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高中物理模型解题


高中物理模型解题 模型解题归类 一、刹车类问题 匀减速到速度为零即停止运动(如果在某船上或者滑板上就是指达到共同速度 ),加速度 a 突然消失,求解时要注意确定其实际运动时间。如果问题涉及到最后阶段(到速度为零)的运 动,可把这个阶段看成反向、初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动。 【题 1】汽车刹车后,停止转动的轮胎在地面上发生滑动,可以明显地看出滑动的痕迹,即常 说的刹车线

。由刹车线长短可以得知汽车刹车前的速度的大小,因此刹车线的长度是分析交通 事故的一个重要依据。若汽车轮胎跟地面的动摩擦因数是 0.7,刹车线长是 14m,汽车在紧急 刹车前的速度是否超过事故路段的最高限速 50km/h?

【题2】一辆汽车以72km/h 速率行驶,现因故紧急刹车并最终终止运动,已知汽车刹车过程加 2 速度的大小为5m/s ,则从开始刹车经过5秒 汽车通过的位移是多大

二、类竖直上抛运动问题 物体先做匀加速运动,到速度为零后,反向做匀加速运动,加速过程的加速度与减速运动 过程的加速度相同。此类问题要注意到过程的对称性,解题时可以分为上升过程和下落过程, 也可以取整个过程求解。 【题1】 一滑块以20m/s 滑上一足够长的斜面, 已知滑块加速度的大小为5m/s , 则经过5秒 滑 块通过的位移是多大?
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【题2】物体沿光滑斜面匀减速上滑,加速度大小为4m/s ,6s 后又返回原点。那么下述结论正 确的是( ) A 物体开始沿斜面上滑时的速度为12m/s B 物体开始沿斜面上滑时的速度为10m/s C 物体沿斜面上滑的最大位移是18m D 物体沿斜面上滑的最大位移是15m

2

三、追及相遇问题 两物体在同一直线上同向运动时,由于二者速度关系的变化,会导致二者之间的距离的变 化,出现追及相撞的现象。两物体在同一直线上相向运动时,会出现相遇的现象。解决此类问 题的关键是两者的位移关系,即抓住: “两物体同时出现在空间上的同一点。分析方法有:物 理分析法、极值法、图像法。常见追及模型有两个:速度大者(减速)追速度小者(匀速) 、 速度小者(初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(匀速) 、 1、速度大者(减速)追速度小者(匀速) : (有三种情况)
1

(1)速度相等时,若追者位移等于被追者位移与两者间距之和,则恰好追上。 【题 1】汽车正以 10m/s 的速度在平直公路上前进,发现正前方有一辆自行车以 4m/s 的速度同 2 方向做匀速直线运动,汽车应在距离自行车多远时关闭油门,做加速度为 6m/s 的匀减速运动, 汽车才不至于撞上自行车?

(2)速度相等时,若追者位移小于被追者位移与两者间距之和,则追不上。 (此种情况下,两 者间距有最小值) 【题 2】一车处于静止状态,车后距车 S0=25m 处有一个人,当车以 1m/s2 的加速度开始起动时, 人以 6m/s 的速度匀速追车。问:能否追上?若追不上,人车之间最小距离是多少?

(3)速度相等时,若追者位移大于被追者位移与两者间距之和,则有两次相遇。 (此种情况下, 两者间距有极大值) 【题3】 甲乙两车在一平直的道路上同向运动, 图中三角形 OPQ 和三角形 OQT 的面积分别为 S1和 S2(S2>S1).初始时,甲车在乙车前方 S0处( ) A.若 S0=S1+S2,两车不相遇 B.若 S0<S1两车相遇2次 C.若 S0=S1两车相遇1次 D.若 S0=S2两车相遇1次 2、速度小者(初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(匀速) 。 (此种情 况下,两者间距有最大值) 【题 4】 质点乙由 B 点向东以 10m/s 的速度做匀速运动,同时质点甲从距乙 12m 远处西侧 A 点以 2 4m/s 的加速度做初速度为零的匀加速直线运动.求: ⑴两者间距何时最大?最大间距是多少? ⑵甲追上乙需要多长时间?此时甲通过的位移是多大?

四、共点力的平衡 1、静态平衡问题: 对研究对象进行受力分析,根据牛顿第一定律列方程求解即可。主要分析方法有:力的合 成法、力按效果分解、力按正交分解、密闭三角形。 【题1】一个半球的碗放在桌上,碗的内表面光滑,一根细线跨在碗口,线的 两端分别系有质量为 m1,m2的小球,当它们处于平衡状态时,质量为 m1 的小球与 O 点的连线与水平线的夹角为60° 。求两小球的质量比值。

【题2】如图,重物的质量为 m,轻细线 AO 和 BO 的 A、B 端是固定的。平衡 时 AO 是水平的,BO 与水平面的夹角为θ 。AO 的拉力 F1和 BO 的拉力 F2的 大小是( ) mg A. F1 ? mg cos? B. F1 ? mg cot? C. F2 ? mgsin ? D. F2 ? sin ? 【题3】如图所示,质量为 m 的两个球 A、B 固定在杆的两端,将其放入光滑的半圆形碗中, 杆的长度等于碗的半径,当杆与碗的竖直半径垂直时,两球刚好能平衡,则杆对小球的作用力
2

