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极坐标与参数方程总结与习题


丛文龙

极坐标教案
3.2 极坐标系 1、定义:在平面内取一个定点 O,叫做极点,引一条射线 Ox,叫做极轴,再选一个长度单位 和角度的正方向(通常取逆时针方向) 。对于平面内的任意一点 M,用ρ 表示线段 OM 的长度,θ 表 示从 Ox 到 OM 的角,ρ 叫做点 M 的极径,θ 叫做点 M 的极角,有序数对(ρ , θ )就叫做点 M 的极坐 标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。

M

?
?

O

图1

x

2、极坐标有四个要素:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位及它的方向.极坐标与直

? 对应惟一点 P( ? , 角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点, 在极坐标系下, 一对有序实数 ? 、

? ),但平面内任一个点 P 的极坐标不惟一.一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律可循的,
P( ? , ? )(极点除外)的全部坐标为( ? , ? + 2k? )或( ? ? , ? + (2k ? 1)? ) ,( k ? Z).极点的极径 为 0,而极角任意取.若对 ? 、? 的取值范围加以限制.则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了, 如限定 ? >0,0≤ ? < 2? 或 ? <0, ? ? < ? ≤ ? 等. 极坐标与直角坐标的不同是,直角坐标系中,点与坐标是一一对应的,而极坐标系中,点与坐 标是一多对应的.即一个点的极坐标是不惟一的. 3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为: a a ⑴? ? ? 0 ⑵? ? ⑶? ? ? cos ? cos ? ⑷? ?
a sin ?

⑸? ??

a sin ?

⑹? ?

a cos(? ? ? )

1

丛文龙

M(? , ?
?



M

?
?

M

?
?

0

O

x

O

a

图1
? ? ?
0

a O

图2
? ?
a cos ?

图3
? ? ?
a cos ?
M(? , ?


M

?

a
?

?
O
M

?

O

a

a
O

N (a,? ) p

图4

图5
? ??

a ?? sin ?

a sin?

图6
??
a cos( ? ? ?)

4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为 (a ? 0) : ⑴? ? a ⑷ ? ? 2a sin ? ⑵ ? ? 2a cos? ⑸ ? ? ?2a sin ? ⑶ ? ? ?2a cos? ⑹ ? ? 2a cos(? ? ? )
M

a ?
?

M
?

?
x

M x

?
?

a

O

x

O

O

a

图1
? ? a
M a
?

图2
? ? 2 a cos ?
?

图3
? ? ?2a cos?

O

x

M

?

?
M
x

a

?
a
?

(a,? )

O

图4
? ? 2a sin ?

图5
? ? ?2asin?
2

O

x

图6
? ? 2a cos(? ? ? )

丛文龙 5、极坐标与直角坐标互化公式:
y

?
N x

( ,

)

?
?

M y H

? ? ? ? ? ? ?

x ? ? cos?

O

y ? ? sin?

? ? ? ? ? ? ?

x2 ? y2 ? ?2
y tan? ? ( x ? 0) x

1.直线的极坐标方程 若直线 l 经过点 M(ρ0, θ0), 且极轴到此直线的角为 α , 求直线 l 的极坐标方程。 设直线 l 上任意一点的坐标为 P(ρ,θ),由正弦定理,得: OP OM = sin∠OMP sin∠OPM 整理得直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ ?α) =ρ0 sin(θ0 ?α)。 一些特殊位置的直线方程如下: 经过极点 θ=α
l

(直极互化 图)
l P(ρ,θ) ρ ρ0 θ0 O θ

M(ρ0,θ0) α x

经过定点 M(a,0),且与 极轴垂直 ρcosθ = a
l

? 经过定点 M(b,2 ),且与 极轴平行 ρsinθ = b
M(b,2)
?

l x

α O(M)

a x O M x O

a

2.圆的极坐标方程 若圆的圆心为 M(ρ0,θ0),半径为 r,求圆的极坐标方程。 设 P(ρ,θ)为圆上任意一点,由余弦定理,得 PM2 = OM2 +OP2 ?2OM· OPcos∠POM,
O ρ θ0 P M ρ0 θ x

则圆的极坐标方程是
2 ρ2 ?2ρ0ρcos(θ ?θ0) +ρ2 0 ?r = 0

3

丛文龙 一些特殊位置的圆的方程如下(设圆的半径为 r): 圆心在极点 圆心在极点右 侧 ρ = 2rcos θ 圆心在极点上 方 ρ = 2rsin θ 圆心在极点左 侧 ρ = ?2rcos θ 圆心在极点下 方 ρ = ?2rsin θ
O O x O x O x O x x

ρ=r

(一)曲线的参数方程的定义: 在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 x、y 都是某个变数 t 的函数,即

? x ? f (t ) ? ? y ? f (t )

并且对于 t 每一个允许值,由方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,那么方程组就叫 做这条曲线的参数方程,联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数. (二)常见曲线的参数方程如下: 1.过定点(x0,y0) ,倾角为α 的直线:

x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ?

