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【步步高 通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套课件】专题五 第一讲


考点整合

专题五 第一讲

专题五

空间向量与立体几何

第一讲 空间几何体
本 讲 栏 目 开

1.棱柱、棱锥 (1)棱柱的性质 侧棱都相等, 侧面是平行四边形; 两个底面与平行于底面的 截面是全等的多边形; 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四 边形;直棱柱的侧棱长

与高相等且侧面与对角面是矩形.

考点整合
(2)正棱锥的性质

专题五 第一讲

侧棱相等, 侧面是全等的等腰三角形, 斜高相等; 棱锥的高、 斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形;棱锥的
本 讲 栏 目 开

高、 侧棱和侧棱在底面内的射影也构成一个直角三角形; 某 侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角 形; 侧棱在底面内的射影、 斜高在底面内的射影及底面边长 的一半也构成一个直角三角形 . 2.三视图 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正 前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线 .画三视图 的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高;

考点整合

专题五 第一讲

(2)三视图排列规则:俯视图放在正视图的下面,长度与正 视图一样;侧视图放在正视图的右面,高度和正视图一样, 宽度与俯视图一样 .
本 讲 栏 目 开

3.几何体的切接问题 (1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键 是把握球的直径即棱柱的体对角线长 . (2)柱、锥的内切球找准切点位置,化归为平面几何 问题 . 4.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积(不要求记忆) (1)表面积公式 ①圆柱的表面积 S= 2πr(r+ l); ②圆锥的表面积 S= πr(r+ l);

考点整合

专题五 第一讲

③圆台的表面积 S= π(r′2+r2+ r′ l+ rl); ④球的表面积 S= 4πR2.
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(2)体积公式 ①柱体的体积 V=Sh; 1 ②锥体的体积 V= Sh; 3 1 ③台体的体积 V= (S′+ SS′+S)h; 3 4 3 ④球的体积 V= πR . 3

真题感悟

专题五 第一讲

1.(2013· 广东)某四棱台的三视图如图所
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示,则该四棱台的体积是 14 A.4 B. 3 16 C. D.6 3
解析

( B )

由三视图知四棱台的直观图为 1 由棱台的体积公式得:V= (2×2+1 3 14 ×1+ 2×2×1×1)×2= . 3

真题感悟

专题五 第一讲

2.(2013· 四川)一个几何体的三视图如图所示,
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则该几何体的直观图可以是

( D )

解析 由三视图可知上部是一个圆台,下部是一个圆柱,选 D.

真题感悟

专题五 第一讲

3.(2013· 江西 )如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平 面 α 上, 且 AB∥ CD, 正方体的六个面所在的平面与直线 CE, EF 相交的平面个数分别记为 m, n,那么 m+ n= (
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)

A.8

B.9

C.10

D.11

解析 取 CD 的中点 H,连接 EH,HF.在四面体 CDEF 中, CD⊥EH,CD⊥FH,

所以 CD⊥平面 EFH,

真题感悟

专题五 第一讲

所以 AB⊥平面 EFH,
所以正方体的左、 右两个侧面与 EF 平行, 其余 4 个平面与 EF 相交,即 n=4.
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又因为 CE 与 AB 在同一平面内,
所以 CE 与正方体下底面共面,与上底面平行,与其余四个面 相交,即 m=4,

所以 m+n=4+4=8.
答案 A

真题感悟

专题五 第一讲

4.(2013· 新课全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O- xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该 四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得 到正视图可以为
本 讲 栏 目 开

(

)

真题感悟
解析

专题五 第一讲

根据已知条件作出图形:四面体 C1-A1DB,标出各个

点的坐标如图(1)所示,可以看出正视图为正方形,如图(2)所 示.故选 A.
本 讲 栏 目 开

答案 A

真题感悟

专题五 第一讲

5.(2013· 福建 )已知某一多面体内接于球构成一个 简单组合体,如果该组合体的正视图、侧视
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图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边

12π 长为 2 的正方形,则该球的表面积是____.
解析 由三视图知,该几何体为正方体和球组成的组合体, 正方体的对角线为球的直径.所以 2R=2 3,即 R= 3,球 的表面积为 S=4πR2=12π.

