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高中数学1[1].3.1函数的单调性课件新人教版必修1


函数的基本性质
1.3.1函数的单调性

思考1:观察下列各个函数的图象,并说说它 们分别反映了相应函数的哪些变化规律

注意:函数的单调性是对定义域内某个区间而言的, 是函数的局部性质。

二、新知探究

图像法

如何描述函数图像的“上升”“下降” 呢?

>通俗语言:在区间(0,+∞)上, 随着x的增大,相应的f(x)也随着增大。 数学语言:在区间(0,+∞)上, 任取 x1 , x2 ,得 f ( x1 ) ? x12 , f ( x2 ) ? x2 2 ,

解析法 列表法

当 x1 ? x2 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 )。 这时我们就说函数 f ( x) ? x 在区间(0,+∞)上是增函数
2

x …0 f(x) … 0

1 2 3 4 … 1 4 9 16 …

在区间I内
y

在区间I内

y=f(x)
f(x2)

图 象

f(x1)

·
x1

·
x2 x

y f(x1) f(x2)

y=f(x)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征
数量 特征

在区间I内
y

在区间I内

y=f(x)
f(x2)

图 象

f(x1)

·
x1

·
x2 x

y f(x1) f(x2)

y=f(x)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征
数量 特征

从左至右,图象上升

在区间I内
y

在区间I内

y=f(x)
f(x2)

图 象

f(x1)

·
x1

·
x2 x

y f(x1) f(x2)

y=f(x)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征
数量 特征

从左至右,图象上升
y随x的增大而增大

在区间I内
y

在区间I内

y=f(x)
f(x2)

图 象

f(x1)

·
x1

·
x2 x

y f(x1) f(x2)

y=f(x)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征
数量 特征

从左至右,图象上升
y随x的增大而增大

从左至右,图象下降

在区间I内
y

在区间I内

y=f(x)
f(x2)

图 象

f(x1)

·
x1

·
x2 x

y f(x1) f(x2)

y=f(x)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征
数量 特征

从左至右,图象上升
y随x的增大而增大

从左至右,图象下降
y随x的增大而减小

在区间I内
y

在区间I内

y=f(x)
f(x2)

图 象

f(x1)

·
x1

·
x2 x

y f(x1) f(x2)

y=f(x)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征

从左至右,图象上升

从左至右,图象下降
y随x的增大而减小

y随x的增大而增大 数量 特征 当x1<x2时, f(x1) < f(x2)

在区间I内
y

在区间I内

y=f(x)
f(x2)

图 象

f(x1)

·
x1

·
x2 x

y f(x1) f(x2)

y=f(x)

·
x1

·
x2 x

0

0

图象 特征

从左至右,图象上升

从左至右,图象下降

y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 数量 特征 当x1<x2时, f(x1) < f(x2) 当x1<x2时, f(x1) > f(x2)

由此得出单调增函数和单调减函数的定义. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2) x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I ? A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上

x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I ? A.

如果对于属于定义域A内某个区间I,

? x ,x ? I
1 2

当x1<x2时,都有f(x1 ) < f(x2 ),

当x1<x2时,都有 f (x1 )

? x ,x ? I
1 2

>

f(x 2 ),

那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数,I称为f(x)的单调 增 区间. 减函数,I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间

看下列函数图象,下列各函数有没有单调区间, 若有写出其单调区间.

图1

图2 减区间 ? ??,0?

图3 没有单调区间

没有单调区间

增区间 ? 0, ???

