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(必修4)第三章《三角恒等变换》复习


复习回顾
1、两角和与差的正弦、余弦和正切 、两角和与差的正弦、
cos(α + β ) = cos(α ? β ) =

cos α cos β ? sin α sin β
cos α cos β + sin α sin β

sin(α + β ) =
sin(α ? β ) =

r />sin α cos β + cos α sin β
sin α cos β ? cos α sin β

tan α + tan β tan(α + β ) = 1 ? tan α tan β

tan α ? tan β tan(α ? β ) = 1 + tan α tan β

2、倍 角 公 式 、

sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α

cos 2 α + sin 2 α = 1

= 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2 sin 2 α 2 tan α tan 2α = 1 ? tan 2 α
注:正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别 正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。

1 + cos 2α cos α = 2
2

1 ? cos 2α sin α = 2
2

3、半角公式 、
1 + cos α cos = ± 2 2

α

sin

α
2

=

±

1 ? cos α 2

tan

α
2

=

1 ? cos α ± 1 + cos α

=

sin α 1 ? cos α = 1 + cos α sin α
α
2

注:在半角公式中,根号前的正负号,由角 在半角公式中,根号前的正负号, 的象限确定. 的象限确定

所在

知 识 框 图
Sα ? β
向量的数量 积及其坐标 运算

S 2α
Tα + β Tα ? β

Cα ? β

Sα + β

Cα + β

C2α
Cα S α
2 2

T2α

2

典 例 分 析
1 1 β 为锐角, α 、 为锐角, α = , cos(α + β ) = ? cos 例1、已知,角 、已知, 7 14 求:cos β 注:⑴ 常用角的变换:

解: ∵ α β 为锐角 、 为锐角, ∴ 0<α +β <π
1 1 cos α = , cos(α + β ) = ? < 0, 又∵ 7 14

① α = (α + β ) ? β ② 2α = (α + β ) + (α ? β ) ③ 2α ? β = α + (α ? β ) ④ β=
α +β
2 ?

α ?β
2



4 3 5 3 sin α = , sin(α + β ) = , 7 14

π π ⑤ α + β = (α + ) + ( β ? )
4 4

∴ cos β = cos[(α + β ) ? α ]

⑵ 注意对角范围的要求。

= cos(α + β ) cos α + sin(α + β ) sin α 1 = 2

β 为锐角, α = 1 , cos(α + β ) = ? 1 例1、已知,角 α 、 为锐角,cos 、已知, 7 14 求:cos β

变式:已知: 变式:已知:向量 a = (cos α , sin α ) , = (cos β , sin β ) , b
r r 2 5 a ?b = 5





求:⑴ cos(α ? β ) ⑵0<α < 答案: 答案:⑴
3 5

π
2

,?

π
2

< β < 0, 且 sin β = ?

5 ,求: α sin 13



33 65

sin 20 o 例2、化简:(tan 5 ? cot 5 ) 1 + cos 20 o 、化简:
o o

解:法一:切化弦,减少函数名 法一:切化弦,
sin 原式 = ( cos 5 5
o o

2 cos10o sin 10o =? ? = ?2 o o sin 10 cos10 α sin α 1 ? cos α = ) 法二: 法二:利用半角公式 (tan =
2 1 + cos α sin α
o o o 原式 = (tan5 ? cot5 ) tan10

sin 2 5o ? cos 2 5o 2 sin 10 o cos10o = ? o o sin 5 cos 5 2 cos 2 10

cos ? sin

5 5

o o

sin 20 o ) 1 + cos 20

o

2 tan 5o = (tan 5 ? cot 5 ) 1 ? tan2 5o
o o

2 (tan 2 5 o ? 1) = 1 ? tan 2 5 o

= ?2

法三: 利用结构特点 法三: 原式 = (tan 5o ? 1 o ) tan 10o
tan 5
tan 2 5 o ? 1 = ? tan 10 o tan 5 o
tan 2 5o ? 1 = 2× ? tan 10 o o 2 tan 5

= ?2 cot10o tan10o
= ?2

注:在三角恒等变换中,对于函数名称比较多的情况,一般是 在三角恒等变换中,对于函数名称比较多的情况, 进行弦切的互化,尽量减少函数名称,便于化简. 进行弦切的互化,尽量减少函数名称,便于化简