题型与方法

专题五 第一讲

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题型一

空间几何体的三视图 ( )

例 1 (1)(2012· 广东)某几何体的三视图如 图所示,它的体积为 A.12π C.57π B.45π D.81π

题型与方法

专题五 第一讲

(2)(2012· 陕西)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥, 得到如 图(2)所示的几何体,则该几何体的左(侧)视图为 ( )

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审题破题 根据三视图先确定原几何体的直观图和形状, 然后 再解题.

题型与方法

专题五 第一讲

解析

(1)由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥

两几何体组合而成,直观图如图所示.
圆锥的底面半径为 3,高为 4,圆柱的底面半径
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为 3,高为 5,
1 1 ∴V=V圆锥+V圆柱=3Sh1+Sh2=3×π×32×4+π×32×5=57π.

(2)还原正方体后, 将 D1, D, A 三点分别向正方体右侧面作垂线.
D1A 的射影为 C1B,且为实线,B1C 被遮挡应为虚线.
答案 (1)C
(2)B

题型与方法

专题五 第一讲

反思归纳 将三视图还原成直观图是解答该类问题的关键, 其
本 讲 栏 目 开

解题技巧是对常见简单几何体及其组合体的三视图, 特别是正 方体、长方体、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥、球等几何体的三视 图分别是什么图形,数量关系有什么特点等都应该熟练掌握, 会画出其直观图,然后由三视图验证.

题型与方法

专题五 第一讲

变式训练 1 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此 几何体的体积是________ cm3.
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题型与方法

专题五 第一讲

解析

由几何体的三视图可知,该几何体由两

个直四棱柱构成,其直观图如图所示.上底面直
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四棱柱的长是 3 cm,宽是 3 cm,高是 1 cm,故 其体积为 9 cm3,下底面直四棱柱的高是 3 cm, 长是 1 cm,宽是 3 cm,其体积为 9 cm3.故该几 何体的体积为 V=18 cm3.
答案 18

题型与方法
题型二 空间几何体的表面积和体积

专题五 第一讲

例 2 如图所示,已知 E、F 分别是棱长 为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱
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A1A、CC1 的中点,求四棱锥 C1— B1EDF 的体积. 审题破题 本题可从两个思路解题: 思路一:先求出四棱锥 C1—B1EDF 的高及其底面积,再利 用棱锥的体积公式求出其体积; 思路二:先将四棱锥 C1—B1EDF 化为两个三棱锥 B1—C1EF 与 D—C1EF,再求四棱锥 C1—B1EDF 的体积.

题型与方法
解 方法一 连接 A1C1,B1D1 交于点 O1,

专题五 第一讲

连接 B1D,过 O1 作 O1H⊥B1D 于 H.
∵EF∥A1C1,EF?平面 B1EDF 且 A1C1?
本 讲 栏 目 开

平面 B1EDF,

∴A1C1∥平面 B1EDF.
∴C1 到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1 到平面 B1EDF 的距离.
∵平面 B1D1D⊥平面 B1EDF, ∴O1H⊥平面 B1EDF,即 O1H 为棱锥的高.
B1O1· DD1 6 ∵△B1O1H∽△B1DD1,∴O1H= = a. 6 B1D

题型与方法

专题五 第一讲

1 11 ∴VC1—B1EDF= S四边形 B1EDF · O1H= ·· EF· B1D· O1H= 3 32 11 6 1 ·· 2a· 3a· a= a3. 32 6 6
本 讲 栏 目 开

方法二 连接 EF,B1D.
设 B1 到平面 C1EF 的距离为 h1,D 到平面 C1EF 的距离为 h2, 则 h1+h2=B1D1= 2a.
由题意得,V C1—B1EDF =V B1—C1EF+V D—C1EF 1 1 3 = · S · (h +h )= a . 3 △C1EF 1 2 6

题型与方法

专题五 第一讲

反思归纳 (1)求规则几何体的体积,关键是确定底面和高,
本 讲 栏 目 开

要注意多角度、多方位地观察,选择恰当的底面和高,使计 算简便. (2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规 则几何体转化为几个规则几何体,再进一步求解.