(1)如果函数 y =f(x)在区间D是单调增函数或单 调减函数,那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有 单调性。 区间D叫做y =f(x)的单调区间 在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数 的图象是下降的。

(2)函数单调性是针对某个区间而言的,是一个局部 性质;有些函数在定义域内可能是单调的如 y=x;有些 函数在定义域内的部分区间上是增函数,而在另一部分 区间上是减函数,还有的函数是非单调的,如 y=c,y=2x{x∈N|1≤x≤5} 判断1:函数 f (x)= x2 在 ? ??, ?? ? 是单调增函数;
y ? x2
o x

y

(3) a) x 1, x b)

2

取值的任意性;不能以特素质代替

x1 , x2 必须有大小,一般令 x ? x 1 2

c)同属一个单调区间

判断2:定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1), 则函数 f (x)在R上是增函数;
y
f(2)

f(1)
O 1 2x

例1:下图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x), 根据图像说出函数的单调区间以及每一单调 区间上,它是增函数还是减函数?

解:函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数, 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。

例2. 写出单调区间
(1) y ?

——数形结合的思想

y

1 y? x

1 ( x ? 0); x 1 ? y ? 的单调减区间是 _____________ (??, 0) , (0, ??) x



x 能不能说 y?

1 ( x ? 0)在定义域(??, 0) ? (0, ??)上 x 是单调减函数? 不能

讨论1:

(4)若函数 f(x)在其定义域内的两个区间A,B 上都是增(或减)函数一般不能简单认为f(x)在 A∪B上是增(减)函数
要了解某函数在某一区间上是否具有单调性,从图象上进 行观察是一种常用的方法,但这种方法比较粗略。严格地 说,它还需要进行证明。

y ? kx ? b(k ? 0) 在(-∞,+∞) y ? kx ? b(k ? 0) 在(∞,+∞)是 是减函数 o x o x 增函数
y
y ? 1 x

y

y

y

o

x

在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数

y ? ?

1 x

o

在(-∞,0) 和(0,+∞) x 是增函数
? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ?

b ? y ? ax 2 ? bx ? c ? ? , y ? ? 在 2a ? ? (a ? 0)

y y ? ax 2 ? bx ? c
(a ? 0)

o

x

增函数 ? b ? ? , ?? ? 在 ? 2a ? ? 减函数

o

增函数 b ? ? - ? x 在? - ?, 2a ? ? 减函数

阅读书中例2 例4 证明函数 f ( x) ?

x 在区间[0,+∞)上为增函数。

证明:

x1,x? 2

[0,+∞) ? ,且x1 < x2,

取值
x2

则:

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

x1 ?

作差

?
由0≤

x1 ? x2 x1 ? x2
x1 ? x2 ? 0

变形
定号

x1 < x2 得

x1 ? x2 ? 0

于是 f(x1)-f(x2)<0。 所以函数f ( x) ?

即 f(x1)<f(x2)

x 在区间[0,+∞)上为增函数。下结论

三.判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的 一般步骤:

1 取值: ?x1,x2∈D,且x1<x2;

2 作差:f(x1)-f(x2);
3 变形:通常是因式分解和配方;

4 定号:即判断差f(x1)-f(x2)的正负;
5 下结论:即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性.

f ( x) 是定义在R上的单调函数,且 f ( x) 的图
象过点A(0,2)和B(3,0) (1)解方程 f ( x) ? f (1 ? x) (2)解不等式 f (2 x) ? f (1 ? x) (3)求适合 f ( x) ? 2或f ( x) ? 0 的 x 的 取值范围

返回

成果运用

若二次函数 f ( x) ? ? x2 ? ax ? 4在区间 ? ??,1 上单调递 增,求a的取值范围。

?

变式1
2

若二次函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4 的单调增区间是 ? ??,1 , 则a的取值情况是 ( ) A. a ? ?2 B.