为( ) 3 A. 3 mg

2 3 B. 3 mg

3 C. 2 mg

D.2mg

2、动态平衡问题: 此类问题都有一个关键词, “使物体缓慢移动??” ,因此物体在移动过程中,任意时刻、 任意位置都是平衡的,即合外力为零。分析方法有两类:解析法和图解法,其中图解法又有矢 量三角形分析法、动态圆分析法、相似三角形分析法。 (1)解析法: 找出所要研究的量(即某个力)随着某个量(通常为某个角)的变化而变化的函数解析式。 通过函数的单调性,研究该量的变化规律。 【题1】如图所示,A、B 两物体的质量分别为 mA、mB,且 mA>mB,整个系统处于静止状态, 滑轮的质量和一切摩擦均不计,如果绳一端由 Q 点缓慢地向左移到 P 点,整个系统重新平衡后,物体 A 的高度和两滑轮间绳与水平方向的 夹角θ 变化的情况是?

(2)图解法(有三种情况) : ①矢量三角形分析法: 物体在三个不平行的共点力作用下平衡,这三个力必组成一首尾相接的三角形。 用这个 三角形来分析力的变化和大小关系的方法叫矢量三角形法,它有着比平行四边形更简便的优 点, 特别在处理变动中的三力问题时能直观的反映出力的变化过程。 【题 2】如图所示,绳 OA、OB 等长,A 点固定不动,将 B 点沿圆弧向 C 点运 动的过程中绳 OB 中的张力将( ) A、由大变小; B、由小变大 C、先变小后变大 D、先变大后变小 ②动态圆分析法: 当处于平衡状态的物体所受的三个力中,某一个力的大小与方向不变,另一个力的大小不 变时,可画动态圆分析。 【题3】质量为 m 的小球系在轻绳的下端,现在小球上施加一个 F=mg/2的拉力,使 小球偏离原位置并保持静止则悬线偏离竖直方向的最大角度 θ 为 。 ③相似三角形分析法: 物体在三个共点力的作用下平衡,已知条件中涉及的是边长问题,则由力组成的矢量三角 形和由边长组成的几何三角形相似, 利用相似比可以迅速的解力的问题。 【题4】如图所示,绳与杆均轻质,承受弹力的最大值一定,A 端用铰链固定, 滑轮在 A 点正上方(滑轮大小及摩擦均可不计) ,B 端吊一重物。现施拉力 F 将 B 缓慢上拉(均未断) ,在 AB 杆达到竖直前( ) A.绳子越来越容易断, B.绳子越来越不容易断, C.AB 杆越来越容易断, D.AB 杆越来越不容易断。 【补充】动杆和定杆 活结与死结: 物体的平衡问题中,常常遇到“动杆和定杆 活结与死结”的问题,我们要明确几个问题: ①动杆上的弹力必须沿着杆子的方向,定杆上的弹力可以按需供给;②活结两边的绳子上的张
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力一定相同,死结两边的绳子上的张力可以不同;③动杆配死结,定杆配活结。 五、瞬时加速度问题 【两种基本模型】 1、刚性绳模型(细钢丝、细线等) :认为是一种不发生明显形变即可产生弹力的物体,它的 形变的发生和变化过程历时极短,在物体受力情况改变(如某个力消失)的瞬间,其形变可随 之突变为受力情况改变后的状态所要求的数值。 2、轻弹簧模型(轻弹簧、橡皮绳、弹性绳等) :此种形变明显,其形变发生改变需时间较长, 在瞬时问题中,其弹力的大小可看成是不变。 【解决此类问题的基本方法】 : (1)分析原状态(给定状态)下物体的受力情况,求出各力大小(若物体处于平衡状态,则利 用平衡条件;若处于加速状态则利用牛顿运动定律) ; (2)分析当状态变化时(烧断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等) ,哪些力变化,哪些 力不变,哪些力消失(被剪断的绳或弹簧中的弹力,发生在被撤去物接触面上的弹力都立即消 失) ; (3)求物体在状态变化后所受的合外力,利用牛顿第二定律 ,求出瞬时加速度。 【题1】如图所示,小球 A、B 的质量分别 为 m 和 2m ,用轻弹簧相连,然后用 细线悬挂而静止,在剪断弹簧的瞬间,求 A 和 B 的加速度各为多少?
A B 图1 A

【题2】如图所示,木块 A 和 B 用一弹簧相连,竖直放在木板 C 上,三者静止于 地面,它们的质量比是1:2:3,设所有接触面都是光滑的,当沿水平方向迅速抽 出木块 C 的瞬时,A 和 B 的加速度 aA= ,aB= 。 【题3】如图,物体 B、C 分别连接在轻弹簧两端,将其静置于吊篮 A 中的水平底 板上,已知 A、B、C 的质量都是 m,重力加速度为 g,那么将悬挂吊篮的细线烧断 的瞬间,A、B、C 的加速度分别为多少?

