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4.1幂函数的图像与性质(1)教师版


4.1 幂函数的图像与性质(1)
一、 【教学目标】 1、理解幂函数的意义,能通过几个有代表性的幂函数图象的求作、观察、分析、归纳 体会幂函数图象变化规律及幂函数的性质, 体会从特殊到一般的研究问题的数学方法并能进 行简单应用。 2、增强自我抽象概括和识图能力,运用性质解决问题时,进一步体会化数形结合思想。 形成竞赛机制, 使学生认识到传统和现代技术在数学认知过程中的作

用, 从而激发学生的学 习欲望,提高学生的学习能力,养成积极主动,勇于探索,不断创新的学习习惯和品质。 二、 【教学重点难点】 【重点】幂函数的概念;幂函数的图像与性质。 【难点】画具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象的变化规律;幂函数的性 质的应用。 三、 【教学过程】
m n m ? 1 a ? a (一) 、复习 正分数指数幂,负分数指数幂的定义? ,a n ? n m a
m n

(二) 、创设情景,引入新课 【问题 1】如果圣诞节卡片每张 1 元,买 x 张卡片需 y 元,那么 y 关于 x 的函数解析式 为 y ? x, x ? N 。 【问题 2】如果正方形的边长为 x ,正方形的面积为 y ,那么 y 关于 x 的函数解析式为
?

y ? x2 , x ? 0 。
【问题 3】如果正方体的边长为 x ,正方体的体积为 y ,那么 y 关于 x 的函数解析式为

y ? x3 , x ? 0 。
【问题 4】如果正方形场地面积为 x ,正方形的边长为 y ,那么 y 关于 x 的函数解析式 为 y ? x ,x ? 0 【问题 5】如果某人 x 秒内骑车行进了 1km ,他骑车的速度 y ,那么 y 关于 x 的函数解 析式为 y ? x , x ? 0 (三) 、新课讲解 1、幂函数的概念
?1

1 2

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幂函数的定义:幂函数的概念:一般地,我们把形如: y

? x k ( k 是常数, k ? Q )

的函数称为幂函数,其中 x 是自变量; (即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数 称为幂函数。 ) 概念理解练习: 【例 1】判断下列函数那些是幂函数? (1) y ? 0.2
x

(2) y ? x ∨(3) y ? x ?3 ∨(4) y ?

1 5

1 ∨(5) y ? 2 x ?2 2 x

(6) y ? x2 ? x , (7) y ? x0 ? x ? 0? ∨(8) y ? 1 【例 2】已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过 (2, 2) ,试求出这个函数的解析式; 2、几个常见幂函数的图象和性质 【探究一】 (1)在初中我们已经学习了幂函数

y ? x, y ? x 2 , y ? x ?1 的图象和性质,请同学们在
同一坐标系中画出它们的大致图象。 (2)你能在上述坐标系内再画出函数
1

y ? x 3 , y ? x 2 , y ? x ?2 的大致图象吗? 也可在新
的坐标系中画出。 (3)观察函数 y ? x, y ? x , y ? x , y ? x , y ? x ?1 , y ? x ?2 的图象,将你发现的结论写
2 3 1 2

在下表内。

y?x
定义域 值域 奇偶性 单调性 图像所在象 限

y ? x2

y ? x3

y?x

1 2

y ? x ?1

y ? x ?2

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(4)根据上表的内容并结合图象,试总结幂函数的性质: (1)所有的幂函数在 (0, ??) 上都有定义,并且图像都过点 (1,1) ; (2)如果 k ? 0 ,则幂函数的图像通过原点 (0,0) ,并在区间 [0, ??) 上是增函数; (3)如果 k ? 0 ,则幂函数在 (0, ??) 上是减函数;在第一象限,图象向上与 y 轴无限接近, 向右与 x 轴无限接近。 性质理解练习:(设计意图:简单应用) 【例 3】比较下列各组数中两个值的大小(在横线上填上“<”或“>” )
1 1

(1) 3.142 ____ ? ____ ? 2 (3) 1.25 ____ ? ____ 1.22
?1 ?1

(2) (?0.38) 3 ___ ? ____ ?? 0.39?

3

3、几个幂函数的图象和性质的探究 【探究二】 (1)研究函数 y ? x
? 1 2

的定义域、奇偶性和单调性,并作出其图像。 (P79,例 1)

(2)求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性,并作出其大致图像。
2 1

(1) y ? x 3

(2) y ? x 3

(3) y ? x

?

3 2

(4) y ? x

?

2 3

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(3)幂函数的图象在第一象限的分布规律: (1)在直线 x ? 1 的右侧,幂函数的图象幂指数按从 大 到 小 分布; (2)幂函数 y ? x k 的图象必过第 一 象限,必不过第 四 象限,有可能过第 二

或三 象限,具体看幂函数 y ? x k 的奇偶性。 y ? x k 是偶函数时,图象还在第 二 象限 出现,是奇函数时,图象还在第 三 象限;也有可能既不是奇函数也不是偶函数,但不可能 既是奇函数也是偶函数. 性质理解加深练习: 思考题:如图中曲线是幂函数 y ? x 在第一象限的图象,已知 ? 取 ?
?

1 , ?2 四个值, 2

则相应与曲线 C1 、 C2 、 C3 、 C4 的 ? 值依次为( B



( A) ? 2 , ?

1 1 , ,2 2 2 1 1 ( B ) 2 , , ? , ?2 2 2 1 1 (C ) ? , ? 2 , 2 , 2 2 1 1 ( D) 2 , , ?2 , ? 2 2

七、 【课堂小结】 1、幂函数的概念。 2、常见幂函数的性质: 3、幂函数的图象在第一象限的分布规律: 4、两个数学思想方法:分类讨论(对指数的讨论)和数形结合。 5、本节作图用方法是描点法,下节有变换法,对前者,要注意对函数性质的研究;对 后者,要熟悉常见函数及图象的变换法则。

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