?

a?2

C.

a ? ?2

D. a ? 2

请你说出一个单调减区间是 ? ??, ?1? 的二次函数

变式2

请你说出一个在 ? ??, ?1?上单调递减的函数

变式3

( A) y ? ?2 x ? 1
2 (C ) y ? x

( B) y ? ?3x ? 1
2

( D) y ? 2x2 ? x ?1

? x ?1 x ? 0 ? ?? x ? 1 x ? 0

________

成果运用
若二次函数 f ( x) ? ? x2 ? ax ? 4在区间 ? ??,1 上单调递 增,求a的取值范围。
y y

?

o1

x

o 1

x

a 解:二次函数 f ( x) ? ? x ? ax ? 4 的对称轴为 x ? ? , 2 a 由图象可知只要 x ? ? ? 1 ,即 a ? ?2 即可. 2
2

小结
1.函数单调性的定义中有哪些关键点? 2.判断函数单调性有哪些常用方法? 3.你学会了哪些数学思想方法? 作业
2、证明函数 f(x)=-x2在 ?0, ? ??上是 减函数。 1、教材 p39 1,2,3,4

1 3、证明函数 f(x)= x ? 在 x 单调递增的。(选做)

? 0,1?

上是

4,0,9,32,72,134,()

?

225

数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数无形时少直觉, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔离分家万事休; 切莫忘,几何代数统一体, 永远联系莫分离. ——华罗庚

判断题: 1 (1)已知f(x)= ,因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)是 x 增函数。 (2)若函数f(x)满足f (2)<f(3),则函数f(x)在区间[2,3] 上为增函数。 (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数, 则函数f(x)在(1,3)上为增函数。
1 (4)因为函数f(x)= x 在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上都是减函数,所以f(x)= 1 在(-∞,0)∪(0,+∞) x 上是减函数。

2 ? ?) 例5:证明函数 f ( x) ? x ? 在( 2, 上是增函数。 x

证明:任取 x1, x2 ? 2,?? ,且x1 ? x2
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? 2 2 ) ? ( x2 ? ) x1 x2 2 2 2( x2 ? x1 ) ? (x1 ? x2) ?( ? ) ? (x1 ? x2) ? x1 x2 x1 x2 2 x x ?2 ? (x1 ? x2) (1 ? )? (x1 ? x2) ( 1 2 ) x1 x2 x1 x2

?

?

? 2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 2, ? x1 x2 ? 2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 ? f ( x) ? x ? 在( 2, ? ?)上是增函数 x

例6:证明函数 f ( x) ? x3 ? x 在R上是增函数。 证明:任取 x1 , x2 ? R, 且x1 ? x2
则f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x1 ) ? ( x2 ? x2 ) ? (x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )
3 3

3

3

? (x1 ? x2) ( x1 ? x1x2 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )

2

2

? ( x1 ? x2 )(x1 ? x1x2 ? x2 ? 1)
2 ? 2 x ? 2? 3 2 ? ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x1 x2 ? ? ? ? x2 ? 1? ?2? 4 ? ? ? ?

2

2

x2 2 3 2 ? ? ? ( x1 ? x2 ) ?( x1 ? ) ? x2 ? 1? 2 4 ? ?

? x1 ? x2

? x1 ? x2 ? 0

x2 2 3 2 而(x1 ? ) ? x2 ? 1 ? 0 2 4 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x) ? x 3 ? x在R上是增函数。

例7:证明函数 f ( x) ? x 2 ? 1 ? x 在其定义域内 是减函数。

例7:证明函数 f ( x) ? x 2 ? 1 ? x 在其定义域内 是减函数。

?? ?, 证明: ? f ( x)的定义域为 ? ??
设任意的x1 , x2 f ? (??,??),且x1 ? x2 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? 1 ? x1 ) ? ( x2 ? 1 ? x2 )
? ( x1 ? 1 ? x2 ? 1) ? ( x1 ? x2 ) ? ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) x1 ? 1 ? x2 ? 1
2 2 2 2

2

2

x1 ? x2
2

2

2 2

x1 ? 1 ? x2 ? 1

? ( x1 ? x2 )

? ( x1 ? x2 )
2 2

? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )

( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? 1 ? x2 ? 1) x1 ? 1 ? x2 ? 1 ( x1 ? x1 ? 1) ? ( x2 ? x2 ? 1) x1 ? 1 ? x2 ? 1
2 2 2 2 2 2

