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2016高考


第3讲

等比数列及其前 n 项和

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.在等比数列{an}中,an>0,且 a1·a10=27,log3a2+log3a9= A.9 B.6 C.3 D.2 ( )

解析 因为 a2a9=a1a10=27,所以 log3a2+log3a9=log3a2a9

=log327=3. 答案 C 2.(2014· 福州质量检测)记等比数列{an}的前 n 项积为Ⅱn,若 a4·a5=2,则Ⅱ8 = A.256 C.16 B.81 D.1 ( )

解析 依题意得Ⅱ8=(a1a8)(a2a7)(a3a6)(a4a5)=(a4a5)4=24=16. 答案 C a5 3.在正项等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则a =
7

(

)

5 A.6

6 B.5

2 C.3

3 D.2

解析 设公比为 q,则由题意知 0<q<1, ?a2·a8=a4·a6=6, 由? 得 a4=3,a6=2, ?a4+a6=5, a5 a4 3 所以a =a =2. 7 6 答案 D 4. (2014· 云南统一检测)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, a4-a1=78, S3=39, 设 bn=log3an,那么数列{bn}的前 10 项和为 A.log371 69 B. 2 C.50
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( D.55

)

解析 设等比数列{an}的公比为 q,由 a4-a1=a1(q3-1)=78,S3=a1+a2+a3 =a1(1+q+q2)=39, 所以 a1(q3-1) 78 78 解得 q = 3 , a 2 =q-1= =2, 1= 3 39 a1(1+q+q ) q -1

=3,所以 an=3n,bn=log33n=n,则数列{bn}是等差数列,前 10 项的和为 10×(1+10) =55,故选 D. 2 答案 D 5.(2015· 兰州模拟)已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1(n∈N*),且 a2+a4+a6 1 =9,则 log (a5+a7+a9)的值是 3 1 A.-5 B.-5 C.5 解析 an+1 an+1 log3 a =1,解得 a =3, n n 所以数列{an}是公比为 3 的等比数列. 因为 a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q3, 所以 a5+a7+a9=9×33=35. 1 1 所以 log3(a5+a7+a9)=log335=-log335=-5. 答案 B 二、填空题 6.(2014· 安徽卷)数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的 等比数列,则 q=________. 解析 设{an}公差为 d,则 a3=a1+2d,a5=a1+4d, 所以(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d+5), 解得 d=-1, a3+3 a1+2d+3 a1+1 所以 q= = = =1. a1+1 a1+1 a1+1 答案 1 7.(2014· 杭州质量检测)设数列{an}是各项均为正数的等比数列,若 a1·a2n-1= 4n,则数列{an}的通项公式是______. 解析 设数列{an}的公比为 q,则由题意知 a1>0,q>0.由 a1·a2n-1=4n 得
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( 1 D.5

)

由 log3an+1=log3an+1(n∈N*),得 log3an+1-log3an=1 且 an>0,即

a1·a1q2n-2=4n,即(a1qn-1)2=(2n)2,所以 a1qn-1=2n,所以数列{an}的通项公 式为 an=2n. 答案 an=2n 8.(2014· 甘肃诊断)已知各项均为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S4= 3S2,a3=2,则 a7=________. 解析 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,显然 q≠1 且 q>0,因为 S4= a1(1-q4) 3a1(1-q2) 3S2,所以 = ,解得 q2=2, 因为 a3=2,所以 a7=a3q4 1-q 1-q =2×22=8. 答案 8 三、解答题 9.已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20,且 {bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前 n 项和. 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 d= a4-a1 12-3 3 = 3 =3.

所以 an=a1+(n-1)d=3n(n∈N*). 设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 b4-a4 20-12 q3= = =8,解得 q=2. b1-a1 4-3 所以 bn-an=(b1-a1)qn-1=2n-1. 从而 bn=3n+2n-1(n∈N*). (2)由(1)知 bn=3n+2n-1(n∈N*). 1-2n n 3 n-1 数列{3n}的前 n 项和为2n(n+1),数列{2 }的前 n 项和为 1× =2 -1. 1-2 3 所以数列{bn}的前 n 项和为2n(n+1)+2n-1. 10.已知在正项数列{an}中,a1=2,点 An( an, an+1)在双曲线 y2-x2=1 上,
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1 数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线 y=-2x+1 上,其中 Tn 是数列{bn}的前 n 项 和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列. (1)解 由已知点 An 在 y2-x2=1 上知,an+1-an=1,