例3、已知, 、已知, 解:原式=
=

π < α <
(sin 2 cos

3π 2
α
2 )2
2

1+ sinα 1? sinα + 化简: 化简:1+ cosα ? 1? cosα 1+ cosα + 1? cosα
+ (sin 2 cos

α
2
2

+ cos

α
2
2

? cos

α
2

)2
2

α
2

? 2 sin

α
2

α
2

+ 2 sin

α
2

(sin

α
2

+ cos

α
2

)2

2 cos

α
2

? 2 sin

α
2

+

(sin

α
2

? cos

α
2

)2

注:⑴ 根号下含有 三角函数式的开根 号问题,需要升幂; 号问题,需要升幂; ⑵ 本题最关键的 是开出根号后, 是开出根号后, 去绝对值的问题, 去绝对值的问题, 这里需要对角的 范围进行限定. 范围进行限定

2 cos

α
2

+ 2 sin

α
2

又∵

π <α <

3π 2


α α

π
2

<

α
2

<

3π , 4

= ∴ 原式?

(sin + cos )2 2 2

α

2 cos ? 2 sin 2 2

α

+

(sin ? cos )2 2 2

α

α

? 2 cos + 2 sin 2 2

α

α

=?

2 α α 2 α α (sin + cos ) + (sin ?cos ) 2 2 2 2 2 2

= ?

2 cos

α
2

sin( 2 α + β ) sin β ? 2 cos( α + β ) = 例4、求证: sin α 、求证: sin α

证明: 证明:左边

sin(2α + β ) ? 2 cos(α + β ) sin α sin α sin(α + β ) cos α ? cos(α + β ) sin α = sin α =

sin[(α + β ) + α ] ? 2 cos(α + β ) sin α = sin α

sin β = = 右边 sin α

∴sin( 2α + β ) ? 2 cos(α + β ) = sin β
sin α

sin α

注:证明的本质是化异为同,可以说,证明是 证明的本质是化异为同,可以说, 有目标的有目的化简. 有目标的有目的化简

例5、已知函数 、
(1)

π? ? π? ? f ( x ) = (1 + cot x ) sin 2 x + m sin ? x + ? sin ? x ? ? 4? ? 4? ? ? π 3π ? 上的取值范围; 当m=0时,求 f ( x ) 在区间 ? 8 ,4 ? 上的取值范围; 时
? ?

3 f (a) = (2) 当 tan a = 2 时, 的值。 5 ,求 m 的值。

解:⑴ 当m=0时, 时 cos x 1 ? cos 2x + sin 2x 2 2 f ( x) = (1 + )sin x = sin x + sin x cos x = sin x 2
1 π = [ 2 sin(2 x ? ) + 1] 2 4

由已知, 由已知,x ∈ [ ,
8

π 3π
4

]得

2x ?

π
4

∈ [?

sin

2 ,1] 2

从而得: 从而得:f ( x ) 的值域为

[0,

1+ 2

2

]

(2)

f ( x ) = (1 +

cos x π π ) sin 2 x + m sin( x + ) sin( x ? ) sin x 4 4
1 1 [sin 2 x + (1 + m ) co s 2 x ] + 2 2

化简得: f ( x ) = 化简得:

当 tan α = 2 ,得:
2sin a cos a 2tan a 4 sin 2a = 2 = = 2 2 sin a + cos a 1 + tan a 5

3 co s 2 a = 5

代入上式,m=代入上式,m=-2.

方 法 归 类
三角恒等变换实际上是对角、函数名称,以及函数形 三角恒等变换实际上是对角、函数名称, 结构)的变换,这类问题, (结构)的变换,这类问题,无论是求值化简证明以及 复杂的综合问题,一般的考虑方法是: 复杂的综合问题,一般的考虑方法是: ⑴ 找差异:角、名、形的差异; 找差异: 形的差异; 建立关系:角的和差关系、倍半关系等, ⑵ 建立关系:角的和差关系、倍半关系等,名、形 之间可以用哪个公式联系起来; 之间可以用哪个公式联系起来; ⑶ 变公式:在实际变换过程中,往往需要将公式 变公式:在实际变换过程中, 加以变形后,正用或逆用公式. 加以变形后,正用或逆用公式.


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