B C 图3

8 题图

六、动力学两类基本问题 解决动力学问题的关键是想方设法求出加速度。 1、已知受力求运动情况 【题 1】质量为 m=2kg 的小物块放在倾角为θ =370 的斜面上,现受到一个与斜面平行大小为 F =30N 的力作用,由静止开始向上运动。物体与斜面间的摩擦因数为μ =0.1,求物体在前 2s 内发生的位移是多少?

【题2】某人在地面上用弹簧秤称得体重为490N.他将弹簧秤移至电梯内称其体重,t0至 t3时间 段内,弹簧秤的示数如图 3?3? 4所示,电梯运行的 v-t 图可能是(取电梯向上运动的方向为 正)( )
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2、已知运动情况求受力 【题3】总重为8t 的载重汽车,由静止起动开上一山坡,山坡的倾斜率为0.02(即每前进100m 上 升2m) ,在行驶100m 后,汽车的速度增大到18km/h,如果摩擦阻力是车重的0.03倍,问汽车在 上坡时的平均牵引力有多大?

【题4】升降机由静止开始上升,开始2s 内匀加速上升8m, 以后3s 内做匀速运动,最后2s 内做 匀减速运动,速度减小到零.升降机内有一质量为250kg 的重物,求整个上升过程中重物对升 降机的底板的压力,并作出升降机运动的 v-t 图象和重物对升降机底板压力的 F-t 图象.(g 取10m/s2)

七、受力情况与运动状态一致的问题 物体的受力情况必须符合它的运动状态,故对物体受力分析时,必须同步分析物体的运动 状态,若是物体处于平衡状态,则 F 合=0;若物体有加速度 a,则 F 合=ma,即合力必须指向加速 度的方向。 【题1】如图所示,固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为 θ,在斜杆下端固定有质量为 m 的小球,下列关于杆对球的作用力 F 的判断中,正确的是( ) A. 小车静止时,F=mgsinθ, 方向沿杆向上 B. 小车静止时,F=mgcosθ 方向垂直杆向上 C. 小车向右以加速度 a 运动时,一定有 F=ma/sinθ D. 小车向左以加速度 a 运动时,
F ? (ma ) 2 ? (mg ) 2

,方向斜向左上方

2.若将上题中斜杆换成细绳,小车以加速度 a 向右运动,求解绳子拉力的大小及方向。

3.若杆与小车通过铰链连接,杆对球的作用力大小和方向又将如何。

【题2】一斜面上有一小车,上有绳子,绳子另一端挂一小球,请问在以 下四种情况下,小车的加速度,以及悬线对小球拉力的大小?(其中2为 竖直方向,1、3与竖直方向成 θ 角,4与竖直方向成2θ) 。

八、运动物体的分离问题 方法提示: ⑴ 原来是挤压在一起的两个物体,当两者间的相互挤压力减小到零时,物体即将发生分
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离;所以,两物体分离的临界情况是①挤压力减为零,但此时两者的②加速度还是相同的,之 后就不同从而导致相对运动而出现分离;因此,解决问题时应充分利用①、②这两个特点。 ⑵物体分离问题的物理现象变化的特征物理量是两物体间的相互挤压力。 ⑶如何论证两物体间是否有挤压力:假设接触在一起运动的前后两物体间没有挤压力,分 别运算表示出前后两者的加速度。若 a 后>a 前,则必然是后者推着前者运动,两者有挤压力;若 a 后≤a 前,则前者即将甩开后者(分离) ,两者没有挤压力。 【题 1】如图,光滑水平面上放置紧靠在一起的 A、B 两个物体,mA=3kg,mB=6kg,推力 FA 作用于 A 上,拉力 FB 用于 B 上,FA、FB 大小均随时间而变化,其规律分别 为 FA=(9 - 2 t)N,FB=(2 + 2 t)N,求:⑴A、B 间挤压力 FN 的表达式;⑵从 t=0 FA FB A B 开始,经多长时间 A、B 相互脱离?

【题2】如图,一根劲度系数为 k、质量不计的轻弹簧,上端固定、下端系一质量为 m 的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。现手持水平板使它由静止 开始以加速度 a(a<g)匀加速向下移动。求:⑴设弹簧的弹力记为 f=kx,求物体与水 平板间挤压力 FN 的表达式;⑵物体与水平板分离时弹簧的形变量;⑶ 经过多长时间木 板开始与物体分离。

【题3】如图,在倾角为 θ 的光滑斜面上端系一劲度系数为 k 的轻弹簧,弹簧下端连有一质量为 m 的小球, 球被一垂直于斜面的挡板挡住, 此时弹簧没有形变。 若手持挡板以加速度 a (a<gsinθ) 沿斜面匀加速下滑。求:⑴从挡板开始运动到挡板与球分离所经历的时间;⑵若要挡板以加速 度 a 沿斜面匀加速下滑的一开始,挡板就能与小球分离,a 至少应多大。
θ

九、传送带问题 1、水平传送带以一定的速度匀速转动,物体轻放在传送带一端,此时物体可能经历两个过程 ——匀加速运动和匀速运动。 【题1】在民航和火车站可以看到用于对行李进行安全检查的水平传送带。当旅客把行李放到 传送带上时,传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速运动。随后它们保持相对静止, 行李随传送带一起前进。 设传送带匀速前进的速度为0.25m/s, 把质量为5kg 的木箱静止放到传 6m/s2 送带上,由于滑动摩擦力的作用,木箱以 的加速度前进,那么这个木箱放在传送带上后, 传送带上将留下一段多长的摩擦痕迹?

