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浙江省2013届高三上学期高考调研数学(文科)试题


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浙 江 省 2013 届高三年级高考调研考试

数学试题(文科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。

选择题 部分(共 50 分)
参考公式: 球的表面积公式 S=4π R2 球的体积公式 柱的体积公式 其中 R 表示球的半径 棱锥的体积公式 V= V= 棱柱的体积公式 V=Sh 其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱锥的高 V=

4 π R3 棱 3

1 h( S 1 ? S 1 S 2 ? S 2 ) 3

其中 S1,S2 分别表示棱台的上、下底面积,h 表示棱台的高

1 Sh 3

其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱锥的高

如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.设 U={ 1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,4},则 A∪ U B= ( ) A.{1,2,3,4 } B.{1,2,3,5} C.{2,3,4,5} D.{1,3,4,5} 2 2.“x =1”是“x = 1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.在空间中,下列命题正确的是 ( ) A.若两直线垂直于同一条直线,则两直线平行 B.若两直线平行于同一个平面,则两直线平行 C.若两平面垂直于同一个平面,则两平面平行 D.若两平面平行于同一个平面,则两平面平行 4.若 z =1-i (i 是虚数单位) ,则 ( ) 开始 2 2 A.z -2z+2=0 B.z -2z-2=0 C. 2z2-2z+1=0 D.2z2-2z-1=0 k=0 5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 k 的 值是 ( ) A. 5 B. 6 S = 100 C. 7 D. 8 S>0? 是 否

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6.设向量 a , b 满足: | a |? 1 , | b |? 2 , a ? (a ? b) ? 0 , 则 a 与 b 的夹角是 A. 30 C. 90
?

( B. 60
?



?

D. 120
?

?
[来源:Zxxk.Com]

7.在 Rt△ABC 中,∠A= 90 ,∠B= 60 , AB=1,若 圆 O 的圆心在直角边 AC 上,且与 AB 和 BC 所在的 直线都相切,则圆 O 的半径是 ( ) A. (第 5 题)

?

2 3

B.

1 2

C.

3 3

D.

3 2

8.若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示, 则此多面体的体积是 ( ) 3 3 A. 2 cm B. 4 cm 3 C. 6 cm D. 12 cm3 9.下列各组函数中,奇偶性相同,值域也相同的 一组是 ( )

2 3 正视图 2 侧视图

1 1 , g ( x) ? x ? cos x x 1 1 B. f ( x ) ? sin x ? , g ( x) ? x ? sin x x 1 1 2 2 C. f ( x) ? cos x ? , g ( x) ? x ? 2 2 cos x x 1 1 2 2 D. f ( x) ? sin x ? , g ( x) ? x ? 2 2 sin x x
A. f ( x) ? cos x ?

2 俯视图 (第 8 题)

10.过双曲线

x2 y2 ? ? 1(a>0,b>0)的右焦点 F 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线 FM(切点为 M) y 轴于 ,交 a2 b2
( )
[来源:学科网 ZXXK]

点 P. 若 M 为线段 FP 的中点,则双曲线的离心率是 A. 2 B. 3 C.2

D. 5

非选择题部分

(共 100 分)

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28分。 11.已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=n2+2n+a(n∈N*) ,则实数 a=________. 12.在平面直角坐标系 xOy 中,二元一次方程 Ax+By=0(A,B 不同时为 0)表示过原点的直线. 类比以 上结论有: 在空间直角坐标系 Oxyz 中,三元一次方程 Ax+By+Cz=0(A,B,C 不同时为 0)表示 ________.

