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2013全国高中数学联赛河北省预赛(含答案)


2013 年河北省高中数学竞赛试题
一、填空题:共 8 道小题,每小题 8 分,共 64 分.将每小题的答案填在题后的横线上. 1.已知集合 A ? {1, 10,

1 } , B ? {y y ? lg x, x ? A} ,则 A B = 10




2.已知复数 z 满足 z ? z ?

2 ? i ,那么 z =

3.某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖) ,且相应奖项获奖的概率是以 a 为首项、2 为 公比的等比数列,相应的奖金依次是以 700 元为首项、 ?140 元为公差的等差数列,则参加此次大赛获得 奖金的期望是 元. 4. cos 75 ? cos 15 ? cos 75 ? cos15 的值是
2 2



5. 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x ) 满 足 f ( 1 ) , 且 对 任 意 的 x ? R , 都 有 f ?( x) ? ? 2

f (log 2 x) ?

log 2 x ? 3 的解集为 2

1 ,则不等式 2



2 2 6. 圆 O 的方程为 x ? y ? 1 , A(1, 0) ,在圆 O 上取一个动点 B ,设点 P 满足 AP ? ?OB(? ? R) 且

AP ? AB ? 1 .则 P 点的轨迹方程为



7. l1、l2、 、l100 为 100 条共面且不同的直线, 若其中编号为 4k (k ? N * ) 的直线互相平行, 编号为 4k ? 1 的 直线都过定点 A .则这 100 条直线的交点个数最多为 .

8.过正四面体 A 若每相邻两个平面间的 1A 2A 3A 4 的四个顶点分别作四个相互平行的平面 ?1、? 2、?3、? 4 , 距离都为 1,则该四面体的体积为 . 二、解答题:共 6 道小题,共 86 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.(本题满分 14 分)设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 2a cos C ? 2b ? c . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求 b ? c 的取值范围.

?BAC ? 90 ,AB ? a ,AC ? 2 ,AA1 ? 1 . 10. (本题满分 14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 点
D 在棱 B1C1 上,且 B1D : DC1 ? 1: 3 .
(Ⅰ)证明: BD ? AC 1 ; (Ⅱ)当 ? 为何值时,二面角 B ? A 1D ? B 1 的大小为 60 ?

A1 B1
D A

C1

C
B

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河北预赛

11. (本题满分 14 分)已知数列 {an } 满足: a1 ? 2 , a2 ? 3 , 2an?1 ? 3an ? an?1 (n ? 2) , (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ)求使不等式

an ? m 2 ? 成立的所有正整数 m、n 的值. an ?1 ? m 3

12. (本题满分 14 分)在椭圆中定义:过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦,叫做椭圆的通径.如

1 x2 y 2 图,已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F ,通径长为 3. 1 、 F2 ,其离心率为 2 a b
(Ⅰ)求椭圆的方程;

A、B 两点,I1、I 2 分别为 ?F1BF2、?F1 AF2 的内心, (Ⅱ) 过F 延长 BF2 交椭圆于点 M . 1 的直线交椭圆于
y
(ⅰ)求四边形 F 1I 2 F2 I1 与 ?AF2 B 的面积的比值 p ; (ⅱ)在 x 轴上是否存在定点 C ,使 CM ? CB 为常数? 若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,说明理由.

B

F1 I2
A

I o1 F2
M

x

13. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? (a ? )e

1 2

2x

? x(a ? R) .

(Ⅰ)若 f ( x ) 在区间 (??, 0) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若在区间 (0, ??) 上,函数 f ( x ) 的图象恒在曲线 y ? 2ae x 下方,求 a 的取值范围.

14. (本题满分 15 分)设 A ? x ? 2 x ? x ? 5x ? 34 ,求使 A 为完全平方数的整数 x 的值.
4 3 2

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2013 全国高中数学联赛河北区预赛解答
1.﹛1﹜ 提示: B ? {y y ? lg x, x ? A} =﹛y|y=lg 1,y=lg10, y=lg 1/10 ﹜ =﹛0,1,﹣1﹜, 所以 A∩B=﹛1﹜。 2. 3.

