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高一数学竞赛辅导(七)


高一数学竞赛辅导(七)
例 1 设 函 数 y=f(x) (x ∈ R , 且 ≠ 0) 对 任 意 非 零 实 数 x1,x2, 满 足 f(x1x2)=f(x1)+f(x2). (1)求证:f(1)=f(-1)=0. (2)求证:y=f(x)为偶函数. (3)已知 y=f(x)为(0,+∞)上的增函数,解不等式 f(x)+
f (x ? 1 2 )? 0<

br />
.

例2

f(x)为定义在 R 上的不恒等于 0 的函数, f ( R,恒有
x? y 2 x? y 2

?
2

)

=0,且对任意 x,y∈

f(x)+f(y)=2f (

)? f (

)

证明:(1)f(x+2 ? )=f(x); (2)f(-x)=f(x); (3)f(2x)=2[f(x)]2-1.

1

例 3 设 f(n)是定义在自然数集上且取自然数值的严格递增函数, f(2)=2, 当 m,n 互素时 f(mn)=f(m)f(n). 证明:对一切正整数 n,f(n)=n.

例 4 设函数 f(x)是奇函数,对任意 x,y∈R,都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且 x>0 时 f(x)<0,f(1)= -2.求 f(x)在 x∈[-3,3]上 的最大值和最小值。

2

例 5 设 f(n)是定义在 N 上取非负整数值的函数,且对所有的 m,n∈N, 有 f(m+n) -f(m) -f(n)=0 或 1 以及 f(2)=0, f(3)>0, f(6000)=2000. 求 f(5961).

例 6 函数 f 定义在正整数有序对的集合上,并满足 f(x,x)=x, f(x,y)=f(y,x), (x+y)f(x,y)=yf(x,x+y) 计算 f(14,52).

3

例 7 函数 f(x)在 x=0 处没有意义, 但对所有非零实数 x 有 f(x)+2f ( 求方程 f(x)=f(-x)的实根.

1 x

)

=3x,

例 8 设 F(x)是对除 x=0 及 x=1 以外的一切实数有定义的实值函数,且 F(x)+F (
x ?1 x ) =1+x

求 F(x).

4

例 9

试求定义在自然数集上的函数 f(x),使 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy, f(1)=1.

例 10 设 n 次多项式函数满足

f (k ) ?

k k ?1

( k ? 0 ,1, ..., n )

,求 f(n+1).

5

练习: I. 选择题 (1)下面列举的四个函数中,满足 2 A.
x 3 ? 2 3x
1 1 f (x) ? f ( ) ? x x

的函数 f 是(
3 2 x? 1 3x

).

B.

3 x

?

3 2

x

C.

2 3

x?

1 3x

D.

(2)已知函数 f(x)对任意正数 x,y 恒有 f(x·y)=f(x)+f(y),下列式子中 错误的是( ) B. f(x)=0 (x>0) D.
f( x) ? 1 2 f ( x )( x ? 0 )

A. f(1)=0 C. f(x3)=3f(x)(x>0)

(3) 对于每一对实数 x,y,函数 f 满足 f(x)+f(y)=f(x+y) -xy-1,若 f(1)=1,那么使 f(n)=n (n≠1)的整数 n 共有( A. 0 II. 填空题 (1)若 f(a+b)=f(a)·f(b), 且 f(1)=1, 于____________. (2)对任意正整数 k,设 f1(k)表示 k 的各位数字和的平方,对 n≥2,令 fn(k)=f1(fn-1(k)),则 f1988(11)=__________. (3)若 f(3x+1)=x2+e2x,则 f(x)=_____________. (4)函数 f(n)对一切自然数 n 都有定义, 且满足 f(n)=f(n-1)+an,f(1)=1, 则 f(n)=_____________. (5)设 f(x)为二次函数,已知 g(x)=2xf(x),和 g(x+1) -g(x)=2x+1·x2,则 g(x)=_________. (6)适合条件 x2f(x)+f(1-x)=2x-x4 的多项式 f(x)=_________.
f (2) f (1) ? f (3) f (2) ? ... ? f (1 9 8 8 ) f (1 9 8 7 )

)个. D. 3

B. 1

C. 2

的值等

6

III. 解答题 (1) 设多项式函数 f(x), g(x)满足 f2(x)=xg2(x),则 f(x)与 g(x)都 是零次多项式.

(2) 设函数满足下列条件:① 对任意实数 x,均有 f(x)>2;②对任 意实数 x1,x2,均有 f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)。 试证对任意实数 x1,x2, 均有 lgf(x1+x2)<lgf(x1)+lgf(x2).

(3) 设函数 y=f(x)定义在 R 上,当 x>0 时,f(x)>1,且对任意 m,n ∈R 有 f(m+n)=f(m)f(n), 当 m≠n 时,f(m)≠f(n). ①证明:f(0)=1. ②证明:f(x)为 R 上的增函数. ③ 设 A={(x,y)|f(x2)f(y2)<f(1)}, B={(x,y)|f(ax+by+c)=1, a,b,c∈R 且 a≠0},若 A∩B≠φ ,求 a,b,c 满足的条件.

7

(4)将正整数 n 的所有约数之和用 f(n)表示(例如 f(4)=1+2+4=( 求证:如果 m,n 互质,则有 f(mn)=f(m)·f(n).

),

(5)设 Q 是全体有理数的集合,求适合下列两个条件的从 Q 到 Q 的所 有函数: 1) f(1)=2; 2) 对 Q 中所有的 x 和 y, f(xy)=f(x)f(y) -f(x+y)+1.

8


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