2、传送带斜放,与水平方向的夹角为θ ,将物体轻放在传送带的最低端,只要物体与传送带 之间的滑动摩擦系数μ ≥tanθ ,那么物体就能被向上传送。此时物体可能经历两个过程——匀 加速运动和匀速运动。
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【题2】如图2—4所示,传送带与地面成夹角θ =37°,以10m/s 的速度 顺时针转动,在传送带下端轻轻地放一个质量 m=0.5㎏的物体,它与传 送带间的动摩擦因数μ =0.9,已知传送带从 A→B 的长度 L=50m,则物 体从 A 到 B 需要的时间为多少?

3、传送带斜放,与水平方向的夹角为θ ,将物体轻放在传送带的顶端,物体被向下传送。此 时物体肯定要经历第一个加速阶段,然后可能会经历第二个阶段——匀加速运动或匀速运动, 这取决于μ 与 tanθ 的关系(有两种情况) 。 (1)当μ ﹤tanθ 时,小物体可能经历两个加速度不同的匀加速运动; 【题3】如图2—1所示,传送带与地面成夹角θ =37°,以10m/s 的速度 逆时针转动,在传送带上端轻轻地放一个质量 m=0.5㎏的物体,它与传 送带间的动摩擦因数μ =0.5,已知传送带从 A→B 的长度 L=16m,则物 体从 A 到 B 需要的时间为多少?

(2)当μ ≥tanθ 时,小物体可能做匀加速运动,后做匀速直线运动。 【题4】如图2—2所示,传送带与地面成夹角θ =30°,以10m/s 的速度逆 时针转动,在传送带上端轻轻地放一个质量 m=0.5㎏的物体,它与传送带 间的动摩擦因数μ =0.6,已知传送带从 A→B 的长度 L=16m,则物体从 A 到 B 需要的时间为多少?

十、牛顿第二定律在系统中的应用问题 1、当物体系中的物体保持相对静止,以相同的加速度运动时,根据牛顿第二定律可得:F 合外= (m1+m2+m3+??mn)a, 【题 1】如图所示,质量为 M 的斜面 A 置于粗糙水平地面上,动摩擦因数为 ? ,物体 B 与斜 面间无摩擦。在水平向左的推力 F 作用下,A 与 B 一起做匀加速直线运 动,两者无相对滑动。已知斜面的倾角为 ? ,物体 B 的质量为 m,则它 们的加速度 a 及推力 F 的大小为( ) B. a ? g cos? , F ? (M ? m) g cos? D. a ? g cot? , F ? ? (M ? m) g A. a ? g sin ? , F ? (M ? m) g (? ? sin ? ) C. a ? g tan? , F ? (M ? m) g (? ? tan? )
B
θ

F A

【题2】如图所示,质量相同的木块 A、B,用轻质弹簧连接处于静止状态, 现用水平恒力推木块 A,则弹簧在第一次压缩到最短的过程中( ) A.A、B 速度相同时,加速度 aA = aB B.A、B 速度相同时,加速度 aA>aB C.A、B 加速度相同时,速度υ A<υ B D.A、B 加速度相同时,速度υ A>υ
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B

2、当物体系中其它物体都保持平衡状态,只有一个物体有加速度时, 系统所受的合外力只给 该物体加速。即 F 合外=m1a, 【题3】如图所示,质量为 M 的框架放在水平地面上,一轻弹簧上端固定一 个质量为 m 的小球,小球上下振动时,框架始终没有跳起.当框架对地面压力 为零瞬间,小球的加速度大小为: ( ) M ?m M ?m A.g B. g C.0 D. g m m

图 2-8

【题 4】如图,一只质量为 m 的小猴抓住用绳吊在天花板上的一根质量为 M 的竖直杆。当悬绳 突然断裂时, 小猴急速沿杆竖直上爬, 以保持它离地面的高度不变。 则杆下降的加速度为 ( ) A. g

m g B. M

M ?m g M C.

M ?m g M D.