3 ÷ i 提示:设 z=x+i﹙x∈R﹚,有 x+i+ 4

x +1 =2+i,则 x+ x +1 =2,解得 x= 4 ,z= 4 +i
p

2

2

3

3

500, 提示: 设获得的奖金为 ε 元, 则 ε=700,560,420, p﹙ε=700﹚=a,, p﹙ε=560﹚=2a,

﹙ε=420﹚=4a,由 7a=1 得,a= 4.

1 1 2 4 ,所以 Eε=700× +560× +420× =500﹙元﹚。 7 7 7 7

4 2 2 提示: cos 75 ? cos 15 ? cos 75 ? cos15 5
=cos? 75° +sin? 75° +sin15° · cos15° =1+

4 1 = 2 sin 30 ° 5

5.

? ? ﹙0,2﹚ 提示:令 g﹙x﹚=2f﹙x﹚-x,由 f ( x ) <1/2 得,2 f ( x ) -1<0,即 g ' ﹙x﹚<0,g(x)在 R 上

log 2 X 为减函数,且 g(1)=2f(1)-1=3,不等式 f(log2X)> 2
化为 2f(log2X)—log2X≥3,即 g(log2X)>g(1),由 g(x)的单调性得:log2X<1,解得,0<x<2. 6.y2=2x—1 提示:设 P(x,y),

1 AB =λ OB (λ? R)得 B(k(x—1),ky), (λ= ) 。将坐标代入 AP . AB =1 可得 k
k=

x ( x ? 1) 2 ? y 2



又点 B 在圆 x2+y2=1 上,则 k2(x-1)2+k2y2=1 ② 2 由①②消去 k 得 y =2x-1 7.4351,提示:100 条直线任意两条的组合有 C2100,其中编号为 4k(k? N*)的直线互相平行,编号为 4k—1 的直线都过定点 A,所以这 100 条直线的交点个数最多为 C2100 —C225—C225 +1=4351 8.

5 5 提示: 如图: 将四面体补成一个正方体, E1 , F1 分别是 A1B1 , C1D1 的中点 , 面 EF1D1D 和面 BB1F1F 3

是两个平行平面,它们的距离是 1.

设正方体的棱长为 a, A1M=MN=1 , 则 A1E1=

a , 2
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D1E1=

A1 D12 ? A1 E12 =

5 a. 2

由 A1D1 *A1E1 =A1M1*D1E1 得 a= 5 . 所以,四面体的体积为 V=a3—4× a3 = 9.(1)由 2a cosC=2b-c 得 sinAcosC+

1 6

5 5 . 3

1 sinC=sinB. 2

又 sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以

1 sinC=cosAsinC. 2 1 ? 因为 sinC≠0 ,所以 cosA= ,又因为 0<A<π , 所以· A= . 2 3
(2)由正弦定理得:b=

a sin B 2 2 = sinB , c= sinC. sin A 3 3

b+c=

2 2 (sinB+sinC)= [sinB+sin(A+B)] 3 3
1 ? 2 sinB+ cosB)=2sin(B+ ). 2 6 3
sin(B+

=2(

因为 A=

? 2? ? ? 5? ,所以 B? (0, ) ,所以 B+ ? ( , ) ,所以 3 3 6 6 6

? 1 )? ( ,1]. 6 2

故 b+c 的取值范围为(1,2]. 另解 由(1)及余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,所以 b2+c2=bc+1 所以(b+c)2 =1+3bc ≦ 1+3(

b?c 2 ) ,b+c≦ 2,又 b+c>a=1. 2

故 b+c 的取值范围为(1,2]. 10.解法一(1)作 DE∥A1B1 交 A1C1 于 E,DE⊥A1C1 .因为 ABC-A1B1C1 为直三棱柱,所以平面 A1B1C1 ⊥平面 A1C. 所 以 DE ? 平 面 A1C 连 结 AE , 则 AE , 为 BD 在 平 面 A1C 的 射 影 , 在 矩 形 A1C1CA 中 , 计 算 可 得

AE ? A1C ,由三条垂线定理得 BD ? A1C .
⑵作 B1 F ? A1 D ,垂足为 F ,连结 BF, 则 BF ? A1 D, ?BFB 1 为二面角 B ? A 1 D ? B1 的平面角,所以

?BFB1 ? 60?, B1 F ?

