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2015年重庆市高考数学试卷(理科)答案与解析


2015 年重庆市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2015?重庆)已知集合 A={1,2,3},B={2,3},则( ) A.A=B B.A∩B=? C. D. A B B A 2. (5 分) (2

015?重庆)在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a6=( ) A.﹣1 B.0 C .1 D.6 3.(5 分) (2015?重庆)重庆市 2013 年各月的平均气温(℃)数据的茎叶 图如,则这组数据的中位数是( ) A.19 B.20 4. (5 分) (2015?重庆)“x>1”是“ C.21.5 (x+2)<0”的( D.23 )

A.充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 5. (5 分) (2015?重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(



A.

B.

C.

D.

6. (5 分) (2015?重庆)若非零向量 , 满足| |= 与 的夹角为( A. ) B. C.

| |,且( ﹣ )⊥(3 +2 ) ,则

D.π

7.(5 分) (2015?重庆)执行如图所示的程序框图,若输出 k 的值为 8,则判断 框图可填入的条件是( ) A. s≤ B. C. D. s≤
2 2

s≤

s≤

8. (5 分) (2015?重庆)已知直线 l:x+ay﹣1=0(a∈R)是圆 C:x +y ﹣4x﹣2y+1=0 的对 称轴.过点 A(﹣4,a)作圆 C 的一条切线,切点为 B,则|AB|=( ) A.2 B. C .6 D.

1

9. (5 分) (2015?重庆)若 tanα=2tan

,则

=(



A.1

B.2

C .3

D.4

10. (5 分) (2015?重庆)设双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,右顶点为 A,

过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线,两垂线交于 点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于 a+ ( ) , 0) ∪ (0, D (﹣∞, ) ﹣ ) ∪ ( , +∞) ,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

A (﹣1,0) B (﹣∞, C (﹣ ∪(0,1) ﹣1) ∪ (1, +∞)

二、填空题:本大题共 3 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题 卡相应位置上. 11. (5 分) (2015?重庆)设复数 a+bi(a,b∈R)的模为 ,则(a+bi) (a﹣bi)= . 12. (5 分) (2015?重庆) 的展开式中 x 的系数是
8

(用数字作答) .

13. (5 分) (2015?重庆) 在△ ABC 中, B=120°, AB= , A 的角平分线 AD= , 则 AC= . 三、考生注意: (14) 、 (15) 、 (16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则 按前两题给分. 14.(5 分) (2015?重庆)如题图,圆 O 的弦 AB,CD 相交于点 E,过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P,若 PA=6,AE=9,PC=3,CE:ED =2:1,则 BE= . 15. (5 分) (2015?重庆)已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极

点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ,则直线 l 与曲线 C 的交点的极坐标为 . 16. (2015?重庆)若函数 f(x)=|x+1|+2|x﹣a|的最小值为 5,则实数 a= . 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (13 分) (2015?重庆)端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有 10 个粽子,其 中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个,这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取 3 个. (Ⅰ)求三种粽子各取到 1 个的概率; (Ⅱ)设 X 表示取到的豆沙粽个数,求 X 的分布列与数学期望.

18. (13 分) (2015?重庆)已知函数 f(x)=sin(

﹣x)sinx﹣

x

2

(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期和最大值; (Ⅱ)讨论 f(x)在 上的单调性.

19. (13 分) (2015?重庆) 如题图, 三棱锥 P﹣ABC 中, PC⊥平面 ABC, PC=3, ∠ACB= E 分别为线段 AB,BC 上的点,且 CD=DE= (Ⅰ)证明:DE⊥平面 PCD (Ⅱ)求二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值. ,CE=2EB=2.

. D,

20. (12 分) (2015?重庆)设函数 f(x)=

(a∈R)

(Ⅰ)若 f(x)在 x=0 处取得极值,确定 a 的值,并求此时曲线 y=f(x)在点(1,f(1) ) 处的切线方程; (Ⅱ)若 f(x)在[3,+∞)上为减函数,求 a 的取值范围.

21. (12 分) (2015?重庆)如题图,椭圆 过 F2 的直线交椭圆于 P,Q 两点,且 PQ⊥PF1 (Ⅰ)若|PF1|=2+ |=2﹣

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,

,求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率 e.

3

22. (12 分) (2015?重庆)在数列{an}中,a1=3,an+1an+λan+1+μan =0(n∈N+) (Ⅰ)若 λ=0,μ=﹣2,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 λ= (k0∈N+,k0≥2) ,μ=﹣1,证明:2+ < <2+ .