M

m

3、当物体系中所有物体都保持平衡状态时,系统所受的合外力为零。 【题 4】两刚性球 a 和 b 的质量分别为 ma 和 mb,直径分别为 da 和 db(da>db).将 a、b 球依次放 入一竖直放置、内径为 d(da<d<da+db)的平底圆筒内,如图 3 所示.设 a、b 两球静止时对圆筒 侧面的压力大小分别为 FN1 和 FN2,筒底所受的压力大小为 F.已知重力加速度大小为 g. 若所有 接触都是光滑的,则( ) B.F=(ma+mb)g,FN1≠FN2 D.mag<F<(ma+mb)g,FN1≠FN2

A.F=(ma+mb)g,FN1=FN2 C.mag<F<(ma+mb)g,FN1=FN2

十一、运动的合成与分解 1、牵连运动问题 牵连运动问题中的速度分解,有时往往成为解某些综合题的关键。处理这类问题应从实际 情况出发,牢牢抓住——实际运动就是合运动。作出合速度沿绳或杆方向上的分速度,即为牵 连速度。 【题1】如图1-1所示,在水面上方高20m 处,人用绳子通过定滑轮将水中的小船系住,并以3 m/s 的速度将绳子收短,开始时绳与水面夹角30°,试求: (1)刚开始时小船的速度; (2)5秒末小船速度的大小。

2、小船过河问题 处理方法:轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题,小船在有一定流速的水中过河时, 实际上参与了两个方向的分运动,即随水流的运动(水冲船的运动)和船相对水的运动(即在 静水中的船的运动) ,船的实际运动是合运动。 (1)过河时间最短问题:

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在河宽、船速一定时,在一般情况下,渡河时间 t ? 时,即船头的指向与河岸垂直,渡河时间最小为

d

?1

?

d ? 船 sin ?

,显然,当 ? ? 90?

d ,合运动沿v的方向进行。 v 【题 1】在抗洪抢险中,战士驾驶摩托艇救人,假设江岸是平直的,洪水沿江向下游流去,水 流速度为 v1,摩托艇在静水中的航速为 v2,战士救人的地点 A 离岸边最近处 O 的距离为 d,如 战士想在最短时间内将人送上岸,则摩托艇登陆的地点离 O 点的距离为( )
A.

d?2

? ??
2 2

2 1

B.0

C.

d?1

?2

D.

d? 2

?1

(2)过河位移最小问题: ① 若 ? 船 ? ? 水 ,则应使船头偏向上游,使得合速度垂直于河岸,位移为河宽, v 偏离上游的角度为 cos? ? 另一个分量使船过河) ②若 v船 ? v水 ,则不论船的航向如何,总是被水冲向下游,怎样才能 使漂下的距离最短呢?如图所示, (用动态圆分析)设船头 v 船与河岸 成 θ 角。合速度 v 与河岸成 α 角。可以看出:α 角越大,船漂下的距 离 x 越短,那么,在什么条件下 α 角最大呢?以 v 水的矢尖为圆心,v


?水 。 (亦可理解为: v船的一个分量抵消水流的冲击, ?船



θ

v

v


B v A α v船

E

θ v水

为半径画圆,当 v 与圆相切时,α 角最大,根据 cos? ?

v船 v水

船头与河

v d 岸的夹角应为 ? ? arccos 船 ,船沿河漂下的最短距离为: xmin ? (v水 ? v船 cos? ) ? 此时渡 v船 sin ? v水
河的最短位移: s ?

dv d ? 水 cos? v船

【题 2】河宽 d=60m,水流速度 v1=6m/s,小船在静水中的速度 v2=3m/s,问: (1)要使它渡河的时间最短,则小船应如何渡河?最短时间是多少? (2)要使它渡河的航程最短,则小船应如何渡河?最短的航程是多少?

3、平抛、类平抛问题 (1)类平抛问题 将运动分解为初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动。 【题1】有三个质量相等,分别带正电、负电和不带电的小球A、B、C,从同一位置以相同 速度v0先后射入竖直方向的匀强电场中,它们落在正极板的位置如图3-3-4所示,则下列说 法中准确的是( )
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A.小球A带正电,小球B不带电,小球c带负电 B.三个小球在电场中的运动时间相等 C.三个小球到达正极板的动能EKA<EKB<EKC D.三个小球到达正极板的动量增量△pA<△pB<△pC 【题2】如图1-4-5所示,光滑斜面长为a,宽为b,倾角为θ ,一物块沿斜面左上方顶点P水 平射入,而从右下方顶点Q离开斜面。则以下说法中正确的是( ) A物块在斜面上做匀变速曲线运动; B物块在斜面上做匀变速直线运动; C物块从顶点P水平射入时速度为 a

2b g sin ?
g sin ? 2b

D.物块从顶点P水平射入时速度为 a

【题 3】将一带电小球在距水平地面 H 高处以一定的初速度水平抛出,从 抛出点到落地点的位移 L=25m。 若在地面上加一个竖直方向的匀强电场, 小球抛出后恰做直线运动。若将电场的场强减为一半,小球落到水平地面 上跟没有电场时的落地点相距 s=8.28m,如图 11 所示,求: (取 g=10m/s2) (1) 小球抛出点距地面的高度 H; (2) 小球抛出时的初速度的大小。

