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5.3 平面向量的数量积练习题


§5.3 平面向量的数量积
一、选择题 1.若向量 a,b,c 满足 a∥b 且 a⊥c,则 c·(a+2b)=( A.4 C.2 解析:由 a∥b 及 a⊥c,得 b⊥c, 则 c·(a+2b)=c·a+2c·b=0. 答案:D ?a·a? ? b, 2. 若向量 a 与 b 不共线,·b≠0, c=a-? a 且 则向量 a 与 c 的夹角为( ?a·b? π π

π A.0 B. C. D. 6 3 2 ? ?a·a? ? ?b? 解析 ∵a·c=a·?a-? ? ?a·b? ? 2 ? a ? ?a·b=a2-a2=0, =a·a-? a·b? ? π 又 a≠0,c≠0,∴a⊥c,∴〈a,c〉= ,故选 D. 2 答案 D ) B.3 D.0 )

? ? 3. 设向量 a =(1. cos ? )与 b =(-1, 2 cos ? )垂直,则 cos 2? 等于 (
A
2 2



B

1 2

C .0

D.-1

? ? ? ? 解析 ? a ? b,?a ? b ? 0,??1 ? 2cos2 ? ? 0,?cos 2? ? 2cos2 ? ?1 ? 0. 正确的是 C.
答案 C 4. 已知|a|=6, b|=3, ·b=-12, | a 则向量 a 在向量 b 方向上的投影是( A.-4 B.4 C.-2 D.2 ).

解析 设 a 与 b 的夹角为 θ ,∵a·b 为向量 b 的模与向量 a 在向量 b 方向上的 投影的乘积,而 cos θ =

a·b 2 =- , |a||b| 3

? 2? ∴|a|cos θ =6×?- ?=-4. ? 3? 答案 A

5.若 a,b,c 均为单位向量,且 a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c| 的最大值为( A. 2-1 ). B.1 C. 2 D.2

解析 由已知条件,向量 a,b,c 都是单位向量可以求出,a2=1,b2=1,c2=1, 由 a·b=0,及(a-c)(b-c)≤0,可以知道,(a+b)·c≥c2=1,因为|a+b-

c|2 = a2 + b2 + c2 +2a·b -2a·c -2b·c ,所以有|a + b - c|2 =3-2(a·c + b·c)≤1,
故|a+b-c|≤1. 答案 B 1 6.已知非零向量 a、b 满足|a|= 3|b|,若函数 f(x)= x3+|a|x2+2a·bx+1 3 在 x∈R 上有极值,则〈a,b〉的取值范围是( π? ? A.?0, ? 6? ? ?π π ? C.? , ? ?6 2? )

π? ? B.?0, ? 3? ? ?π ? D.? ,π ? 6 ? ?

1 3 2 解析 ∵f(x)= x +|a|x +2a·bx+1 在 x∈R 上有极值,∴f′(x)=0 有两不 3 相等的实根,∵f′(x)=x2+2|a|x+2a·b,∴x2+2|a|x+2a·b=0 有两个不 1 a·b 相等的实根, ∴Δ =4|a|2-8a·b>0,即 a·b< |a|2,∵cos a, 〉 〈 b = , 2 |a||b| 1 |a|2 2 3 |a|= 3|b|,∴cos〈a,b〉< = ,∵0≤〈a,b〉≤π , |a||b| 2 π ∴ <〈a,b〉≤π . 6 答案 D 7 . 如 图 , 已 知 正 六 边 形 P1P2P3P4P5P6 , 下 列 向 量 的 数 量 积 中 最 大 的 是

(

).

→ → A.P1P2·P1P3 → → → → → → → → → → B.P1P2·P1P4 C.P1P2·P1P5 D.P1P2·P1P6 解析 由于P1P2⊥P1P5,故其数量积是 0,可排除 C;P1P2与P1P6的夹角是 故其数量积小于零,可排除 D;设正六边形的边长是 a, → → → → 3 2 则P1P2·P1P3=|P1P2||P1P3|cos 30°= a ,P1P2·P1P4=|P1P2||P1P4|cos 60°=a2. 2 答案 A 二、填空题 8. 已知向量 a, 均为单位向量, b 若它们的夹角是 60°, a-3b|等于________. 则| 2 2 2 解析 ∵|a-3b| =a -6a·b+9b =10-6×cos60°=7,∴|a-3b|= 7. 答案 7 9.已知向量 a ? (3, ?2) , a ? (3m ?1, 4 ? m) ,若 a ? b ,则 m 的值为 解析 ? a ? b,? a ? b ? 3(3m ?1) ? (?2)(4 ? m) ? 0,? m ? 1 答案 1 10.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k=________. 解析 设 a 与 b 夹角为 θ ,由题意知|a|=1,|b|=1,θ ≠0 且 θ ≠π .由 a+b 与向量 ka-b 垂直,得 (a+b)·(ka-b)=0, k|a|2+(k-1)|a||b|cos θ -|b|2=0, k-1)(1+cos 即 ( θ )=0. 又 1+cos θ ≠0,∴k-1=0,k=1. 答案 1 2π 11.已知 e1,e2 是夹角为 的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2.若 a·b 3 =0,则实数 k 的值为________.
? ? ? ?
? ?
? ?