(t 为参数)

其中参数 t 是以定点 P(x0,y0)为起点,对应于 t 点 M(x,y)为终点的有向线段 PM 的数量, 又称为点 P 与点 M 间的有向距离. 根据 t 的几何意义,有以下结论. 1 .设 A 、 B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为 tA 和 tB ,则 AB = t B ?t A = ○
(t B ? t A ) 2 ? 4t A ? t B .

2 .线段 AB 的中点所对应的参数值等于 ○ 2.中心在(x0,y0) ,半径等于 r 的圆:

t A ? tB . 2

x ? x0 ? r cos? y ? y0 ? r sin ?

( ? 为参数)

3.中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的椭圆:
x ? a cos? y ? b sin ?

( ? 为参数)

(或
4

x ? b cos? ) y ? a sin ?

丛文龙
? x ? x0 ? a cos ? , (?为参数) 中心在点(x0,y0)焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程 ? ? y ? y 0 ? b sin ? .

4.中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的双曲线:
x ? a sec? y ? btg?

( ? 为参数)

(或

x ? btg? y ? asec?



5.顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上的抛物线:

x ? 2 pt 2 y ? 2 pt
直线的参数方程和参数的几何意义

(t 为参数,p>0)

过定点 P(x0,y0) ,倾斜角为 ? 的直线的参数方程是 【乘积用的】

? x ? x 0 ? t cos? ? y ? y ? t sin ? 0 ?

(t 为参数) .

极坐标的点与直角坐标系的点的互化:

?? ? 1.已知 M ? ? 5, ? ,下列所给出的不能表示点的坐标的是( 3? ?
?? ? A. ? 5,? ? 3? ?
? 4? ? B. ? 5, ? ? 3 ? 2? ? ? C. ? 5,? ? 3 ? ?

)A

5? ? ? D. ? ? 5,? ? 3 ? ?

?? ? 2.下列各点中与极坐标 ? ? 2, ? 不表示同一个点的极坐标是( 6? ?
? 7? ? A. ? 2, ? ? 6 ? 7? ? ? B. ? 2,? ? 6 ? ? 11? ? ? C. ? ? 2,? ? 6 ? ?



B

13? ? ? D. ? ? 2, ? 6 ? ?

3.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是(
? ?? A. ? 2, ? ? 3? ? 4? ? B. ? 2, ? ? 3 ?

?

?

)C
4? ? ? D. ? 2,? ? 3 ? ?

?? ? C. ? 2,? ? 3? ?

? 2? 的极坐标为 1.点 ?2,

? 。 ( 2 2 ,? ) 4

?? ?? ? 2.若 A ? (其中 O 是极点)[5,6;] ? ? ,则|AB|=_________, S ?AOB ? __________。 ? 3, ? ,B ? 4, ? ? 3 6? ?

5

丛文龙 5.将直角坐标P ? 1,? 3 化为极坐标 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? )

?

?

。 (2,

? 11 7 ),B(-8, ? ),C(3, ? ),则Δ ABC 形状为 2 6 6 ? (2,? ) 17.点 P 1,? 3 ,则它的极坐标是 3
16.已知三点 A(5,

4? ) 3

. 锐角三角形

?

?

极坐标方程的轨迹
1 ?B, 以 B 点为极点,BC 为极轴,求顶点 A 的轨迹方程。 2 ? 3? AB BC ? 1、 ? sin ? 10 sin (提示:用正弦定理解△ABC, ) 2 2 sin ?ACB sin ?A

1. ?ABC 的底边 BC ? 10, ?A ?

? ?? 2.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C ? 3, ? ,半径 =1,Q 点在圆 C 上运动。 ? 6?

(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若 P 在直线 OQ 上运动,且 OQ∶QP=2∶3,求动点 P 的轨迹方程。 ? ? 2、 (1) ? 2 ? 6 ? cos(? ? ) ? 8 ? 0 ; (2) ? 2 ? 15 ? cos( ? ? ) ? 50 ? 0 6 6 2 (提示:设 P ( ? ,? ) ,Q( ? 0 ,? 0 ) ,依题意得: ? 0 ? ? ,? 0 ? ? ,代入可得。 ) 5 17.在平面直角坐标系中已知点 A(3,0) ,P 是圆 x 2 ? y 2 ? 1 上一个运点,且 ?AOP 的平分线交 PA 于 Q 点,求 Q 点的轨迹的极坐标方程。 P
Q O A

解:以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 Q?? ,? ? , P?1,2? ?

