当前位置:首页 >> 数学 >>

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2精要课件 导数的几何意义


1.1.3

1.1.3
【学习要求】

导数的几何意义

1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义.
本 课 时 栏 目 开 关

2.会求导函数. 3. 根据导数的几何意义, 会求曲线上某点处的切线方程. 【学法指导】 前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想,本 节再利用

数形结合思想进一步直观感受这种思想,并进 一步体会另一种重要思想——以直代曲.

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.1.3

1.导数的几何意义 (1)割线斜率与切线斜率
本 课 时 栏 目 开 关

设函数 y=f(x)的图象如图所示,AB 是过 点 A(x0,f(x0))与点 B(x0+Δx,f(x0+Δx)) f?x0+Δx?-f?x0? Δy 的一条割线,此割线的斜率是 =__________________. Δx Δx 当点 B 沿曲线趋近于点 A 时,割线 AB 绕点 A 转动,它的最 终位置为直线 AD, 这条直线 AD 叫做此曲线在点 A 处的切线 . 于是,当 Δx→0 时,割线 AB 的斜率无限趋向于在点 A 的切

f?x0+Δx?-f?x0? lim 线 AD 的斜率 k,即 k= f′(x0) =___________________. Δx→0 Δx

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.1.3

(2)导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处的切线的 斜率 .也就是说,曲线 y=f(x)在点
本 课 时 栏 目 开 关

P(x0,f(x0))处的切线的斜率是 f′(x0) .相应地,切线方程

y-f(x0)=f′(x0)(x-x0) 为_______________________.
2.函数的导数 当 x=x0 时,f′(x0)是一个确定的数,则当 x 变化时,f′(x) 是 x 的一个函数, f′(x)是 f(x)的导函数(简称导数). 称 f′(x) f?x+Δx?-f?x? lim 也记作 y′,即 f′(x)=y′=_______________. Δx→0 Δx

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.3

探究点一
本 课 时 栏 目 开 关

导数的几何意义

问题 1 如图,当点 Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线 f(x) 趋近于点 P(x0,f(x0))时,割线 PPn 的变化趋势是什么?

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.3



当点 Pn 趋近于点 P 时, 割线 PPn 趋近于确定的位置. 这

个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线.

本 课 时 栏 目 开 关

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.3

问题 2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交 点?
答 不一定.曲线的切线和曲线不一定只有一个交
本 课 时 栏 目 开 关

点,和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相 切.如图,曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定 位置的直线.

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.3

例1

如图,它表示跳水运动中高度随时

间变化的函数 h(t)=-4.9t2+6.5t+10 的 图象.根据图象,请描述、比较曲线 h(t)
本 课 时 栏 目 开 关

在 t0,t1,t2 附近的变化情况.
解 我们用曲线 h(t)在 t0,t1,t2 处的切线,刻画曲线 h(t)在上述 三个时刻附近的变化情况. (1)当 t=t0 时,曲线 h(t)在 t0 处的切线 l0 平行于 t 轴.所以,在 t

=t0 附近曲线比较平坦,几乎没有升降.
(2)当 t=t1 时,曲线 h(t)在 t1 处的切线 l1 的斜率 h′(t1)<0.所以, 在 t=t1 附近曲线下降,即函数 h(t)在 t=t1 附近单调递减. (3)当 t=t2 时,曲线 h(t)在 t2 处的切线 l2 的斜率 h′(t2)<0.所以, 在 t=t2 附近曲线下降,即函数 h(t)在 t=t2 附近也单调递减.

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.3

从图中可以看出,直线 l1 的倾斜程度小于直线 l2 的倾斜程度, 这说明曲线 h(t)在 t1 附近比在 t2 附近下降得缓慢.
小结
本 课 时 栏 目 开 关

导数与函数图象升降的关系:

若函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数存在且 f′(x0)>0(即切线的斜 率大于零),则函数 y=f(x)在 x=x0 附近的图象是上升的;若 f′(x0)<0(即切线的斜率小于零),则函数 y=f(x)在 x=x0 附近 的图象是下降的. 导数绝对值的大小反映了曲线上升和下降的 快慢.