2

答案: 1、 解:集合 A={1,2,3},B={2,3}, 可得 A≠B,A∩B={2,3},B 故选:D. 2、 解:在等差数列{an}中,若 a2=4,a4=2,则 a4= (a2+a6)= 解得 a6=0. 故选:B. 解:样本数据有 12 个,位于中间的两个数为 20,20, 则中位数为 , =2, A,所以 D 正确.

3、

4

4、

故选:B 解:由“

(x+2)<0”

得:x+2>1,解得:x>﹣1, 故“x>1”是“ (x+2)<0”的充分不必要条件, 故选:B. 5、 、 解: 由三视图可知, 几何体是组合体, 左侧是三棱锥, 底面是等腰三角形, 腰长为 , 高为 1,一个侧面与底面垂直,并且垂直底面三角形的斜边,右侧是半圆柱,底面半 径为 1,高为 2, 所求几何体的体积为: 故选:A. 6、 = .

解:∵( ﹣ )⊥(3 +2 ) , ∴( ﹣ )?(3 +2 )=0, 即3
2

﹣2

2 2

﹣ ? =0,
2

即 ? =3

﹣2

=

2



∴cos< , >=

=

=



即< , >=



7、

故选:A 解:模拟执行程序框图,k 的值依次为 0,2,4,6,8, 因此 S= 因此可填:S 故选:C.
2 2

(此时 k=6) , .

8、

解:圆 C:x +y ﹣4x﹣2y+1=0,即(x﹣2) +(y﹣1) =4,表示以 C(2,1)为圆 心、半径等于 2 的圆. 由题意可得,直线 l:x+ay﹣1=0 经过圆 C 的圆心(2,1) ,故有 2+a﹣1=0,∴a=﹣1, 点 A(﹣4,﹣1) . 由于 AC= ∴切线的长|AB|= 故选:C.
5

2

2

=2 = =6,

,CB=R=2,

9、 解:tanα=2tan ,则 = =

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=3.

故答案为:3. 10、 解:由题意,A(a,0) ,B(c, 轴上, ) ,C(c,﹣ ) ,由双曲线的对称性知 D 在 x

设 D(x,0) ,则由 BD⊥AC 得



∴c﹣x=



∵D 到直线 BC 的距离小于 a+



∴c﹣x=

<a+





<c ﹣a =b ,

2

2

2

6

∴0< <1, ∴双曲线的渐近线斜率的取值范围是(﹣1,0)∪(0,1) . 故选:A. 解:因为复数 a+bi(a,b∈R)的模为 , 所以 a +b = 故答案为:3. 12、 解:由于 的展开式的通项公式为 Tr+1= =8,求得 r=2,故开式中 x 的系数是
8 2 2

11、

=3,则(a+bi) (a﹣bi)=a +b =3;

2

2

?

?



令 15﹣

? = ,

故答案为: .

13、

解:由题意以及正弦定理可知:

,即

,∠ADB=45°,

A=180°﹣120°﹣45°,可得 A=30°,则 C=30°,三角形 ABC 是等腰三角形, AC=2 = . 故答案为: . 解:设 CE=2x,ED=x,则 ∵过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的延长线交于点 P, ∴由切割线定理可得 PA =PC?PD,即 36=3×(3+3x) , ∵x=3, 由相交弦定理可得 9BE=CE?ED,即 9BE=6×3, ∴BE=2. 故答案为:2. 15、 解:直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,它的直角坐标方程为:x﹣y+2=0;
2

14、

曲线 C 的极坐标方程为 可得它的直角坐标方程为:x ﹣y =4,x<0. 由 ,可得 x=﹣2,y=0,
2 2



交点坐标为(﹣2,0) , 它的极坐标为(2,π) . 故答案为: (2,π) .

7

16、 解: ∵函数 f (x) =|x+1|+2|x﹣a|, 故当 a<﹣1 时, f (x) = ,

根据它的最小值为 f(a)=﹣3a+2a﹣1=5,求得 a=﹣6. 当 a=﹣1 时,f(x)=3|x+1|,它的最小值为 0,不满足条件.

当 a≥﹣1 时,f(x)=



17、

根据它的最小值为 f(a)=a+1=5,求得 a=4. 综上可得,a=﹣6 或 a=4, 故答案为:﹣6 或 4. 解: (Ⅰ)令 A 表示事件“三种粽子各取到 1 个”, 则由古典概型的概率公式有 P(A)= (Ⅱ)随机变量 X 的取值为:0,1,2, 则 P(X=0)= X P EX=0× +1× = 0 ,P(X=1)= 1 = ,P(X=2)= 2 = , = .