(2)平抛+斜面问题 这类问题的关键是处理斜面的倾角和平抛运动的位移矢量三角形、速度矢量三角形的关 系。结合平抛运动推论 tanθ =2tanφ (其中θ 为 t 时刻速度与水平方向的夹角,φ 为该时刻位 移与水平方向的夹角)即可方便解决问题。 ①平抛点在斜面的顶端(此时斜面的倾角可化入平抛运动的位移矢量三 角形) 【题 1】从倾角为θ 的足够长的斜面顶端 A 点,先后将同一小球以不同 的初速度水平向右抛出,第一次初速度为 v1,球落到斜面上前一瞬间的 速度方向与斜面的夹角为 ? 1 , 第二次初速度 v 2 , 球落在斜面上前一瞬间

?2 的大小。 v 1和 2? 1,试比较 ? 的速度方向与斜面间的夹角为 ? 2 ,若 v
②平抛点在斜面的对面(此时斜面的倾角可化入平抛运动的速度矢量三角形) 【题 2】以初速度 v0 水平抛出一小球,恰好垂直击中倾角为θ 的斜面。试 求:小球从抛出到击中斜面的时间 t。

十二、非匀速圆周运动 竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外),运动 的速度大小和方向在不断发生变化,运动过程复杂,合外力不仅要改变运动方向,还要改 变速度大小,所以一般不研究任意位置的情况,只研究特殊的临界位置──最高点和最低
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点。 1.轻绳类模型。 运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。由于绳子只能提供拉 力而不能提供支持力,质点在最高点所受的合力不能为零,合力的最小值是物体 的重力。所以: (1)质点过最高点的临界条件:质点达最高点时绳子的拉力刚好 为零,质点在最高点的向心力全部由质点的重力来提供,这时有 中的 ,式

是小球通过最高点的最小速度,叫临界速度; (2)质点能通过最高点的条件是 ; (3)当质点的速度小于这一值时,质点运动不到最高点高作抛体运动了。

【题1】如图所示,位于竖直平面内的光滑有轨道,由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道 连接而成,圆形轨道的半径为R。一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑,然 后沿圆形轨道运动。要求物块能通过圆形轨道最高点,且在该最高点与轨道间的压力不能 超过5mg(g为重力加速度) 。求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度 h的取值范围。

2.轻杆类模型。 运动质点在一轻杆的作用下,绕中心点作变速圆周运动,由于轻杆能对质点提供支持力和 拉力,所以质点过最高点时受的合力可以为零,质点在最高点可以处于平衡状态。所以质点过 最高点的最小速度为零, (1)当 重力,即 ; (2)当 时,轻杆对质点有竖直向上的支持力,其大小等于质点的 时, ; (3)当 ,质点的重力不足

以提供向心力,杆对质点有指向圆心的拉力;且拉力随速度的增大而增大; (4)当 时,质点的重力大于其所需的向心力,轻杆对质点的竖直向上的支持 力,支持力随 的增大而减小, 。

【题2】如图所示光滑管形圆轨道半径为 R(管径远小于 R)固定,小球 a、b 大小相同,质量 相同,均为 m,其直径略小于管径,能在管中无摩擦运动.两球先后以相同速度 v 通过轨道最 低点,且当小球 a 在最低点时,小球 b 在最高点,以下说法正确的是( ) A.速度 v 至少为 B.当 v= ,才能使两球在管内做圆周运动

时,小球 b 在轨道最高点对轨道无压力

C.当小球 b 在最高点对轨道无压力时,小球 a 比小球 b 所需向心力大5mg D.只要 v≥ ,小球 a 对轨道最低点压力比小球 b 对轨道最高点压力都大6mg

【补充】竖直平面内的圆周运动一般可以划分为这两类,竖直(光滑)圆弧内侧的圆周运动, 水流星的运动,过山车运动等,可化为竖直平面内轻绳类圆周运动;汽车过凸形拱桥,小球在
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竖直平面内的(光滑)圆环内运动,小球套在竖直圆环上的运动等,可化为轻竖直平面内轻杆 类圆周运动。

十三、天体运动问题 天体问题可归纳为以下三种模型: 1、重力与万有引力关系模型 (1)考虑地球(或某星球)自转影响,地表或地表附近的随地球转的物体所受重力实质是万 有引力的一个分力。由于地球的自转,因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力,向心力 必来源于地球对物体的万有引力,重力实际上是万有引力的一个分力,由于纬度的变化,物体 作圆周运动的向心力也不断变化,因而地球表面的物体重力将随纬度的变化而变化,即重力加 速度的值 g 随纬度变化而变化;从赤道到两极逐渐增大.在赤道上 , 。 ,在两极处

