f (1), f (2), f (4)的大小关系 。 是

例 6:已知等差数列{an}的公差 d ≠ 0,且 a1, a3, a9 成等比数列,则

a1 + a3 + a9 的值是 a 2 + a 4 + a10



: 3、 数形结合法(图象法)

例 1:如果不等式 4 x ? x > (a ? 1) x 的解集为 A,且 A ? { x | 0 < x < 2} ,那么实数 a 的取值范围
2





例 2:已知实数 x、y 满足 ( x ? 3) + y = 3 ,则
2 2

y 的最大值是 x ?1



~ 第 13 页 ~

例 3:已知 A(4,0) ,B(-3, 3 )是椭圆 的最大值是

x2 y2 + = 1 内的点,M 是椭圆上的动点,则|MA|+|MB| 25 9

.

【课堂练习】 1. ( 2010 江西理数 16 )如图,在三棱锥 O ? ABC 中,三条棱 OA , OB , OC 两两垂直,且

OA > OB > OC ,分别经过三条棱 OA ,OB ,OC 作一个截面平分三棱锥的

S2 , S3 , S2 , S3 的大小关系为 体积, 截面面积依次为 S1 , 则 S1 ,



2.(2010 北京文数 14)如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动。 设顶点 p(x,y)的纵坐标与横坐标的函数关系是 y = f ( x) ,则 f ( x) 的最小正周期为 ;

y = f ( x) 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴所围区域的面积
为 。

3. (2010 福建文数 16) 观察下列等式: ② cos4a = 8 cos a - 8 cos a + 1;
4 2

① cos2a = 2 cos a -

2

1;

③ cos6a = 32 cos a - 48 cos a + 18 cos a - 1; ④ cos8a = 128 cos a - 256 cos a + 160 cos a - 32 cos a + 1; ⑤ cos10a = m cos a - 1280 cos a + 1120 cos a + n cos a + p cos a - 1. 可以推测,m – n + p = .
10 8 6 4 2 8 6 4 2

6

4

2

4.(2010 陕西文数 11)观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+ 33=(1+2+3)2,13+23+33 +43=(1+2+3+4)2,…,根据上述规律,第四个等式 为 . .....





5.(2010 湖北文数 15)已知椭圆 c :

x2 x2 2 + y 2 = 1 的两焦点为 F1 , F2 ,点 P( x0 , y0 ) 满足 0 < 0 + y0 <1, 2 2 x0 x + y0 y = 1 与椭圆 C 的公共点个数_____。 2

则| PF1 |+ PF2 |的取值范围为_______,直线 【课堂练习】参考答案

1. S3 < S 2 < S1 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力,通过补形,借助长方体验证结论,特殊化, 令边长为 1,2,3 得 S3 < S 2 < S1 。 2.说明:“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动。沿 x 轴正方向滚动是指 以顶点 A 为中心顺时针旋转,当顶点 B 落在 x 轴上时,再以顶点 B 为中心顺时针旋转,如此继续, 类似地,正方形 PABC 可以沿着 x 轴负方向滚动。 答案:4 3. 962 【解析】因为 2 = 2 , 8 = 2 , 32 = 2 , 128 = 2 , 所以 m = 2 = 512 ;观察可得 n = ?400 ,
1 3 5 7

π +1

9

p = 50 ,所以 m – n + p =962。
4. 13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2(或 152) 解析:第 i 个等式左边为 1 到 i+1 的立方和,右边为 1 到 i+1 和的完全平方所以第四个等式 为 13+23 ..... +33+43+53=(1+2+3+4+5)2(或 152). 5.

[ 2, 2

2 ,0

)

【解析】依题意知,点 P 在椭圆内部.画出图形,由数形结合可得,当 P 在原点处时
(| PF1 | + | PF2 |) max = 2 ,当 P 在椭圆顶点处时,取到 (| PF1 | + | PF2 |) max 为

x2 + y2 = 1 ( 2 ? 1) + ( 2 + 1) =2 2 , 故 范 围 为 [ 2, 2 2 . 因 为 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 2 的内部,则直线

)

x ? x0 + y ? y0 = 1 2 上的点(x, y)均在椭圆外,故此直线与椭圆不可能有交点,故交点数为 0 个.

~ 第 15 页 ~


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