题型与方法

专题五 第一讲

变式训练 2 等于 A.1
解析

(1)(2013· 湖南 )已知棱长为 1 的正方体的俯视图是 ( C ) B. 2 2-1 C. 2 2+ 1 D. 2

一个面积为 1 的正方形, 则该正方体的正视图的面积不可能
本 讲 栏 目 开

由俯视图知正方体的底面水平放置,其正视图为矩

形,以正方体的高为一边长,另一边长最小为 1,最大为 2, 2-1 面积范围应为[1, 2],不可能等于 2 .

题型与方法
(2)(2012· 江苏)如图,在长方体 ABCD- A1B1C1D1 中, AB=AD=3 cm,AA1= 2 cm,则四棱锥 A- BB1D1D 的体积为 ____ cm3.
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专题五 第一讲

解析 关键是求出四棱锥 A-BB1D1D 的高.
连接 AC 交 BD 于 O,在长方体中,

∵AB=AD=3,∴BD=3 2且 AC⊥BD.
又∵BB1⊥底面 ABCD,∴BB1⊥AC.

又 DB∩BB1=B,∴AC⊥平面 BB1D1D, 1 3 2 ∴AO 为四棱锥 A-BB1D1D 的高且 AO= BD= . 2 2

题型与方法

专题五 第一讲

∵S 矩形 BB1D1D =BD×BB1=3 2×2=6 2,
本 讲 栏 目 开

1 ∴VA-BB1D1D= S 矩形 BB1D1D· AO 3
1 3 2 = ×6 2× =6(cm3). 3 2
答案 6

题型与方法
题型三 例3 多面体与球的有关问题

专题五 第一讲

(1)已知球的直径 SC= 4,A, B 是该球球面上的两点, ( )

AB= 3,∠ ASC=∠ BSC=30° ,则棱锥 S—ABC 的体积为
本 讲 栏 目 开

A.3 3

B.2 3

C. 3

D.1 ( D.5πa2 )

(2)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都 在一个球面上,则该球的表面积为 7 2 11 2 2 A.πa B. πa C. πa 3 3
审题破题

(1)SC 是直径,是本题突破点,由此可得∠SAC,

∠SBC 为直角.(2)确定球的位置,寻找图中的直角三角形, 通过直角三角形求球的直径.

题型与方法
解析 (1)如图,过 A 作 AD 垂直 SC 于 D,

专题五 第一讲

连接 BD.
由于 SC 是球的直径,所以∠SAC=∠SBC
本 讲 栏 目 开

=90° ,又∠ASC=∠BSC=30° ,又 SC 为 公共边,

所以△SAC≌△SBC.

由于 AD⊥SC,所以 BD⊥SC. 由此得 SC⊥平面 ABD.
1 所以 VS—ABC=VS—ABD+VC—ABD= S△ABD· SC. 3
由于在 Rt△SAC 中,∠ASC=30° ,SC=4,

题型与方法
SA· CA 所以AC=2,SA=2 3,由于AD= = 3. SC
SB· CB 同理在Rt△BSC中也有BD= = 3. SC

专题五 第一讲

又 AB= 3,所以△ABD 为正三角形,
本 讲 栏 目 开

1 1 1 所以 VS—ABC=3S△ABD· SC=3×2×( 3)2· sin 60° ×4= 3,所以选 C.
(2)由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱 与底面边长相等,均为a.

如图,设O、O1分别为下、上底面中心,且球 3 3 心O2为O1O的中点,又AD= 2 a,AO= 3 a, a OO2=2,设球的半径为R,

题型与方法

专题五 第一讲

1 1 7 2 则 R2=AO2 = a2+ a2= a2. 3 4 12
本 讲 栏 目 开

7 2 7 2 ∴S 球=4πR =4π×12a =3πa .
2

答案 (1)C
(2)B

题型与方法

专题五 第一讲

反思归纳
本 讲 栏 目 开

(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过

球心及多面体中的特殊点或线作截面, 把空间问题化归为平面 问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系. (2)若球面上四点 P、 A、B、 C 构成的线段 PA、PB、PC 两两 垂直,且 PA= a,PB= b, PC= c,则 4R2=a2+b2+ c2,把有 关元素“补形”成为一个球内接长方体(或其他图形),从而显 示出球的数量特征,这种方法是一种常用的好方法.