【题1】如图1所示,P、Q为质量均为 m 的两个质点,分别置于地球表面不同纬 度上, 如果把地球看成是一个均匀球体, P、 Q两质点随地球自转做匀速圆周运动, 则以下说法中正确的是: ( ) A.P、Q 做圆周运动的向心力大小相等 B.P、Q 受地球重力相等 C.P、Q 做圆周运动的角速度大小相等 D.P、Q 做圆周运动的周期相等 (2)忽略地球(星球)自转影响,则地球(星球)表面或地球(星球)上方高空物体所受的 重力就是地球(星球)对物体的万有引力。特别的,在星球表面附近对任意质量为 m 的物体有: Mm mg ? G 2 ? gR 2 ? GM 这就是黄金代换公式,此式虽然是在星球表面附近推得的,但在星球 R 非表面附近的问题中,亦可用。 【题2】荡秋千是大家喜爱的一项体育活动.随着科技的迅速发展,将来的某一天,同学们也 许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。你当时所在星球的半径为 R,可将人视为质点,秋千质 量不计、摆长不变、摆角小于90°,万有引力常量为 G。 (1)若经过最低位置的速度为 v0,能上升的最大高度是 h,则该星球表面附近的重力加速度 g 等于多少? (2)该星球的质量是 M

2、卫星(行星)模型 卫星(行星)模型的特征是卫星(行星)绕中心天体做匀速圆周运动,如图2所示。 (1)卫星(行星)的动力学特征:中心天体对卫星(行星)的万有引力提供 卫星(行星)做匀速圆周运动的向心力,即有: 。 (2)卫星(行星)轨道特征:由于卫星(行星)正常运行时只受中心天体的万有引力作用, 所以卫星(行星)平面必定经过中心天体中心。
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(3)卫星(行星)模型题型设计: 1)讨论卫星(行星)的向心加速度 、绕行速度 、角速度 、周期 与半径 的关系问题。





,故 越大,

越小。





,故 越大, 越小。





,故 越大,

越小。



,故 越大, 越长。

【题3】我国发射的探月卫星“嫦娥1号”轨道是圆形的,且贴近月球表面.已知月球的质量约 为地球质量的 ,月球的半径约为地球半径的 ,地球上的第一宇宙速度约为7.9km/s,则该 D.36km/s )

探月卫星绕月运行的速率约为( ) A.0.4km/s B.1.8km/s 2)求中心天体的质量 或密度

C.11km/s

(设中心天体的半径

①若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的周期 与半径

根据



,则

②若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度 与半径





,则

③若已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的线速度 与周期







,则

④若已知中心天体表面的重力加速度 及中心天体的球半径





,则

【例4】一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行,认为行星是密度均匀的球体,要确
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定该行星的密度,只需要测量( ) A.飞船的轨道半径 B.飞船的运行速度

C.飞船的运行周期

D.行星的质量

3)卫星的变轨问题 卫星绕中心天体稳定运动时万有引力提供了卫星做匀速圆周运动的向心力,有 .当卫星由于某种原因速度 突然增大时, ,卫星将做离心运动;

当 突然减小时,

,卫星做向心运动。

【例5】 “神舟六号”飞行到第5圈时,在地面指挥控制中心的控制下, 由近地点250km 圆形轨道1经椭圆轨道2转变到远地点350km 的圆轨道3。设轨 道2与1相切于 Q 点,与轨道3相切于 P 点,如图3所示,则飞船分别在1、2、 轨道上运行时( ) A.飞船在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B.飞船在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 C.飞船在轨道1上经过 Q 点时的加速度大于在轨道2上经过 Q 点的加速度 D.飞船在轨道2上经过 P 点时的加速度等于在轨道3上经过 P 点的加速度 4)地球同步卫星问题 地球同步卫星是指相对地面静止的、运行周期与地球的自转周期相等的卫星,这种卫星 一般用于通讯,又叫做同步通信卫星,其特点可概括为“五个一定”即位置一定(必须位于地 球赤道的上空) ;周期一定( 运行方向一定(自西向东运行) 。 【例6】在地球上空有许多同步卫星,下面说法中正确的是( A.它们的质量可能不同 B.它们的速度可能不同 C.它们的角速度可能不同 D.它们离地心的距离可能不同 5)卫星的追及与相遇问题 天体运动中也有追及相遇问题,它与地面上的追及相遇问题在思维有上相似之处,即也 是找出一些物理量的关系,但它也不同之处,有其自身特点。根据万有引力提供向心力,即 ) ) ;高度一定( ) ;速率一定( ) ;

,所以当天体速度增加或减少时,对应的圆周轨道会发生相应的变 化,所以天体不可能能在同一轨道上追及或相遇。分析天体运动的追及相遇重点是角度、角速 度和时间等关系的判断。实际常见的是两类问题:①相距最近,条件: ?1t ? ?2t ? k ? 2? ,②相 距最远,条件: ?1t ? ?2t ? (2k ?1)? ,两式中 k ? N ? 。 【题7】如图1所示,有 A、B 两颗行星绕同一颗恒星 M 做圆周运动,旋转方 向相同,A 行星的周期为 T1,B 行星的周期为 T2,在某一时刻两行星相距最 近,则①经过多长时间,两行星再次相距最近?②经过多长时间,两行星第 一次相距最远?