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.3

跟踪训练 1

(1)根据例 1 的图象,描述函数 h(t)在 t3 和 t4

附近增(减)以及增(减)快慢的情况.
本 课 时 栏 目 开 关



函数 h(t)在 t3、t4 处的切线的斜率 h′(t)>0,所以,在

t=t3,t=t4 附近单调递增,且曲线 h(t)在 t3 附近比在 t4 附 近递增得快.

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.3

(2)若函数 y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函 数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是 ( )

本 课 时 栏 目 开 关

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.3

解析 依题意,y=f′(x)在[a,b]上是增函数, 则在函数 f(x)的图象上,各点的切线的斜率随
本 课 时 栏 目 开 关

着 x 的增大而增大,观察四个选项的图象,只 有 A 满足.
答案 A

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.3

探究点二

求切线的方程

问题 1 怎样求曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程?
答 根据导数的几何意义, 求出函数 y=f(x)在点(x0, 0)) f(x 处的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线方 程的点斜式求出切线方程.

本 课 时 栏 目 开 关

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.3

问题 2

曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与曲线过某点

(x0,y0)的切线有何不同?
答 曲线 f(x)在点(x0,f(x0))处的切线,点(x0,f(x0))一定是
本 课 时 栏 目 开 关

切点,只要求出 k=f′(x0),利用点斜式写出切线即可; 而曲线 f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定 在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点.

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.3

例2

已知曲线 y=x2,求:

(1)曲线在点 P(1,1)处的切线方程; (2)曲线过点 P(3,5)的切线方程. 解 (1)设切点为(x0,y0),
2 ?x0+Δx?2-x0 ∵y′|x=x0=lim Δx→0 Δx

本 课 时 栏 目 开 关

x2+2x0·Δx+?Δx?2-x2 0 0 =lim =2x0, Δx→0 Δx
∴y′|x=1=2.

∴曲线在点 P(1,1)处的切线方程为

y-1=2(x-1),即 y=2x-1.

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.3

(2)点 P(3,5)不在曲线 y=x2 上,
设切点为(x0,y0)
由(1)知,y′|x=x =2x0,
0

∴切线方程为 y-y0=2x0(x-x0),
本 课 时 栏 目 开 关

由 P(3,5)在所求直线上得 5-y0=2x0(3-x0)①
2 再由 A(x0,y0)在曲线 y=x2 上得 y0=x0②

联立①,②得,x0=1 或 x0=5. 从而切点 A 的坐标为(1,1)或(5,25) 当切点为(1,1)时,切线的斜率为 k1=2x0=2,
此时切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0,
当切点为(5,25)时,切线的斜率为 k2=2x0=10,

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.3

此时切线方程为 y-25=10(x-5), 即 10x-y-25=0. 综上所述,过点 P(3,5)且与曲线 y=x2 相切的直线方程为 2x-y -1=0 或 10x-y-25=0.
本 课 时 栏 目 开 关

小结 求曲线上某点处的切线方程,可以直接利用导数 求出曲线上此点处的斜率,然后利用点斜式写出切线方 程;求曲线过某点的切线方程,要先求出切点坐标.

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.3

跟踪训练 2 已知曲线 y=2x2-7,求: (1)曲线上哪一点的切线平行于直线 4x-y-2=0? (2)曲线过点 P(3,9)的切线方程.
本 课 时 栏 目 开 关

[2?x+Δx?2-7]-?2x2-7? Δy 解 y′=lim Δx=lim Δx→0 Δx→0 Δx =lim (4x+2Δx)=4x. Δx→0
(1)设切点为(x0,y0),则 4x0=4,x0=1,y0=-5,

∴切点坐标为(1,-5).