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?2 x ? y ? 0, ? 13.若实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 3x-y 的最小值是 ________. ?3 x ? y ? 8 ? 0, ?
14.在 1,2,3,4,5 这 5 个自然数中,任取 2 个数,它们的积是偶数的概率是________. 15.设直线 3x+4y-5=0 与圆 C1: x2 ? y 2 ? 4 交于 A,B 两点, 若圆 C2 的圆心在线段 AB 上, 且圆 C2 与圆 C1 相切,切点在


D

圆 C1 的劣弧 AB 上,则圆 C2 的半径的最大值是________. 16.如图,某城市的电视发射塔 CD 建在市郊的小山上,小山的高 BC 为 35 米,在地面上有一点 A,测得 A,C 间的距离为 91 米, C 从 A 观测电视发射塔 CD 的视角(∠CAD)为 45 ? ,则这座电视 发射塔的高度 CD 为________米. B 17.若对于任意的 x∈[1,3],x2+(1-a)x-a+2≥0 恒成立,则实 A (第 16 题) 数 a 的取值范围是________. 三、解答题: 本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
[来源:Zxxk.Com][来源:学科网 ZXXK]

18. (本题满分 14 分) 已知函数 f (x)= 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1.
2

(Ⅰ) 求 f (

5 ?); 12

(Ⅱ)求函数 f(x)图象的对称轴方程. 19. (本题满分 14 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,E,F 分别是 AC,PB 的中点. (Ⅰ) 证明: EF∥平面 PCD; (Ⅱ) 若 PA=AB,求 EF 与平面 PAC 所成角的大小. P

F A E B C (第 19 题) D

[来源:学。科。网 Z。X。X。K][来源:学#科#网 Z#X#X#K]

20. (本题满分 14 分)

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设数列 {an } 的首项 a1 ? (Ⅰ)求 a2 及 an ; (Ⅱ)求满足

3 ,前 n 项和为 Sn ,且满足 2an?1 ? S n ? 3 (n∈N*) . 2

18 S 2 n 8 ? ? 的所有 n 的值. 17 S n 7

21. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? 2x 3 ? 3(2 ? a 2 ) x 2 ? 6(1 ? a 2 ) x ? 1 (a∈R). (Ⅰ)若函数 f (x) 在 R 上单调,求 a 的值; (Ⅱ)若函数 f (x) 在区间[0,2]上的最大值是 5,求 a 的取值范围.

22. (本题满分 15 分) 已知抛物线 C 的顶点在原点,焦点为 F(0,1). (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)在抛物线 C 上是否存在点 P,使得 过点 P 的直线交 C 于另一点 Q,满足 PF⊥QF,且 PQ 与 C 在点 P 处的切线垂直? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. y Q

F O

P x

(第 22 题)

参考答案

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说明: 一、本解答指出了 每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与 本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 二、对计 算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答 有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分 (第 12 题除外) 。 五、未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分 1 分。 一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分,满分 50 分。 1—5 BADAC 6—10 DCABA 二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题 4 分,满分 28 分。 11.0 12.过原点的平面(原点,平面每对一个得 2 分) 13.1 14.

7 10

15.1

16.169

17. (-∞,2]

三、解答题: 本 大题共 5 小题,满分 72 分。 18.本题主要考查三角函数恒等变换及图象的对称性等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ) 解:因为 f(x)= 3 sin2x-cos2x =2sin(2x- 所以 f(

5 2? ? )=2sin = 3. 3 12

? ) , 6

……………………(7 分)

(Ⅱ)解:令 2x- x=

k? ? ? , 2 3

? ? = k ? + (k∈Z) ,得 6 2
k? ? ? (k∈Z). ……………(14 分) 2 3

所以函数 f(x)图象的对称轴方程是 x=

19.本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系,线面角大小计算,同时考查空间想象能力和推理论证 能力。满分 14 分。 (Ⅰ)证明:如图,连结 BD,则 E 是 BD 的中点. 又 F 是 PB 的中点, P 所以 EF∥PD.
[来源:学科网 ZXXK]

因为 EF 不在平面 PCD 内, 所以 EF∥平面 PCD. …………………(6 分) (Ⅱ)解:连结 PE. F 因为 ABCD 是正方形, 所以 BD⊥AC. A 又 PA⊥平面 ABC, 所以 PA⊥BD. B 因此 BD⊥平面 PAC. 故∠EPD 是 PD 与平面 PAC 所成的角.