? S ?OQA ? S ?OQP ? S ?OAP
1 1 1 ? ? 3? sin ? ? ? sin ? ? ? 3 ? 1 ? sin 2? 2 2 2 3 ? ? cos ? 2

6

丛文龙 题型: 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 互化条件:极点与原点重合,极轴与 x 轴正半轴重合,长度单位相同. ?? 2 ? x 2 ? y 2 ? x ? ? cos? ? 互化公式: ? 或 ? y ? y ? ? sin ? ?tan? ? ( x ? 0) x ? θ 的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例 1(2007 海南宁夏)⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4 cos? , ? ? ?4 sin ? . (I)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (II)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程. 例 3(1998 年上海)以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点 ? 3? 的极坐标分别是(1, ),(1, ),长轴长是 4,则此椭圆的直角坐标方程是_______________. 2 2 解:由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b2=a2-c2=3, x2 y2 ? 故所求椭圆的直角坐标方程为 =1 3 4 5.
? ?x ? t 与参数方程为 ? (t为参数) 等价的普通方程为( y ? 2 1 ? t ? ?



A. C.
x2 ?

x2 ?

y2 ?1 4

B.

x2 ?

y2 ?1 ( 0 ? x ?1 ) 4

y2 y2 ?1 ( 0 ?y ? 2 ) D. x2 ? ?1 ( 0 ? x ? 1 ,?0y ? 2) 4 4 二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型 ? 例 4(1990 年全国)极坐标方程 4 ? sin2 =5 所表示的曲线是 2 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线 解:由已知极坐标方程及三角公式得:2 ? (1-cos ? )=5,

∴2 ? =2 ? cos ? +5,由互化公式得 2 x 2 ? y 2 =2x+5,平方整理得 5 y2=5(x+ ),方程表示的曲线是抛物线,故选 D. 4 评述:对于给出的极坐标方程相对于极坐标系而言不是标准的,一般将其等价转 化为直角坐标方程来判断其曲线类型. 类题:1(1991 年三南)极坐标方程 4sin2 ? =3 表示的曲线是 (A)二条射线 (B)二条相交直线 (C) 圆 (D) 抛物线 (答案:B) 2(1987 年全国)极坐标方程 ? =sin ? +2cos ? 所表示的曲线是 (A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线 (答案:B) 2 3(2001 年广东、河南)极坐标方程 ? cos2 ? =1 所表示的曲线是 (A)两条相交直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线 (答案:D) 4(2003 北京)极坐标方程 ? 2 cos2? ? 2? cos? ? 1表示的曲线是 (A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线
7

(D)双曲线

(答案:D)

丛文龙

? - ? )所表示的曲线是 4 (A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆 ? ? 解:曲线 ? =cos( - ? )=cos( ? - )是把圆 ? =cos ? 绕极点按逆时针方向旋 4 4 ? 转 而得,曲线的形状仍然是一个圆,故选 D 4 评述 : 把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程较为麻烦 , 利用旋转不变性则更容易得出答案 . 方程 |a| |a| ? cos( ? - ? 0)=0 表示一条直线,方程 ? =acos( ? - ? 0)表示半径为 , 圆心为( , ? 0)的圆,要注意两 2 2 者的区别.
例 5(1994 年全国)极坐标方程 ? =cos(

1 ? ?x ? t ? 2. 参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
C. 一条射线 ? 例 6(2001 年全国)极坐标方程 ? =2sin( ? + )的图形是 4 x
0 1 1 0 x 1

) D. 两条射线

A.

一条直线

B.

两条直线

0

x

1

x 0

(B) (C) (D) ? ? ? 解:圆 ? =2sin( ? + )是把圆 ? =2sin ? 绕极点按顺时针方向旋转 而得,圆心的极坐标为(1, ),故选 4 4 4 C. 1 类题:1(2002 江苏)极坐标方程 ? ? cos? 与 ? cos? = 的图形是 2

(A)

0

x
1 2

0

x
1 2

x 0
1 2

x 0
1 2

(A)

(B)

(C)

(D)

( 答案:B)

2(2004 北京春)在极坐标系中,圆心在( 2 , ? ) 且过极点的圆的方程为 (A) ? ? 2 2 cos? (B) ? ? ?2 2 cos? (C) ? ? 2 2 sin ? (D) ? ? ?2 2 sin ? (答案:B)

8

丛文龙 谜底
? ? a (1 ? sin ?)