题型与方法

专题五 第一讲

变式训练3 (1)(2012· 课标全国)已知三棱锥S-ABC的所有顶 点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为
本 讲 栏 目 开

球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为 2 3 2 2 A. B. C. D. 6 6 3 2
解析

(

)

由于三棱锥 S-ABC 与三棱锥 O-ABC 底面都是

△ABC,O 是 SC 的中点,
因此三棱锥 S-ABC 的高是三棱锥 O-ABC 高的 2 倍, 所以 三棱锥 S-ABC 的体积也是三棱锥 O-ABC 体积的 2 倍.

题型与方法

专题五 第一讲

在三棱锥O-ABC中,其棱长都是1, 如图所示,
本 讲 栏 目 开

3 3 2 S△ABC= ×AB = , 4 4
高 OD= 1
2

? -? ? ?

6 3? ?2 = , 3 3? ?

1 3 6 2 ∴VS-ABC=2VO-ABC=2× × × = . 3 4 3 6
答案 A

题型与方法

专题五 第一讲

(2)两球 O1 和 O2 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内 部,且互相外切,若球 O1 与过点 A 的正方体的三个面相切, 球 O2 与过点 C1 的正方体的三个面相切, 则球 O1 和球 O2 的表 面积之和的最小值为
本 讲 栏 目 开

( A ) B.(8-4 3)π D.(8+4 3)π

A.(6-3 3)π C.(6+3 3)π

解析 设球 O1,O2 的半径分别为 r1,r2,
由题意知 O1A+O1O2+O2C1= 3, 而 O1A= 3r1,O1O2=r1+r2,O2C1= 3r2,

3- 3 ∵ 3r1+r1+r2+ 3r2= 3.∴r1+r2= 2 , 2 2 2 从而 S1+S2=4πr1 +4πr2 =4π(r2 1+r2) ?r1+r2?2 ≥4π· 2 =(6-3 3)π.

阅卷评析

专题五 第一讲

本 讲 栏 目 开

典例

(12 分 )如图所示,在三棱锥 P—ABC

中,△PAB 是等边三角形,∠ PAC= ∠PBC= 90° . (1)证明:AB⊥PC; (2)若 PC= 4,且平面 PAC⊥平面 PBC,求三棱锥 P—ABC 的体积.

阅卷评析
规范解答 (1)证明 由 PA=PB,∠PAC=∠PBC= 90° ,且 PC 为△PAC 与△PBC 的公共边, 则△PAC≌△PBC,
本 讲 栏 目 开

专题五 第一讲

因此 AC=BC,取 AB 中点 D,连接 PD,CD,则 PD⊥AB, CD⊥AB,
因此 AB⊥平面 PDC,又 PC?平面 PDC,所以 AB⊥PC.[6 分]

(2)解 作 BE⊥PC 垂足为 E,连接 AE.
由△PAC≌△PBC 知 AE⊥PC,则∠BEA=90° . 可证△PBE≌△ABE, [8 分]

阅卷评析

专题五 第一讲

本 讲 栏 目 开

又平面 PAC⊥平面 PBC,所以∠BPC=45° .

所以△PBC 为等腰直角三角形,则 E 为 PC 的中点.
1 8 VP—ABC=VP—ABE+VC—ABE= S△ABE· PC= . 3 3 [12分]

阅卷评析

专题五 第一讲

评分细则 (1)第 (1)问中证明 AB⊥平面 PDC 时没有严格遵循 定理,条件写不全的扣 1 分;(2)由 AB⊥面 PDC 直接得到 AB⊥ PC 不扣分; (3)求三棱锥体积时作底面 ABC 上的高亦可,
本 讲 栏 目 开

参照此标准给分. 阅卷老师提醒 (1)证明线线垂直,要转化为线面垂直;求三 棱锥体积,可以适当转化,充分利用图中的线面垂直关系; (2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,若几何 体的底不规则, 也需采用同样的方法, 将不规则的几何体或平 面图形转化为规则的几何体或平面图形,易于求解 .