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6)卫星的发射能量问题 发射卫星过程中,火箭带着卫星克服地球引力做功,将消耗大量能量,所以发射轨道越高 的卫星,耗能越多,难度越大。同步卫星必须自西向东运行,才可以与地球保持相对静止,故 发射阶段,火箭在合适之时应尽量靠近赤道且自西向东输送,以便利用地球自转动能,节省火 箭能量。 【例8】 我中已经拥有甘肃酒泉、山西太原和四川西昌三个卫星发射中心,又计划在海南建 设一个航天发射场, 预计2010年前投入使用. 关于我国在2010年用运载火箭发射一颗同步卫星, 下列说法正确的是( ) A.在海南发射同步卫星可以充分利用地球自转的能量,从而节省能源 B.在酒泉发射同步卫星可以充分利用地球自转的能量,从而节省能源 C.海南和太原相比,在海南的重力加速度略微小一点,同样的运载火箭在海南可以发射质 量更大的同步卫星 D.海南和太原相比,在太原的重力加速度略微小一点,同样的运载火箭在太原可以发射质 量更大的同步卫星 3、双星模型 宇宙中往往会有相距较近,质量可以相比的两颗星球,它们离其它星 球都较远,因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下, 它们将各自围绕它们连线上的某一固定点 O 做同周期的匀速圆周运动。如 图6所示,这种结构叫做双星.双星问题具有以下两个特点: ⑴由于双星和该固定点 O 总保持三点共线,所以在相同时间内转过的角度 必相等,即双星做匀速圆周运动的角速度必相等,因此周期也必然相同。 ⑵由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的,因此大小必然相等,由

可得

,可得



,即固定点 O 离质量大的星较近。

列式时须注意:万有引力定律表达式中的 r 表示双星间的距离,按题意应该是 L,而向心 力表达式中的 r 表示它们各自做圆周运动的半径,在本题中为 r1、r2,千万不可混淆。 【题9】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体,探寻黑洞的方案之一是观测双星 系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时,发现了 LMCX-3双星系统,它由可见 星 A 和不可见的暗星 B 构成。两星视为质点,不考虑其它天体的影响,A、B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运动,它们之间的距离保持不变,如图7所示。引力常量为 G,由观测能够得到 可见星 A 的速率 v 和运行周期 T。 (1)可见星 A 所受暗星 B 的引力 FA 可等效为位于 O 点处质量为 m’的星体(视为质点)对它 的引力,设 A 和 B 的质量分别为 m1、m2,试求 m’ (用 m1、m2表示) ; (2)求暗星 B 的质量 m2与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 和质量 m1之间的关系式; (3)恒星演化到末期,如果其质量大于太阳质量 ms 的2倍,它将有可能成 为黑洞。若可见星 A 的速率 v=2.7×105m/s,运行周期 T=4.7π ×104s, 质量 m1=6ms,试通过估算来判断暗星 B 有可能是黑洞吗?(G=6.67×10 -11N·m2/kg2,ms=2.0×1030kg)

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十四、机车启动问题 解题方法与技巧: (1)汽车以恒定功率起动时,它的牵引力 F 将随速度 v 的变化而变化,其加速度 a 也随之变 化,具体变化过程可采用如下示意图表示:
P F? f ?? a ? ?? 当a ? 0时 v m 即F ? f时v达到最大vm ? 保持vm 匀速运动 v ?? F ?

由此可得汽车速度达到最大时,a=0,

F ? f ? km g? P =12 m/s ? ? vm ? P ? F ? vm ? km g
(2)要维持汽车加速度不变,就要维持其牵引力不变,汽车功率将随 v 增大而增大,当 P 达 到额定功率 P 额后,不能再增加,即汽车就不可能再保持匀加速运动了.具体变化过程可用如下 示意图表示:
F? f m 即F一定 a定 ?
? v? F ??f a? ? m F? P额
p ?? F定 v ? 即P随v增大而增大

当P ? P额时,a定 ?

?0 m 所以v还要增大,但是P已经不能变大,保持P额

F定 ? f

当a ? 0时,v达到最大v m 此后保持匀速运动

所以,汽车达到最大速度之前已经历了两个过程:匀加 速(0——t1 时刻)和变加速(t1——t2),匀加速过程能维持 到汽车功率增加到 P 额的时刻。 【题 1】 汽车发动机的额定牵引功率为 60kW,汽车的质量为 5t,汽车在水平路面上行驶时, 阻力是车重的 0.1 倍,试求: (1)若汽车保持额定功率从静止起动后能达到的最大速度是多少? (2)若汽车从静止开始,保持以 的加速度作匀加速运动,这段过程能维持多长时间? 速度行驶,实际功率多大?此时汽车的加速

(3)如果阻力不变,汽车在水平路面上用 度又是多大?

【题 2】电动机通过一绳子吊起质量为 8 kg 的物体,绳的拉力不能超过 120 N,电动机的功率 不能超过 1200 W, 要将此物体由静止起用最快的方式吊高 90 m (已知此物体在被吊高接近 90 m 时,已开始以最大速度匀速上升)所需时间为多少?

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