3 . 3
2

9a 2 ? 4 A1 D ? A1 E ? DE ? . 4
2

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因为 S ?A1B1D ?

1 a S ?A1B1C1 ? ,所以 4 4

1 1 9a 2 ? 4 3 a ? A1 D ? B1 F ? ? ? ? 2 2 4 3 4
所以 a ?

2 3 . 3 2 3 ? 时,二面角 B ? A1 D ? B1 为 60 . 3

所以当 a ? 解法二

⑴ 以 A 为坐标原点,分别以 AB 、 AC 、 AA 1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立在空间直角

坐标系,则

?3 1 ? ? a 1 ? D? a, ,1? ? BD ? ? ? , ,1? . ?4 2 ? ? 4 2 ?

A1C ? ?0,2,?1?
因为 BD ? A1C ? (?

A 1

C1
D
A

a 1 , ,1) ? (0,2,?1) ? 0 , 4 2

B1

所以 BD ? A1C ,即 BD ? A1C

C
B

?3 1 ? ⑵ A1 D ? ? a, ,1? , A1 B ? ?a,0,?1? ?4 2 ?

设 n ? ?x, y,1? 为平面 A1 BD 的一个法向量,则 n ? A1 D, n ? A1 B

? ? ?
? ? ?

3 1 ? ? x , y ,1??? ? a , , 0 ? ?0 ?4 2 ? ? x , y ,1?? ? a.0, ?1??0



3 y ax ? ?0 , 4 2 ax ?1?0 ,

所以

? ? ?

1 x? . a 3 y ?? . 2

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?1 3 ? n ? ? ,? ,1? ?a 2 ?



m ? ?0,0,1? 是平面 A1 B1C1 的一个法向量,
m?n ? m?n 1 3 ? ?0,0,1? ? ? ? ,? ,1? ?a 2 ?
2

cos ? m, n ??

?1? ? 3? ? ? ? ?? ? ?1 ?a? ? 2?
? cos60? ? 1 , 2

2

?

1 1 13 ? a2 4

所以

a?

2 3 . 3

所以当 a ?

2 3 ? 时,二面角 B ? A1 D ? B1 为 60 . 3

11. ⑴ 由

2an?1 ? 3an ? an?1 (n ? 2) 得 2?an?1 ? an ? ? an ? an?1 ?n ? 2? 则 数 列 { an ? an?1 } 是 以
n ?2

1 ?1? a2 ? a1 ? 1 为首项, 为公比的等比数列,则 an ? an?1 ? ? ? 2 ? 2?
⑵ 不等式

,由累加法得 a n ? 4 ? ? ?

?1? ? 2?

n?2

an ? m 2 ? 即为 an ?1 ? m 3

?1? 4?? ? ?m 2 ?2? ? , n ?1 3 ?1? 4?? ? ?m ?2?
m?1 m?2
显然 m ? 4 时无解,则易得

n?2

? ? ?
n ?1 或 n ?1 或

m ?3 n?2 .

4 2 y2 b c 1 2b 12.(1)由 ? ,得: a =2 c ,又通径长为 3,由 x ? c 代入椭圆方程得 = ,则 =3,解得 a 2 a a2

a ? 2, b ? 3 .椭圆的方程为
x2 y ? ? 1. 4 3
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2

x2 y (2) (ⅰ) 椭圆的方程为 ? ? 1, c ? 1 ,设 ? F1 BF2 的内切圆的半径为 r ,则 4 3

2

S ?F1BF2

=

1 ( BF1 ? BF2 ? F1 F2 ? r ? 3r , 2

y B

S ?F1I1F2


=

1 ? F1 F2 ? r ? r . 2

F1 I2
A

I o1 F2
M

x

S ?F1I1F2



S ?F1BF2

?

1 :3.

(ⅱ)假设在 x 轴上存在定点 C ?n,0? ,使 CM ? CB 为常数,设直线 BM

?

: x ? my ? 1,

联立方程

x?my ?9?0 3 x2 ?4 y 2 ?12?0

得 3m 2 ? 4 y 2 ? 6my ? 9 ? 0.

?

?

① 设

B?x1 , y1 ? , M ?x2 , y 2 ? ,则 y1 ? y 2 ? ?