三、判断曲线位置关系 例 7(2000 年京皖春)直线 ? = ? 和直线 ? sin( ? - ? )=1 的位置关系 (A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合 解:直线 ? sin( ? - ? )=1 是把直线 ? sin ? =1 绕极点按逆时针方向旋转 ? 角 而得, 从 而两直线平行,故选 B. 评注:对直线 ? sin( ? - ? )=1 与直线 ? sin ? =1 的关系要十分熟悉. 四、根据条件求直线和圆的极坐标方程 例 8(2002 北京春)在极坐标系中,如果一个圆的方程是?=4cos?+6sin?,那么过圆心且与极轴平 行的直线方程是 (A) ?sin?=3 (B) ?sin? = –3 (C) ?cos? =2 (D) ?cos? = –2 解:将圆的极坐标方程化为直角坐标方程得:x2+y2=4x+6y,即(x-2)2+(y-3)2=13. 圆心为(2,3),所求直线方程为 y=3,即?sin?=3,故选 A. 评述:注意直线的直角坐标方程极易求出. 类题:1(1992 年上海)在极坐标方程中,与圆 ? =4sin ? 相切的一条直线的方程是 (A) ? sin ? =2 (B) ? cos ? =2 (C) ? cos ? = 4 (D) ? cos ? =- 4(答案:B) ? 2(1993 年上海)在极坐标方程中,过点 M(2, )且平行于极轴的直线的极坐标方程是_______. 2 (答案: ? sin ? =2) 3(1994 年上海)已知点 P 的极坐标为(1, ? ),那么过点 P 且垂直于极轴的 直线的极坐标方程为 1 1 (A) ? =1 (B) ? =cos ? (C) ? = ? (D) ? = (答案:C) cos ? cos ? 4(2000 年全国)以极坐标系中点(1,1)为圆心,1 为半径的圆的方程是 ? ? (A) ? =2cos( ? - ) (B) ? =2sin( ? - ) (C) ? =2cos( ? -1) (D) ? =2sin( ? -1) (答案:C) 4 4 五、求曲线中点的极坐标 ? 例 9(2003 上海)在极坐标系中,定点 A(1, ),点 B 在直线 ? cos? ? ? sin ? ? 0 上运动,当线段 AB 2 最短时,点 B 的极坐标是_________. 1 1 解:在直角坐标系中,A 点坐标为(0,1),B 在直线 x+y=0 上, AB 最短,则 B 为 (? , ) ,化为极坐标 2 2 为(
2 3? , ). 2 4
9

丛文龙 例 10(1999 年上海)极坐标方程 5 ? cos2 ? + ? -24=0 所表示的曲线焦点的极坐标为__________.
2 2

解:由 5 ? 2cos2 ? + ? 2-24=0 得 5 ? 2(cos2 ? -sin2 ? )+ ? 2-24=0 化为直角坐标方程得

该双曲线的焦点的直角坐标为 ( 10 ,0) 与 (- 10 ,0), 故所求 ( 10 , ? ). 评述:本题考查圆锥曲线极坐标方程的基础知识,掌握点的直角坐标与极坐标 的对应关系极为有用. 例 11(2001 年京皖蒙春)极坐标系中,圆 ? =4cos ? +3sin ? 的圆心的坐标是 5 3 4 3 5 4 (A) ( ,arcsin ) (B)(5,arcsin ) (C)(5,arcsin ) (D)( ,arcsin ) 2 5 5 5 2 5 4 3 3 解:由 ? = 4cos ? +3sin ? =5( cos ? + sin ? )=5cos( ? -φ )(其中 sinφ = ) 5 5 5 5 3 所以所求圆心坐标为( ,arcsin ),故选 A. 2 5 ? 类题:(2002 上海)若 A、B 两点的极坐标为 A(4, ),B(6,0),则 AB 中点的极坐标是_________.(极角 3 3 用反三角函数值表示). 答案.( 19, arctan ) 4

x2 y2 ? ? 1, 4 6 焦点的极坐标为 ( 10 ,0) 、

3.

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点,则 AB 的中点坐标为( ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
A.
( 3? , 3 ) B.



(? 3 , 3 ) C.

( 3? , 3 ) D.


( 3? ,

3)

4.

圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是( A.
(? 5 ? , 4? ) B. 3 (? 5 , ) C. 3

?

( 5 , ) D. 3

?

5? (? 5 , ) 3

六、求距离 例 12(2007 广东文 )在极坐标系中,直线 ? 的方程为 ρsinθ=3,则点 (2,

? )到直线 ? 的距离为 6

___________. 解: 将直线 ? 的极坐标方程 ρsinθ=3 化为直角坐标系方程得:y=3, ? ? 点(2, )在直角坐标系中为( 3 ,1),故点(2, ) 到直线 ? 的距离为 2. 6 6 评注:本题主要考查极坐标系与直角坐标系之间的互化. 例 13(1992 年全国、1996 年上海)极坐标方程分别是 ? =cos ? 和 ? =sin ? 的两个圆的圆心距是 (A) 2 (B)

2

(C)

1

(D)

2 2

1 1 ? 2 解法一:两圆的圆心坐标分别为( ,0)与( , ),由此求得圆心距为 ,选 D. 2 2 2 2 1 1 1 1 解法二:将极坐标方程化成直角坐标方程得(x- )2+y2= 与 x2+(y- )2= , 2 4 2 4
10

