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幂函数的图像和性质


3.1.2 幂函数的图像和性质
5 4 3 2

1

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-1

-2

-3



-4

广州港技工学校
主讲人:邓海春

-5

回顾幂的定义及运算:
n? N*
*

an ? a ? a
n
?n

a

正整数次幂
负整数次幂 正有理数次幂

a ? 0, a 0 ? 1 零次幂

n? N a ? 0 a
p q

1 ? n a
q

p, q ? N * , a ? p, q ? N , a
* ? p q

ap
1
q

?

a

p

负有理数次幂

幂的运算法则

a m ? a n ? a m?n

(a m )n ? a m?n

提问:以下各题目的函数关系分别是什么?

(1) 如果回收旧报纸每公斤1元,某班每年卖旧报纸x公斤,所得价钱y是关于x的函 数; (2) 如果正方形的边长为x,面积y,这里y是关于x的函数; (3) 如果正方体的边长为x, 正方体的体积为y, 这里y是关于x函数;

y?x
x
3

y?

2

y?x
y?

(4)如果一个正方形场地的面积为x, 这个正方形的边长为y,这里y是关于x的函 数; (5)如果某人x秒内骑车行驶了1km,他骑车的平均速度是y,这里y是关 于x的函数.
y?x
?1

x

1 2

教师点评

y ? x y?x

2

y?x

3

y?x

1 2

y?x

?1

5个函数式的共同特征: (1) 指数是常数; (2) 底数是自变量; (3) 函数式前的系数都是1; (4) 形式都是y ? x ,其中
?

? 是常数.

一、幂函数的概念
一般地,函数
y ? x k , k ? Q 称为幂函数

例:下列函数中是幂函数的有哪些
2 1 1 y? ,y? , y ? x 0 , y ? x 3 , y ? x, y ? 2 x 2 x x

注意:
幂函数是以底数为自变量的一类函数 幂函数自变量前的系数为1 n n ? 1 m m n y? x ? y ? xm ? x m xn

( m, n ? Z ? )

二、幂函数的图像研究
小试牛刀:根据下列“资料卡”

绘制出 y ? x , y ? x 2 , y ? x 3 这三个幂函数的图像。

1 2

小小提示:

1、根据所给表格描出已知的5个点。
2、根据函数的奇偶性绘制另一半图像(偶函 数图像与y轴对称,奇函数图像与原点对称)。

资料卡
定义域 奇偶性 单调区间

y? x

1 2

[0, ?? )

非奇非偶 偶函数 奇函数
1
1 .0 1 .0 1 .0

[0, ?? ) 增函 [0, ?? ) [0, ?? )

y ? x2

(??, ??) (??, ??)
1 4 1 2

数 增函数
增函数

y ? x3

x
x
1 2

2
1 .4

3
1 .7 9 .0 27.0

0 .5 0 .1 0 .0

0 .7 0 .3 0 .1

x2

4 .0
8 .0

x3

4.5

二、幂函数的图像研究
4 3.5 3

y ? xk , k ? 0

2.5

2

1.5

1

图像必过 (0,0), (1,1) 在 [0, ??) 上为增函数 在 x ? 1 的右侧:
1 2 3 4 5 6 7

0.5

-4

-3

-2

-1

-0.5

指数越大图像位置越高
在 x ? 1, x ? 0 之间则相反
1 2

-1

-1.5

-2

-2.5

-3

x
x
1 2

1 4

-3.5

1
1 .0 1 .0 1 .0

2
1 .4

3
1 .7 9 .0 27.0

-4

0 .5 0 .1 0 .0

-4.5

0 .7 0 .3 0 .1

x2

4 .0
8 .0

x3

二、幂函数的图像研究
?2 ?2 判 y ?yx ? x , y, ?yx ? 拓展: 断 并画出大致图像。 并画出大致图像 ? 1 1 ? 2 2

的定义域,奇偶性,单调性 x 的定义域,奇偶性,单调性

定义域

奇偶性

单调区间

y ? x ?2

(??, 0) (0, ??)

偶函数 非奇非偶
1 2

(0, ??) 减函数 (0, ??)

y? x

?

1 2

(0, ??)

减函数

x
x ?2
x
? 1 2

1 4

1
1 .0 1 .0

2
0 .3
0 .7

3
0 .1 0 .6

16.0 2 .0

4 .0 1 .4

二、幂函数的图像研究( y ? x ?2 , y ? x )
5

?

1 2

4

y ? xk , k ? 0 图像必过 (1,1)

3

2

在 (0, ??) 上为减函数 n k ? ? , n, m ? N * 证:设 m
? 0 ? x1 ? x2

1

0? x
-4 -2 2 4 6

?k 1
8

?x

?k 2

即0?
10

? x ?x
k 1

k 2

1 1 ? k x1k x2

-1

-2

x
x ?2
x
? 1 2

1 4

-3

1 2

1
1 .0 1 .0

2
0 .3
0 .7

3
0 .1 0 .6

16.0 2 .0

-4

4 .0

-5

1 .4


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