? x1 ? x2
? x1 ? x2 ? 0,且 x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? 0 又 ? 对任意x ? R,都有 x 2 ? 1 ? x 2 ? x ? x ? x 2 ? 1 ? x, 即有x ? x 2 ? 1 ? 0 ? x1 ? x1 ? 1 ? 0, x2 ? x2 ? 1 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x) ? x 2 ? 1 ? x在其定义域内是减函数 。
2 2 2 2

思考
例1(1)如果函数f(x)在区间D上是增函数, 函数g(x)在区间D上是增函数。 问:函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数? 是 为什么?
?x1 , x2 ? D, 且x1 ? x2 ? f ( x)在区间D上是增函数,g ( x)在区间D上是增函数 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ), g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? [ f ( x1 ) ? g ( x1 )] ? [ f ( x2 ) ? g ( x2 )]
? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ?[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? [ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? 0,即F ( x1 ) ? F ( x2 )

所以函数F(x)=f(x)+g(x)在D上仍为增函数

(2)如果函数f(x)在区间D上是减函数, 函数g(x)在区间D上是减函数。 问:函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为减函数? 为什么? 是

(3)如果函数f(x)在区间D上是减函数, 函数g(x)在区间D上是增函数。 问:能否确定函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性?

不能

反例:f(x)=x在R上是增函数,g(x)=-x在R上是减函数 此时 F(x)= f(x)+ g(x)=x-x=0为常函数,不具有单调性
同加,单调性不变

f ? x ?是 例2 如果 g ? x ?是[m,n]上的减函数,且a ? g ? x? ? b , ? g ? x ?? ? 在[m,n]上也是减函数。 [a,b]上的增函数,求证 f ?

证:?x1 , x2 ? ? m, n ? , 且x1 ? x2 ,

? g ( x)是 ? m, n ? 上减函数,且a ? g ? x ? ? b ? a ? g ( x2 ) ? g ( x1 ) ? b. 又 ? f ? x ? 是 ? a, b ? 上的增函数,

?f ? ? g ? x2 ? ? ?? f ? ? g ? x1 ?? ?. ?f ? ? g ? x ?? ? 在 ? m, n ? 上是减函数.

复合函数: f ? ? g ? x ?? ?
判断:一个函数的函数值,作为另一个函数的自变量。 定义域: 1、若已知 的定义域为[a,b],则复合函数 f? f ? x? 的定义域由 解出。 ? g ? x ?? ? a ? g的定义域为 ? x? ? b 2、若已知 [a,b],则函数 的定 f ? x? ? g ? x ?? ? 义域即为 f ? 当x ??a, b?时,函数g ? x ?的值域。

复合函数单调性
对于复合函数 y ? f [ g ( x)] 的单调性,必须考虑 y ? f (u)与 u ? g ( x)的单调性,从而得出 y ? f [ g ( x)] 的单调性。
y ? f ( x)
增函数 增函数 减函数 减函数

u ? g ( x)
增函数 减函数 增函数 减函数

y ? f [ g ( x)]
增函数 减函数 减函数 增函数

小结:同增异减。研究函数的单调性,首先考虑函数的定 义域,要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。

注:
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区 间必须是其定义域的子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单 调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的 单调性确定的且规律是“同增, 异减”

例1.设y=f(x)的单增区间是(2,6),求函数y=f(2-x)的 单调区间。
解: ??令t ? x ?=2 ? x, 由已知得,f ? t ? 在t ? ? 2, 6 ? 上是增函数。 而t ? x ? ? ? 2, 6 ? , ? 2 ? x ? ? 2, 6 ? ,?? ? x ? ? ?4, 0 ? . 又 ? t ? x ?=2 ? x在x ? ? ?4, 0 ? 上是单调递减的, ?由复合函数单调性知: f ? 2 ? x ? ? f ? t ? x ? ? 在x ? ? ?4, 0 ? 上是单调递减的。 ? f ? 2 ? x ?的单调减区间是 ? ?4, 0 ?。