6m 9 , y1 y 2 ? ? , 所以 2 2 3m ? 4 3m ? 4

?x1 ? n? ?x2 ? n? ? ?my1 ? 1 ? n? ?my2 ? 1 ? n?
? m 2 y1 y2 ? m?1 ? n? ? y1 ? y2 ? ? ?1 ? n?
9m 2 6m 2 ?1 ? n ? 2 ?? 2 ? ? ?1 ? n ? 2 3m ? 4 3m ? 4 ? 3m 2 n 3 ? 12m 2 ? 4n 2 ? 8n ? 4 . 3m 2 ? 4
2

2

所以

135 ? 11? CM ? CB ? ? ? ? 4 ? ? . 64 ?8?
? 11 ? ,0 ? ,使 CM ? CB 为常数. ?8 ?

故在 x 轴上存在定点 C ? 13 (1)

f ( x ) 在 区 间 ( ? ? ,0) 上 单 调 递 增 , 则 f ? ( x )=(2a-1)e2x+1≥0 在 区 间 ( ? ? ,0) 上 恒 成 立 , 即
1 ? 2a ? 1 1 ,而当 x ? ?? ?,0? 时, 2 x >1,故 1 ? 2a ? 1 .所以 a ? 0 . 2x e e
x

(2) 令 g ?x ? ? f ?x ? ? 2ae ? ? a ?

? ?

1 ? 2x x ?e ? 2ae ? x ,定义域为 R 2?

x 在区间((0,+ ? )上,函数 f ( x )的图象恒在曲线 y ? 2ae 下方等价于 g ( x ) <0 在(0,+ ? )上恒成立.

因为

g ' ( x ) =(2a 一 1) e 2 x 一 2ae x +1 ? e x ? 1

?

? ??2a ? 1?e

x

?1

?

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①若 a ?

1 1 ,令 g '( x ) = 0,得极值点 x1 ? 0, x 2 ? ln . 2 2a ? 1 1 当 x2 ? x1 ? 0. 即 ? a ? 1 时,在 ?x2 ,??? 上有 g ' ( x ) > 0,此时 g( x )在区间 ?x2 ,??? 上是增函数, 2

并且在该区间上有 g ( x ) ? ?g ?x2 ?,??? ,不符合题意; 当 x2 ? x1 ? 0, 即 a ? 1 时,同理可知, g ( x )在区间 ?0,??? 上有 g( x ) ? ?g ?0?,??? 也不符合题意; ② 若a ?

1 ,则有 2a ? 1 ? 0 ,此时在区间 ?0,??? 上恒有. 2

g (x)<0,从而 g(x)在区间(0,+∞)上是减函数;要使 g(x)<0 在此区间上恒成立,只需满足
g(0) = —a— 由此求得 a 的范围是[-

'

1 1 ≦0→a≧— , 2 2

1 1 , ], 2 2 1 1 综合①②可知,当 a? [- , ]时函数 f(x)的图像恒在直线 y=2aex 下方。 2 2
14. A=﹙x? +x—1﹚? —3﹙x—11﹚. 所以,当 x=11 时,A=131? 是完全平方数。 下证没有其它整数 x 满足要求。 ﹙1﹚当 x>11 时,有 A<﹙x? +x-1﹚? ,又 A-﹙x? +x-2﹚? =2x? -x+30>0, 所以 A>﹙x? +x-2﹚? ,从而 ﹙x? +x-2﹚? <A<﹙x? +x—1﹚? 。 又 x∈Z,所以此时 A 不是完全平方数。 ﹙2﹚当 X<11 时,有 A>﹙x? +x—1﹚? ,令 A=y? ,y∈z,则 ▏y▏>▕x? +x—1▕,即▕y▕-1≧▕x? +x—1▕,所以 y? -2▏y▕+1≧﹙x? +x-1﹚? , 即 ﹣3﹙x-11﹚-2▕x? +x—1▕+1≥0 解此不等式,得 x 的整数值为± 3,,± 2,,± 1, 0, ﹣4, ﹣5,但它们对应的 A 均不是完全平方数。 综上所述,使 A 为完全平方数的整数 x 的值为 11.

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