丛文龙
2 ,选 D. 2 评述:本题考查对极坐标的理解,理解深刻者可在极坐标系上画出简图直接求解, 一般理解者,化极坐标方程为直角坐标方程也能顺利得到正确答案. ? 2 例 14(1997 年全国)已知直线的极坐标方程为 ? sin( ? + )= ,则极点到该直线的距离是_______. 4 2 2 解法一:化直线方程为 ? = ,根据极坐标的概念极点到该直线 ? 2 sin(? ? ) 4 ? 2 的距离等于这个函数ρ 的最小值,当 sin( ? + )=1 时, ? 取最小值 即为所求. 4 2 解法二:对极坐标欠熟悉时,可把直线的极坐标方程化为直角坐标方程 x+y=1, 2 应用点到直线的距离公式得原点到此直线的距离为 . 2 类题:1(2000 年上海)在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ? = 4cos ? 于 A、 B 两点,

由此求得圆心距为

则|AB|=______. 2(2004 上海)在极坐标系中,点 M(4,

(答案:2 3 )

? 2 15 )到直线 ? : ? (2 cos? ? sin ? ) ? 4 的距离 d=____ (答案: ) 3 5
4 2 ,则点 A
(2, 7? ) 4 到这条直线的距离为 ------------.

22.已知直线的极坐标方程为

? 2 ? sin(? ? ) ?

? 26.极坐标系下,直线 ? cos(? ? ) ? 1 与圆 ? ? 2 的公共点个数是_______. 3
七、判定曲线的对称性 例 15(1999 年全国)在极坐标系中,曲线 ? = 4sin( ? (A) 直线 ? = (C) 点(2,

? 便得到曲线 3 ? ? ? 5? 5? ? = 4sin( ? - )= 4 cos[ ? (? ? )] ? 4 cos( ? ? ) ? 4 cos( ? ? ) , 2 3 6 6 3 5? 5? 知其圆心坐标为(2, ),故圆的对称轴为 ? = ,应选 B. 6 6 评述:方程表示的曲线是圆,为弄清轴对称或中心对称的问题,关键是求出其 圆心的坐标. 2.若 ρ 1 + ρ 2 = 0,θ 1 + θ 2 = π ,则点 M1 (ρ 1,θ 1)与点 M2(ρ 2,θ 2)( ? A.关于极轴对称 B.关于直线θ = 对称 2 C.关于极点对称 D.重合
解:把圆 ? = 4sin ? 绕极点按逆时针方向旋转

? )中心对称 3

? 轴对称 3

(B)直线 ? =

5? 轴对称 6

? )关于 3

(D)极点中心对称

)。A

11

丛文龙 八、求三角形面积 例 16(2006 上海)在极坐标系中,O 是极点, 设点 A(4, 解:如图所示,在△OAB 中,
| OA |? 4, | OB |? 5, ?AOB ? 2? ? ? S ?AOB ?

? 5? ), B(5, ? ), 则△OAB 的面积是 3 6
A x

.

?
3

?

5? 5? ? 6 6

1 OA OB sin ?AOB ? 5 2 评述:本题考查极坐标及三角形面积公式.

O B

九、参数方程化一般方程: 5.
? ?x ? t 与参数方程为 ? (t为参数) 等价的普通方程为( ? ? y ? 2 1? t



A.

x2 ?

y2 ?1 4

B.

x2 ?

y2 ?1 ( 0 ? x ?1 ) 4 2)

C.

y2 x ? ?1 ( 0 ?y ? 2 ) D. 4
2

y2 x ? ?1 ( 0 ? x ? 1 ,?0y ? 4
2

6.

? x ? ?2 ? t 直线 ? (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( y ? 1 ? t ?
A.



98

B.

40

1 4

C.

82

D.

9 3? 4 3

1 ? x( x ? 2) ?x ? 1? ( x ? 1) ____. 1. 曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ? 0) ,则它的普通方程为______ y ? 2 ( x ? 1) 2 ? y ? 1? t ?
4t ? x? ? ? 1? t2 设 y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为_______ ? ________. 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?

5.

? 1? t 2 x? ? ? 1 ? t 2 ( t 为参数)化为普通方程是 13.参数方程 ? ? y ? 2t ? 1? t 2 ?

。x2+y2=1 去掉点(-1,0)

? x ? 3t 2 ? 2 4、曲线的参数方程为 ? (t 是参数),则曲线是( 2 ? y ? t ?1
A、线段 B、双曲线的一支 C、圆
12



D、射线

丛文龙
1 ? ?x ? t ? 9.参数方程 ? t (t 为参数)所表示的图形是 ? ? y ? ?2

. 两条射线;

1 ? x? ? t 11.画出参数方程 ? ( t 为参数)所表示的曲线______椭圆___________ 1 2 ?y ? t ?1 t ?