例2.求函数y ? ? x ? 4 x ? 3的单调递减区间 .
2

解: ? ? x ? 4 x ? 3 ? 0,即x ? 4 x ? 3 ? 0, ?1,3?. ?1 ? x ? 3,即函数的定义域为
2 2

令u ? ?x2 ? 4x ? 3,故y ? u,
? y ? u是定义域内是的单调递 增函数 .
又u ? ? ? x ? 2 ? ? 1在 ? 2,3? 上是减函数。
2

? y ? ? x 2 ? 4 x ? 3在 ? 2,3? 上是减函数。
故函数y ? ? x 2 ? 4 x ? 3的单调递减区间为? 2,3?。

(问:函数y ? ? x 2 ? 4 x ? 3的单调递增区间是什么 ?)

小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间 是定义域的某个区间。

练习 1:求y ? x ? 4 x ? 5函数的单调区间。
2

解: ? x2 ? 4x ? 5 ? 0

?? ?,?1?? ?5,???。 ?函数的定义域为
令u ? x ? 4x ? 5, 则y ? u ,
2

? y ? u在定义域内是增函数。 2 又u ? ?x ? 2? ? 1在?2,???上是减函数,

在?? ?,2?上是增函数。

?? ?,?1?上是增函数。 ? y ? x 2 ? 4 x ? 5在?5,???上是减函数,在

小结
(1)掌握复合函数单调性的判断方法.

同增异减
(2)求复合函数的单调区间.
注意:求函数的单调区间首先要求函数的定义域.

四、小结

1.概念探究过程:从直观到抽象、从特殊到一般。 2.用定义证明函数的单调性。 3.数学思想方法和思维方法:数形结合

练习 2.求函数y ? 3
2

x 2 ? x?6

的单调递减区间。
2

解:函数f ( x)的定义域是 R。
1 ? 13 ? 令u ? x ? x ? 6 ? ? x ? ? ? , 则y ? 3u 2? 2 ?
u
2

? y ? 3 在定义域内是增函数。
1 ? 13 ? 1? ? ?1 ? 又u ? ? x ? ? ? 在? ? ?, ?上是减函数,在 ,?? ?上是增函数。 ? 2? 2 ? 2? ? ?2 ?

?y ?3

x 2 ? x ?6

1? ? ?1 ? 在? ? ?, ?上是减函数,在 ,?? ?上是增函数。 ? 2? ? ?2 ?

?y ?3

x 2 ? x ?6

1? ? 的单调递减区间为 ? ? ?, ?。 2? ?

?1? 例3.求函数y ? ? ? ? 2? 解: ? ? x2 ? 4x ? 3 ? 0,
2

? x 2 ? 4 x ?3

的单调递减区间。

?1? 令u ? ? x ? 4 x ? 3, 则y ? ? ? , ? 2? u ?1? ? y ? ? ? 在定义域内是减函数。 ? 2? 2 2 又u ? ? x ? 4 x ? 3 ? ? ? x ? 2 ? ? 1在?1, 2? 上是增函数,
在? 2,3? 上是减函数。
?1? ?y ?? ? ? 2?
? x 2 ? 4 x ?3

即函数的定义域为?1,3??
u

即x ? 4 x ? 3 ? 0, ?1 ? x ? 3
2

的单调递减区间为?1, 2?。

小结:考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定 义域,在定义域范围内求函数的单调性。

小结
(一)函数单调性解题应用.

1、已知单调性,求参数范围。(有时候需要讨论)
2、利用函数单调性求函数的值域或最值。 3、利用单调性求解不等式。(重在转化问题)

4、求函数单调区间的题型(包括求复合函数单调区间)
(二)掌握复合函数单调性的判断方法.
同增异减

(三)求复合函数的单调区间. 注意:求函数的单调区间首先要求函数的定义域.


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