∴数列{an}是一个以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列, ∴an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1. (2)证明 1 ∵点(bn,Tn)在直线 y=-2x+1 上, ① ②

1 ∴Tn=-2bn+1, 1 ∴Tn-1=-2bn-1+1(n≥2), 1 1 ①②两式相减得 bn=-2bn+2bn-1(n≥2), 3 1 1 ∴2bn=2bn-1,∴bn=3bn-1(n≥2). 1 2 令 n=1,得 b1=-2b1+1,∴b1=3, 2 1 ∴{bn}是一个以 为首项,以 为公比的等比数列. 3 3

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)
2 11.数列{an}中,已知对任意 n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则 a2 1+a2+ 2 a2 3+…+an等于

( 1 B.2(9n-1) 1 D.4(3n-1)

)

A.(3n-1)2 C.9n-1 解析 -1,

∵a1+a2+…+an=3n-1,n∈N*,n≥2 时,a1+a2+…+an-1=3n-1

∴当 n≥2 时,an=3n-3n-1=2· 3n-1, 又 n=1 时,a1=2 适合上式,∴an=2· 3n-1,
2 故数列{an }是首项为 4,公比为 9 的等比数列. 2 2 因此 a1 +a2 2+…+an=

4(1-9n) 1 n =2(9 -1). 1-9
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答案 B 12.(2013· 福建卷)已知等比数列{an}的公比为 q,记 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+… +am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m(m,n∈N*),则以下结论 一定正确的是 A.数列{bn}为等差数列,公差为 qm B.数列{bn}为等比数列,公比为 q2m C.数列{cn}为等比数列,公比为 qm2 D.数列{cn}为等比数列,公比为 qmm 解析 ∵bn=am(n-1)(q+q2+…+qm) bn+1 amn(q+q2+…+qm) amn ∴ b = =qm(常数). 2 m = am(n-1)(q+q +…+q ) am(n-1) n bn+1-bn 不是常数. m+1?m ? ? , 又∵cn=(am(n-1))mq1+2+…+m=? ?am(n-1)q 2 ? cn+1 ? amn ?m ? =(qm)m=qm2(常数). ∴ c =?a ( - ) ? m n 1 ? n cn+1-cn 不是常数.∴选 C. 答案 C 13.已知数列-1,a1,a2,-4 成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列, a2-a1 则 b 的值是________. 2 解析 ∵-1,a1,a2,-4 成等差数列,设公差为 d, 1 则 a2-a1=d=3[(-4)-(-1)]=-1, ∵-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,
2 ∴b2 =(-1)×(-4)=4,∴b2=± 2,

(

)

若设公比为 q,则 b2=(-1)q2,∴b2<0. a2-a1 -1 1 ∴b2=-2,∴ b = = . -2 2 2 1 答案 2 14.等比数列{cn}满足 cn+1+cn=10· 4n-1(n∈N*),数列{an}的前 n 项和为 Sn,且
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an=log2cn. (1)求 an,Sn; 1 (2)数列{bn}满足 bn= ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,是否存在正整数 m, 4Sn-1 k(1<m<k),使得 T1,Tm,Tk 成等比数列?若存在,求出所有 m,k 的值;若 不存在,请说明理由. 解 (1)设数列{cn}的公比为 q,由题意知, c1+c2=10,c2+c3=c1q+c2q=40, ?c1+c1q=10, ?c1=2, 即? 解得? 2 ?c1q+c1q =40, ?q=4, 所以 cn=2· 4n-1=22n-1, 所以 an=log222n-1=2n-1, n(a1+an) n[1+(2n-1)] 2 Sn= = =n . 2 2 (2)由(1)知 bn= 于是 Tn= 1 ?? 1? ?1 1? 1?? n ? 1 ??1-3?+?3-5?+…+?2n-1-2n+1??= . 2?? ? ? ? ? ?? 2n+1 ? m ?2 假设存在正整数 m,k(1<m<k),使得 T1,Tm,Tk 成等比数列,则?2m+1? = ? ? 1 k × 3 2k+1, 2 3 -2m +4m+1 可得k = >0,所以-2m2+4m+1>0, m2 6 6 从而有 1- 2 <m<1+ 2 , 由 m∈N*,m>1,得 m=2,此时 k=12. 当且仅当 m=2,k=12 时,T1,Tm,Tk 成等比数列. 1 ? 1 1? 1 =2?2n-1-2n+1?, 4n -1 ? ?
2

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