? x ? 3t 2 ? 2 7.曲线的参数方程为 ? (t 是参数),则曲线是 2 ? y ? t ?1
A、线段 B、双曲线的一支 C、圆 D、射线

D

. 【圆 x2+y2-x-y=0. 】

13

丛文龙 ////////////简单的 1.

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) 参数方程 ? (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )

? x ? 2 ? 2t , 2.已知在直角坐标系 x0y 内,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数).以 Ox 为极轴建立极坐 ? y ? 1 ? 4t ,

? 标系,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 sin(? ? ) . 4 (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系.

? 13C.已知直线 l 的参数方程: ? x ? t ( t 为参数)和圆 C 的极坐标方程 ? ? 2 2 sin(? ? ) . 4 ? ? y ? 1 ? 2t (1)将直线 l 的参数方程化为普通方程,圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)判断直线 l 和圆 C 的位置关系. 13C.选修 4—4 参数方程与极坐标
解: (1)消去参数 t ,得直线 l 的普通方程为 y ? 2 x ? 1 ; ------------------ --- --2 分

? ? ? 2 2 (sin ? ? ) 即 ? ? 2(sin? ? cos? ) ,
4

两边同乘以 ? 得 ? 2 ? 2( ? sin ? ? ? cos? ) , 消去参数 ? ,得⊙ C 的直角坐标方程为:

( x ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? 2 --------------------------------------------------------------6 分
(2)圆心 C 到直线 l 的距离 d ?

| 2 ?1?1| 2 ?1
2 2

?

2 5 ? 2, 5

所以直线 l 和⊙ C 相交.---------------------------------------10 分 8.(2007 海南、宁夏文、理) ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ?,? ? ?4sin ? . (Ⅰ)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标 方程. 3.已知圆 C 的参数方程为 ?
? ? x ? 3 ? 2cos ? ? ? y ? 2sin ?

( ? 为参数) ,若 P 是圆 C 与 y 轴正半轴的交点,以圆心
?

C 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求过点 P 的圆 C 的切线的极坐标方程.

解:由题设知,圆心 C( 3,0), P(0,1) ,??PCO ?

6



设 M ( ? ,? ) 是过 P 点的圆 C 的切线上的任一点,则在 Rt ?PMC 中, 有 ? cos(? ?
5? ) ? 2 ,即为所求切线的极坐标方程. 6

11 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? . 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴,

14

丛文龙
? 2 t ? 1, ?x ? ? 2 建立 平 面 直 角 坐标 系 ,直线 l 的参数方 程是 ? 求直线 l 与曲线 C 相 交所成弦的弦 ? y ? 2 t, ? 2 ?

长. 2 4 ?

1 ? 14 2

解:曲线 C 的极坐标方程 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4x ? 0 ,即 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 .
? 2 t ? 1, ?x ? ? 2 直线 l 的参数方程 ? 化为普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 . ?y ? 2 t ? 2 ?

曲线 C 的圆心(2,0)到直线 l 的距离为

1 2 ? , 2 2
1 ? 14 . 2

所以直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长为 2 4 ?

4 ? x ? 1? t ? ? ? 5 15.求直线 ? ( t为参数 )被曲线 ? ? 2 cos(? ? ) 所截的弦长.【7/5】 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ? 4 ? x ? 1? t ? ? ? 5 将方程 ? , ? ? 2 cos(? ? ) 分别化为普通方程: 4 ? y ? ?1 ? 3 t ? 5 ?
3x ? 4 y ? 1 ? 0 , x2 ? y 2 ? x ? y ? 0, ……………………………………………………………(5 分)
1 1 2 1 1 1 7 圆心C( ,- ),半径为 圆心到直线的距离d= ,弦长=2 r2 ? d 2 ? 2 ? ? . 2 2 2 10 2 100 5

… … (10 分)
1 ? x?t? , ? ? t (t为参数) 相交于 A、B 两点.求线段 10 过点 P(-3,0)且倾斜角为 30°的直线和曲线 ? 1 ?y ? t ? ? t ?

AB 的长. 【 2 17 】 10C.选修 4-4:坐标系与参数方程
15

丛文龙
? 3 x ? ?3 ? s, ? 2 ( s为参数) ,……………………………………………3 分 解:直线的参数方程为 ? ? ?y ? 1 s ? ? 2
1 ? x?t? , ? ? t 曲线 ? (t为参数) 可以化为 x2 ? y 2 ? 4 .……………………………………………5 分 ?y ? t ? 1 ? t ?