+2×

= 个. ﹣x)sinx﹣ )﹣ , . ≤ 时, 即 x∈[ , ] x=cosxsinx﹣ (1+cos2x)= sin2x

18

解: (Ⅰ)函数 f(x)=sin( ﹣ sin2x﹣ =sin(2x﹣

故函数的周期为 (Ⅱ) 当 x∈

=π,最大值为 1﹣ 时, 2x﹣

∈[0, π], 故当 0≤2x﹣

时,f(x)为增函数; 当 19、 ≤2x﹣ ≤π 时,即 x∈[ , ]时,f(x)为减函数.

(Ⅰ)证明:∵PC⊥平面 ABC,DE?平面 ABC,∴PC⊥DE, ∵CE=2,CD=DE= ,∴△CDE 为等腰直角三角形, ∴CD⊥DE,∵PC∩CD=C, DE 垂直于平面 PCD 内的两条相交直线, ∴DE⊥平面 PCD (Ⅱ)由(Ⅰ)知△ CDE 为等腰直角三角形,∠DCE= ,

8

过点 D 作 DF 垂直 CE 于 F,易知 DF=FC=FE=1,又由已知 EB=1,故 FB=2, 由∠ACB= 得 DF∥AC, , , ,故 AC= DF= , 的方向为 xyz 轴的正方向建立空间直角坐标系,

以 C 为原点,分别以

则 C(0,0,0) ,P(0,0,3) ,A( ,0,0) ,E(0,2,0) ,D(1,1,0) , ∴ =(1,﹣1,0) , =(﹣1,﹣1,3) , =( ,﹣1,0) ,

设平面 PAD 的法向量

=(x,y,z) ,由



故可取

=(2,1,1) , 可取 , >

由(Ⅰ)知 DE⊥平面 PCD,故平面 PCD 的法向量 =(1,﹣1,0) ,∴两法向量夹角的余弦值 cos<

= 20、

=

∴二面角 A﹣PD﹣C 的余弦值为



解: (I)f′(x)=

=



∵f(x)在 x=0 处取得极值,∴f′(0)=0,解得 a=0. 当 a=0 时,f(x)= ,f′(x)= ,

∴f(1)= ,f′(1)= , ∴曲线 y=f (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线方程为 , 化为: 3x﹣ey=0;
2

(II)解法一:由(I)可得:f′(x)= ﹣a)x+a, 由 g(x)=0,解得 x1= ,x2=

,令 g(x)=﹣3x +(6



当 x<x1 时,g(x)<0,即 f′(x)<0,此时函数 f(x)为减函数; 当 x1<x<x2 时,g(x)>0,即 f′(x)>0,此时函数 f(x)为增函数; 当 x>x2 时,g(x)<0,即 f′(x)<0,此时函数 f(x)为减函数.

9

由 f(x)在[3,+∞)上为减函数,可知:x2= 因此 a 的取值范围为: .

≤3,解得 a≥﹣ .

解法二:由 f(x)在[3,+∞)上为减函数,∴f′(x)≤0, 可得 a≥ ,在[3,+∞)上恒成立.

令 u(x)=

,u′(x)=

<0,

∴u(x)在[3,+∞)上单调递减, ∴a≥u(3)=﹣ . 因此 a 的取值范围为: 21、 . +2﹣ =4,故 a=2, =2 ,

解: (Ⅰ)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=2+

设椭圆的半焦距为 c,由已知 PF2⊥PF1,因此 2c=|F1F2|= 即 c= ,从而 b= =1, .

故所求椭圆的标准方程为

(Ⅱ)连接 F1Q,由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a, 从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|, 有|QF1|=4a﹣2|PF1|, 又由 PQ⊥PF1,|PF1|=|PQ|,知|QF1|= |PF1|=4a﹣2|PF1|,解得|PF1|=2(2﹣ 而|PF2|=2a﹣|PF1|=2( ﹣1)a, 由 PF2⊥PF1,知 2c=|F1F2|= ,因此

)a,从

e= = 22、

= ( n∈N+) . ,则由上述递推公式易得

=

=



(Ⅰ)解:由 λ=0,μ=﹣2,有 若存在某个 n0∈N+,使得

,重复上述过程可得 a1=0,

此与 a1=3 矛盾,∴对任意 n∈N+,an≠0. 从而 an+1=2an(n∈N+) ,即{an}是一个公比 q=2 的等比数列.故 (Ⅱ)证明:由 ,数列{an}的递推关系式变为 .

10

,变形为: 由上式及 a1=3>0,归纳可得 3=a1>a2>…>an>an+1>…>0.

(n∈N) .



=



∴对 n=1,2,…,k0 求和得: =

> 另一方面,由上已证的不等式知,

. ,



=2+



综上,2+



<2+



11


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