小题冲关

专题五 第一讲

1.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以 是
本 讲 栏 目 开

( D )

解析

A,B 的正(主)视图不符合要求,C 的俯视图显然不

符合要求,答案选 D.

小题冲关

专题五 第一讲

2.(2013· 课标全国Ⅰ )某几何体的三视图如图所示,则该几何体 的体积为 ( )

本 讲 栏 目 开

A.16+ 8π

B.8+8π

C.16+ 16π

D.8+ 16π

小题冲关

专题五 第一讲

解析

将三视图还原成直观图为:

上面是一个正四棱柱,下面是半个圆柱体.
本 讲 栏 目 开

1 所以 V=2×2×4+2×22×π×4 =16+8π.

故选 A.
答案 A

小题冲关

专题五 第一讲

3.(2013· 辽宁)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1的6个顶点都在球 O 的球面上 .若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O 的半径为 3 17 A. 2 13 C. 2 ( C ) B.2 D.3 10 10

本 讲 栏 目 开

解析 ∵AB⊥AC,且 AA1⊥底面 ABC,
将直三棱柱补成内接于球的长方体,则长方体的对角线 l= 13 2 2 2 3 +4 +12 =2R,R= 2 .

小题冲关

专题五 第一讲

4.一个几何体的三视图如图所示 (单位:m),则该几何体的体 积为________m3.
本 讲 栏 目 开

小题冲关

专题五 第一讲

解析
本 讲 栏 目 开

此几何体是由一个长为 3,宽为 2,高为1的长方体与底

面直径为 2,高为3的圆锥组合而成的,故 π V= V长方体+V圆锥=3×2× 1+ ×12× 3=(6+π)m3. 3
答案 6+π

小题冲关

专题五 第一讲

5.(2012· 山东)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上 1 6 的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为______.

本 讲 栏 目 开

解析 利用三棱锥的体积公式直接求解.
1 V D1-EDF=VF-DD1E=3S △D1DE · AB 1 1 1 = × ×1×1×1= . 3 2 6

小题冲关
6.(2013· 安徽 )如图,正方体 ABCD- A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点, Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P, Q 的平面截该正方体

专题五 第一讲

所得的截面记为 S.则下列命题正确的是 _____
本 讲 栏 目 开

(写出所有正确命题的编号 ). 1 ①当 0<CQ< 时,S 为四边形; 2 1 ②当 CQ= 时, S 为等腰梯形; 2 3 1 ③当 CQ= 时, S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ; 4 3 3 ④当 <CQ<1 时, S 为六边形; 4 6 ⑤当 CQ= 1 时, S 的面积为 . 2

小题冲关
1 ①当 0<CQ< 时,如图(1). 2

专题五 第一讲

解析

在平面 AA1D1D 内,作 AE∥PQ,
本 讲 栏 目 开

显然 E 在棱 DD1 上,连接 EQ, 则 S 是四边形 APQE.

1 ②当 CQ= 时,如图(2). 2

显然 PQ∥BC1∥AD1,连接 D1Q, 则 S 是等腰梯形.

小题冲关
3 ③当 CQ= 时,如图(3). 4
作 BF∥PQ 交 CC1 的延长线于点 F, 1 则 C1F=2.
本 讲 栏 目 开

专题五 第一讲

作 AE∥BF,交 DD1 的延长线于点 E, 1 D1E=2,AE∥PQ,连接 EQ 交 C1D1 于点 R,由于 Rt△RC1Q∽Rt△RD1E,

1 ∴C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2,∴C1R= . 3 3 ④当 <CQ<1 时, 如图(3), 连接 RM(点 M 为 AE 与 A1D1 交点), 4
显然 S 为五边形 APQRM.

小题冲关

专题五 第一讲

⑤当 CQ=1 时,如图(4).
同③可作 AE∥PQ 交 DD1 的延长线于
本 讲 栏 目 开

点 E,交 A1D1 于点 M,显然点 M 为 A1D1 的中点,所以 S 为菱形 APQM, 1 1 6 其面积为2MP×AQ=2× 2× 3= 2 .

答案 ①②③⑤


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