将直线的参数方程代入上式,得 s 2 ? 6 3s ? 10 ? 0 . 设 A、B 对应的参数分别为 s1,s2 ,∴ s1 ? s2 ? 6 3,s1s2 ? 10 .…………………………8 分 AB ? s1 ? s2 ? (s1 ? s2 )2 ? 4s1s2 = 2 17 .………………………………………………10 分 说明:掌握直线,圆,圆锥曲线的参数方程及简单的应用. 1 x ? ?1 ? t x ? 2cos ? 2 6. 直线 (t 为参数)与椭圆 ( ? 为参数)相交于 A、B 两点, 3 y ? 3 sin ? y? t 2 求 A、B 间的距离 解:直线的普通方程为 y ? ? 3x ? 3
x2 y 2 ? ?1 4 3 y ? ? 3x ? 3 8 联立方程组 消元得 5 x 2 ? 8 x ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 0 x2 y 2 5 ? ?1 4 3 16 所以 | AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5

椭圆的普通方程为

18.已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ?

12 ,点 F1,F2 为其左,右焦点,直线 l 的参数 3 cos ? ? 4 sin 2 ?
2

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 方程为 ? (t为参数,t ? R) (1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; ?y ? 2 t ? 2 ?
F2 到直线 l 的距离之和. 【 d1 ? d2 ? 2 2. 】 18(23) .解: (Ⅰ) 直线 l 普通方程为 y ? x ? 2 ; 曲线 C 的普通方程为
x2 y 2 ? ?1. 4 3

(2)求点 F1,

………………………………3 分 ……………6 分 …………………7 分

(Ⅱ) ∵ F1 (?1,0) , F2 (1,0) ,
16

丛文龙 ∴点 F1 到直线 l 的距离 d1 ?

?1 ? 0 ? 2 2 1? 0 ? 2 2

?

3 2 , 2 2 , 2

…………………8 分

点 F2 到直线 l 的距离 d2 ? ∴ d1 ? d2 ? 2 2.

?

………………9 分 ……………10 分

///////////////////求最值 8. 已知 A 是曲线 ρ =3cosθ 上任意一点,求点 A 到直线 ρ cosθ =1 距离的最大值和最小值 解:将极坐标方程转化成直角坐标方程: 3 9 ρ =3cosθ 即:x2+y2=3x,(x- )2+y2= 2 4 ρ cosθ =1 即 x=1 直线与圆相交。 所求最大值为 2,最小值为 0 14.在极坐标系中,设圆 ? ? 3 上的点到直线 ? cos ? ? 3 sin ? ? 2 的距离为 d ,求 d 的最大值.【4】

?

?

14C. (坐标系与参数方程选做题) 解:将极坐标方程 ? ? 3 转化为普通方程: x2 ? y 2 ? 9 ………………………………………(2 分)

? cos ? ? 3 sin ? ? 2 可化为
x ? 3 y ? 2 …………………………………………………………(5 分) 在 x ? y 2 ? 9 上任取一点 A ?3cos ? ,3sin ? ? ,则点 A 到直线的距离为
2

?

?

,它的最大值为 4 ……………………(10 分) 2 2 x ? ?2 ? cos? , (θ 为参数,0≤θ <2π )上任意一点, 16.设 P(x,y)是曲线 C: ? ?
? y ? sin?

d?

3cos ? ? 3 3 sin ? ? 2

?

6sin(? ? 300 ) ? 2

(1)将曲线化为普通方程; 16(23) . (1)(x+2)2+y2=1 (2)设 y=kx,则 kx-y=0 1=
| ?2 k | k2 ?1

(2)求

y 的取值范围. x

(5 分) (7 分) (9 分) (10 分)

1 3 3 3 3 y 3 ∴? ? ? 3 x 3

∴k2= ,k= ?

1.已知点 P( x, y) 是圆 x2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, 【?? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ? 1 】 (1)求 2 x ? y 的取值范围; (2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 【负根号 2 减一】 2. 点 P 在椭圆
x2 y 2 ? ? 1 上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离. 16 9
17

丛文龙
x y ? ? 1 上,则点 M 到直线 x ? y ? 4 ? 0 的最大距离为________,此时, 12 4 点 M 的坐标是_____________.
2 2

17.点 M(x,y)在椭圆

x2 1C .在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(x,y) 是椭圆 ? y 2 ? 1 上的一个动点,求 S ? x ? y 的最大 3

值. 【2】 1C.选修 4—4

参数方程与极坐标

? x2 ? x ? 3 cos ? (?为参数) 解: 因椭圆 ? y 2 ? 1的参数方程为 ? 3 ? ? y ? sin ?

故可设动点 P 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ?) ,其中 0 ? ? ? 2? . 因此 S ? x ? y ? 3 cos ? ? sin ? ? 2( 所以,当 ? ?
3 1 ? cos ? ? sin ? ) ? 2sin(? ? ) 2 2 3

?
6

时, S 取最大值 2

3 ? ?x ? ? 5 t ? 2 17 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2 sin? ,设直线 L 的参数方程是 ? . , ( t 为参数) 4 ?y? t 5 ?