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.1.3

(2)由于点 P(3,9)不在曲线上.
设所求切线的切点为 A(x0,y0),
本 课 时 栏 目 开 关

则切线的斜率 k=4x0, 故所求的切线方程为 y-y0=4x0(x-x0).
将 P(3,9)及 y0=2x2-7 代入上式, 0

得 9-(2x2-7)=4x0(3-x0). 0
解得 x0=2 或 x0=4, 所以切点为(2,1)或(4,25).
从而所求切线方程为 8x-y-15=0 和 16x-y-39=0.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.1.3

本 课 时 栏 目 开 关

1.已知曲线 f(x)=2x2 上一点 A(2,8),则点 A 处的切 线斜率为 B.16 C.8 f?2+Δx?-f?2? 解析 f′(2)=lim Δx→0 Δx A.4 ( C ) D.2

2?2+Δx?2-8 =lim =lim (8+2Δx)=8,即 k=8. Δx→0 Δx→0 Δx

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.1.3

2.若曲线 y=x2+ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x -y+1=0,则 A.a=1,b=1
本 课 时 栏 目 开 关

( A ) B.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1

C.a=1,b=-1

解析 由题意,知 k=y′|x=0
?0+Δx?2+a?0+Δx?+b-b =lim =1, Δx→0 Δx
∴a=1. 又(0,b)在切线上,∴b=1,故选 A.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.1.3

3.已知曲线 y=2x2+4x 在点 P 处的切线斜率

(3,30) 为 16,则 P 点坐标为________.
本 课 时 栏 目 开 关

解析

2 设点 P(x0,2x0+4x0),

f?x0+Δx?-f?x0? 则 f′(x0)=lim Δx→0 Δx
2?Δx?2+4x0·Δx+4Δx =lim =4x0+4, Δx→0 Δx 令 4x0+4=16 得 x0=3,∴P(3,30).

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.1.3

本 课 时 栏 目 开 关

1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0)) f?x0+Δx?-f?x0? 处 的 切 线 的 斜 率 , 即 k = Δx→0 lim = Δx f′(x0),物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 2.“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值,不是变数, “导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有 密切关系,f′(x0)是其导数 y=f′(x)在 x=x0 处的一 个函数值.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.1.3

3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知 点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,
本 课 时 栏 目 开 关

则以该点为切点的切线方程为 y-f(x0)= f′(x0)(x-x0); 若已知点不在切线上, 则设 出切点(x0,f(x0)),表示出切线方程,然后 求出切点.


相关文章:
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2导数的几何意义
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2导数的几何意义_数学_高中教育_教育专区。1.1.3 一、基础过关 1.下列说法正确的是 导数的几何意...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2导数的四则运算法则(二)
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2导数的四则运算法则(二)_数学_高中教育_教育专区。1.2.3 一、基础过关 1.下列函数不是复合函数...
《步步高_学案导学设计》2013-2014学年_高中数学人教B版选修2-2第一章导数及其应用_习题
《步步高_学案导学设计》2013-2014学年_高中数学人教B版选修2-2第一章导数及其应用_习题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。习题课一、基础过关 1.函数 f(x)=...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2导数及其应用综合检测
综合检测一、选择题 1-3i 1.i 是虚数单位,复数 的共轭复数是 1-i A.2+i C.-1+2i B.2-i D.-1-2i ) ( ) 2.“金导电、银导电、铜导电、锡...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2利用导数研究函数的极值(一)
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2利用导数研究函数的极值(一)_数学_高中教育_教育专区。1.3.2 一、基础过关 利用导数研究函数的极...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2导数的实际应用
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2导数的实际应用 隐藏>> 1.3.3 一、基础过关 导数的实际应用 1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2利用导数判断函数的单调性
§ 1.3 1.3.1 一、基础过关 导数的应用 利用导数判断函数的单调性 1.命题甲:对任意 x∈(a,b),有 f′(x)>0;命题乙:f(x)在(a,b)内是单调递增的...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2导数的四则运算法则(一)
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2导数的四则运算法则(一)_数学_高中教育_教育专区。1.2.3 一、基础过关 1.下列结论不正确的是...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2利用导数研究函数的极值(二)
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2利用导数研究函数的极值(二) 隐藏>> 1.3.2 一、基础过关 利用导数研究函数的极值(二) 1.函数...
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2瞬时速度与导数
《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学人教B版选修2-2瞬时速度与导数 隐藏>> 1.1.2 一、基础过关 瞬时速度与导数 1.一质点按规律 s(t)=2t3 运动...
更多相关标签:
数学人教版选修导数 | 学案导学 2014 选修 | 导数学案 | 导数的应用学案 | 学案导学 | 步步高学案导学官网 | 学案导学五步教学法 | 学案导学与随堂笔记 |