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第53课时—直线与圆锥曲线的位置关系(2)(学案)


高三数学第一轮复习讲义(53)
直线与圆锥曲线的位置关系(2)

2004.11.8

一.复习目标:
1.能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题,会运用圆锥曲线的 第二定义求焦点弦长; 2.体会“设而不求” 、 “方程思想”和“待定系数”等方法.

二.知识要点:
1.弦

长公式 | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ?
2

1 | y1 ? y2 | . k2

2.焦点弦长:

| PF | ? e (点 P 是圆锥曲线上的任意一点, F 是焦点, d 是 P 到相应于焦 d

点 F 的准线的距离, e 是离心率)

三.课前预习: 1.设直线 y ? 2 x ? 1 交曲线 C 于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,
(1) 若 | x1 ? x2 |? 2 , 则 | AB |?
2

. (2) 则 | AB |? | y1 ? y2 |? 2 ,

. .

2. 斜率为 1 的直线经过抛物线 y ? 4 x 的焦点, 与抛物线相交于 A, B 两点, 则 | AB |? 3.过双曲线 x ?
2

y2 ? 1的右焦点作直线 l ,交双曲线于 A, B 两点,若 | AB |? 4 ,则这样 2
( ) )

的直线 l 有 ( A) 1 条
2 2

(B) 2 条

(C ) 3 条

( D) 4 条


4.已知椭圆 x ? 2 y ? 4 ,则以 (1,1) 为中点的弦的长度是

( A) 3 2

(B) 2 3

(C )

30 3

( D)

3 6 2

1 ,过 F 作直线 l 交椭 3 圆于 A, B 两点, 已知线段 AB 的中点到椭圆左准线的距离是 6 , 则 | AB |? . 四.例题分析: 2 例 1.如图,过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一定点 P( x0 , y0 )( y0 ? 0) ,作两条直线分别交抛物 p 线于 A(x1, y1), B( x 2, y 2) , (1)求该抛物线上纵坐标为 的点到其焦点 F 的距离; (2)当 PA 2 y ? y2 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 1 的值,并证明直线 AB 的斜率是非零常数. y0
5.中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的左焦点为 F ,离心率为 e ?

例 2.椭圆的中心是原点 O ,它的短轴长为 2 2 ,相应于焦点 F (c,0)(c ? 0) 的准线 l 与 x 轴 相交于点 A , | OF |? 2 | FA | ,过点 A 的直线与椭圆相交于 P, Q 两点. (I)求椭圆的方程及 离心率; (II)若 OP.OQ ? 0, 求直线 PQ 的方程; (III)设 AP ? ? AQ(? ? 1) ,过点 P 且平 行于准线 l 的直线与椭圆相交于另一点 M ,证明 FM ? ?? FQ .

例 3.已知倾斜角为 45 ? 的直线 l 过点 A(1 , ? 2) 和点 B , B 在第一象限, | AB |? 3 2 .

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 相交于 E 、 F 两点,且 2 a 线段 EF 的中点坐标为 (4 ,1) ,求 a 的值; (3)对于平面上任一点 P ,当点 Q 在线段 AB 上运动时,称 | PQ | 的最小值为 P 与线段 AB 的距离. 已知点 P 在 x 轴上运动,写出点 P(t , 0) 到线段 AB 的距离 h 关于 t 的函数关系式.
(1) 求点 B 的坐标; (2)若直线 l 与双曲线 C :

五.课后作业: 班级 学号 姓名 2 2 x y 1 . 过 双 曲 线 2 ? 2 ? 1 的 右 焦 点 F2 作 垂 直 于 实 轴 的 弦 PQ , F 1 是左焦点,若 a b ( ) ?PFQ ? 900 ,则双曲线的离心率是 1
(B) 1? 2 (C ) 2 ? 2 ( D) 3 ? 2 2. 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P, Q 两点, 若线段 PF 与 FQ 的 1 1 长分别是 p, q ,则 ? 等于 ( ) p q 1 4 ( A) 2 a (B) (C ) 4 a ( D) 2a a 2 x ? y 2 ? 1交于 A 、 B 两点,则 | AB | 的最大值是 ( 3.直线 y ? x ? m 与椭圆 ) 4 4 5 4 10 8 10 ( A) 2 (B) (C ) ( D) 5 5 5 16 4.过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,作倾斜角为 ? 的直线交抛物线于 A,B 两点,且 AB ? 3 则? ? . 2 3? x y2 ? 2 ? 1(0 ? b ? 2) 右焦点 F2 且倾斜角为 5.若过椭圆 的直线与椭圆相交所得的弦 4 4 b 24 长等于 ,则 b ? . 7 2 6. 设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,Rt ?AOB 内接于抛物线,O 为坐标原点,AO ? BO, AO ( A) 2
2

所在的直线方程为 y ? 2 x , | AB |? 5 13 ,求抛物线方程.

7.已知某椭圆的焦点是 F 1 ? ?4,0?、F 2 ? 4,0? ,过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个 交点为 B ,且 F 1B ? F 2 B ? 10 .椭圆上不同的两点 A ? x1 , y1 ?、C ? x2 , y2 ? 满足条件:

F2 A 、 F2 B 、 F2C 成等差数列.
(Ⅰ)求该椭圆的方程; (Ⅱ)求弦 AC 中点的横坐标; (Ⅲ)设弦 AC 垂直平分线的方程为 y ? kx ? m ,求 m 的取值范围.

x2 2 8.设双曲线 C : 2 ? y ? 1(a ? 0) 与直线 l : x ? y ? 1 相交于两个不同的点 A, B . a 5 PB , (1)求双曲线的离心率 e 的取值范围; (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P ,且 PA ? 12 求 a 的值.


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