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程转化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 L 与 x 轴的交点是 M ,N 曲 线 C 上一动点,求 MN 的最大值. 【 MN ? MC ? r ? 5 ? 1 】 17(23) . (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (1)曲线 C 的极坐标方程可化为:
? 2 ? 2? sin?



x2 ? y2 ? ? 2 ,

x ? ? c o? s,

y ? ?s i ? n.

所以,曲线 C 的直角坐标方程为:

x2 ? y2 ? 2 y ? 0.
4 (2)将直线 L 的参数方程化为直角坐标方程得: y ? ? ( x ? 2) 3



y ? 0 得 x ? 2 即 M 点的坐标为 ( 2,0)

又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为 (0,1) ,半径 r ? 1 , 则 MC ? 5 ∴ MN ? MC ? r ? 5 ? 1
18

丛文龙 例 6. 在圆 x2+2x+y2=0 上求一点,使它到直线 2x+3y-5=0 的距离最大. 例 7. 在椭圆 4x2+9y2=36 上求一点 P,使它到直线 x+2y+18=0 的距离最短(或最长) . ////////////////////难些的 1.

?x ? a ? t 直线 l 的参数方程为 ? (t为参数) ,l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,则点 P1 与 P(a, b) 之间的距 y ? b ? t ?
) A.

离是(

t1

B. 2 t1

C.

2 t1

D.

2 t1 2

? x ? 1 ? 3t 12. 直线 ? (t为参数)上两点 A,B 对应于 t1,t2,求该两点对应的线段长|AB|. ? y ? 2 ? 4t
12⑵.|AB|= (1 ? 3t1 ? 1 ? 3t2 ) 2 ? (2 ? 4t1 ? 2 ? 4t2 ) 2 =5|t1-t2|为所求。…………5 分
3 ? x ? 1? ? 5t ? x ? 1 ? 3t ? ? 5 或? =? ,∴|AB|=5|t1-t2| ? y ? 2 ? 4t ? y ? 2 ? 4 ? 5t ? 5 ? 1 x ? ?1 ? t 2 6. 直线 (t 为参数)与椭圆 3 y? t 2 求 A、B 间的距离 解:直线的普通方程为 y ? ? 3x ? 3

x ? 2cos ? y ? 3 sin ?

( ? 为参数)相交于 A、B 两点,

x2 y 2 ?1 椭圆的普通方程为 ? 4 3 y ? ? 3x ? 3 8 联立方程组 消元得 5 x 2 ? 8 x ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 0 x2 y 2 5 ? ?1 4 3 16 所以 | AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5
? x ? 6t 2 ? 17.直线ι 过点 P(3,-1),它的倾斜角为 ,与抛物线 ? 交于 A、B 两点, 3 ? y ? 6t

则 | PA |·| PB | 的值等于( A.25 C.14

)。B B.22 D.14
6

? 16(12 分)已知直线 l 经过点 P(1,1) , 倾斜角 ?= 。

(1)写出直线 l 的参数方程; (2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交于两点 A、B,求点 P 到 A,B 两点的距离之积(8 分)
19

丛文龙

? 3 x ? 1? t ? ? 2 16. (8 分)解: (1)直线 l 的参数方程为 ? (t是参数) , ?y ? 1? 1 t ? 2 ?
(2)因为 A、B 都在直线 l 上,所以可设它们对应的参数分别为 t1 , t 2 , 则点 A,B 的坐标 分别为
A(1 ? 3 1 3 1 t 2 ,1 ? t 2 ) 。 t1 ,1 ? t1 ) , B(1 ? 2 2 2 2

y
P

以直线 l 的参数方程代入圆的方程 x 2 ? y 2 ? 4 整理得到

t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0


A

C

O

D

B

x

因为 t1 , t 2 是方程①的解,从而 t1t 2 ? ?2. 所以,

| PA | ? | PB |? (

3 2 1 2 3 1 t1 ) ? ( t1 ) ? ( t 2 ) 2 ? ( t 2 ) 2 ?| t1t 2 |? 2 2 2 2 2

x ? ?1 ? 3t 2 2 例 8.已知直线;l: ? ? y ? 2 ? 4t 与双曲线(y-2) -x =1 相交于 A、B 两点,P 点坐标 P(-1,2)。求: ? (1)|PA|.|PB|的值; (2)弦长|AB|; 弦 AB 中点 M 与点 P 的距离。

2.过点 P(

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2

求 PM ? PN 的最小值及相应的 ? 的值。

? 10 ? t cos ? ?x ? 2.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ? 3 ?0 2

3 2 则 PM ? PN ? t1t2 ? 1 ? sin 2 ? ? 3 ? 所以当 sin 2 ? ? 1 时,即 ? ? , PM ? PN 的最小值为 ,此时 ? ? 。 2 4 2

20


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