E C

D

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因为 EF∥PD, 所以 EF 与平面 PAC 所成的角的大小等于∠EPD. 因为 PA=AB=AD,∠PAD=∠BAD= 90 , 所以 Rt△PAD ≌ Rt△BAD. 因此 PD=BD. 在 Rt△PED 中,
[来源:学科网 ZXXK]

?

sin∠EPD=
?

ED 1 ? , PD 2

[来源:学科网 ZXXK]

∠EPD= 30 . 所以 EF 与平面 PAC 所成角的 大小是 30 .
?

…………………(14 分)

20.本题主要考查数列递 推关系,等比数列的定义,求和公式等基础知识,同时考查运算求解能力。满分 14 分。 (Ⅰ)解:由 2an ?1 ? Sn ? 3 ,得

2a2 ? a1 ? 3 ,
3 , 2 3 所以 a 2 ? . 4
又 a1 ? 由 2an ?1 ? Sn ? 3 , 2an ? Sn?1 ? 3 (n≥2)相减,得

an ?1 1 ? , an 2


[来源:学科网 ZXXK]

a2 1 ? , a1 2

3 1 为首项,以 为公比的等比数列. 2 2 3 1 n ?1 1 n ? 3 ? ( ) ( n∈N*). 因此 a n ? ? ( ) …………………(7 分) 2 2 2
所以数列{an}是以 (Ⅱ)解:由题意与(Ⅰ),得

18 S2 n 1 8 ? ? 1 ? ( )n ? , 17 Sn 2 7
1 1 1 ? ( )n ? 17 2 7 1 1 1 1 1 1 ? ( )3 ? ? ( )4 ? , 因为 , 17 2 7 17 2 7
即 所以 n 的值为 3,4. …………………(14 分)

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21.本题主要考查函数的单调性、最值等基本性质、导数的应用等基础知识,同时考查抽象概括能力和运 算求解能力。 (Ⅰ)解: f ?( x) ? 6x 2 ? 6(2 ? a 2 ) x ? 6(1 ? a 2 )

? 6( x ? 1)(x ? 1 ? a2 ) ,
因为函数 f (x)在 R 上单调,[来源:Zxxk.Com] 所以 1 ? 1 ? a ,
2

即 a = 0. (Ⅱ)解:因为 1 ? 1 ? a ,
2

…………………(6 分)

所以 max {f (x)}= max{ f (1) , f (2)}= max{3a2+3,5}=5,
0? x ? 2

即 3a +3 ≤ 5, 解此不等式,得

2

?

6 6 , ?a? 3 3 6 6 . ?a? 3 3
……………… …(15 分)

所以 a 的取值范围是 ?

[来源:Z#xx#k.Com]

22.本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方 法和综合解题能力。满分 15 分。 (Ⅰ)解:设抛物线 C 的方程是 x2 = ay, 则

a ? 1, 4
…………………(5 分)

即a=4. 故所求抛物线 C 的方程为 x2 = 4y . (Ⅱ)解:设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 则抛物线 C 在点 P 处的切线方程是

y?

x1 x ? y1 , 2

直线 PQ 的方程是

y??

2 x ? 2 ? y1 . x1

将上式代入抛物线 C 的方程,得

x2 ?

8 x ? 4(2 ? y1 ) ? 0 , x1 8 ,x1x2=-8-4y1, x1

故 x1+x2= ?

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所以 x2= ?

8 4 -x1 ,y2= +y1+4 . x1 y1

而 FP =(x1,y1-1) FQ =(x2,y2-1) , ,

FP ? FQ =x1 x2+(y1-1) 2-1) (y
=x1 x2+y1 y2-(y1+y2)+1 =-4(2+y1)+ y1(
[来源:学科网 ZXXK]

4 4 +y1+4)-( +2y1+4)+1 y1 y1

2 = y1 -2y1 -

4 -7 y1 1 +y1+2) y1

2 =( y1 +2y1+1)-4(

=(y1+1)2-

4( y1 ? 1)2 y1

( y1 ? 4)( y1 ? 1) 2 = =0, y1
故 y1=4,此时,点 P 的坐标是(±4,4) . 经检验,符合题意. 所以,满足条件的点 P 存在,其坐标为 P(±4,4). ………………(15 分)


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