2π , 3











解析 由题意知: ·b=(e1-2e2)·(ke1+e2)=0, ke2+e1e2-2ke1e2-2e2=0, a 即 1 2 即 k+cos 答案 5 4 2π 2π 5 -2kcos -2=0, 化简可求得 k= . 3 3 4

??? ? 12.在等腰直角三角形 ABC 中,D 是斜边 BC 的中点,如果 AB 的长为 2,则( AB ??? ? ??? ? + AC )· AD 的值为________.

??? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? 1 ??? 解析: BC |2=| AB |2+| AC |2=8, AD |= | BC |,AB + AC =2 AD , AB | | ( 2
??? ? ? ??? ? ??? ? ??? 1 ??? ? + AC )· AD =2 AD · AD = | BC |2=4. 2
答案:4 三、解答题 13.已知向量 a=(1,2),b=(2,-2). (1)设 c=4a+b,求(b·c)a; (2)若 a+λ b 与 a 垂直,求 λ 的值; (3)求向量 a 在 b 方向上的投影. 解析:(1)∵a=(1,2),b=(2,-2), ∴c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6). ∴b·c=2×6-2×6=0,∴(b·c) a=0a=0. (2) a+λ b=(1,2)+λ (2,-2)=(2λ +1,2-2λ ), 由于 a+λ b 与 a 垂直, 5 ∴2λ +1+2(2-2λ )=0,∴λ = . 2 (3)设向量 a 与 b 的夹角为 θ , 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ . ∴|a|cos θ =

a·b 1×2+2×? -2? 2 2 = =- =- . 2 2 |b| 2 2 +? -2? 2 2
→ → →

14.如图所示,AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3). → → (1)若BC∥DA,求 x 与 y 之间的关系式;





(2)在(1)条件下,若AC⊥BD,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积.













解析 (1)∵AD=AB+BC+CD=(x+4,y-2),DA=-AD=(-x-4,2-y). → → → 又BC∥DA且BC=(x,y),∴x(2-y)-y(-x-4)=0, 即 x+2y=0.① → → → → → → → → (2)由于AC=AB+BC=(x+6,y+1),BD=BC+CD=(x-2,y-3),又AC⊥BD, → → ∴AC·BD=0. 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,② 联立①②化简,得 y2-2y-3=0, ∴y=3 或 y=-1. → → → 1 ∴SABCD= |AC|·|BD|=16; 2 → → → 1 ∴SABCD= |AC|·|BD|=16. 2 → → → +CA·AB的值. → → 解析 由题意知△ABC 为直角三角形,AB⊥BC, → → → → → → 15. 已知平面上三点 A, , 满足|AB|=3, BC|=4, CA|=5, AB·BC+BC·CA B C | | 求 → 当 y=-1 时,x=2,此时AC=(8,0),BD=(0,-4), → 故当 y=3 时,x=-6,此时AC=(0,4),BD=(-8,0),

→ → 3 ∴AB·BC=0,cos∠BAC= , 5 4 cos∠BCA= , 5 → → 4 ∴BC和CA夹角的余弦值为- , 5 → → 3 CA和AB夹角的余弦值为- , 5 → → → → → → ∴AB·BC+BC·CA+CA·AB ? 4? ? 3? =20×?- ?+15×?- ?=-25. ? 5? ? 5? 16.设两向量 e1,e2 满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2 的夹角为 60°,若向量 2t +7e2 与向量 e1+t e2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围. 思路分析 转化为(2te1+7e2)·(e1+te2)<0 且 2te1+7e2≠λ (e1+te2)(λ <0). 解析 由已知得 e2=4,e2=1,e1·e2=2×1×cos 60°=1. 1 2 ∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2te2+(2t2+7)e1·e2+7te2=2t2+15t+7. 1 2 欲使夹角为钝角,需 2t2+15t+7<0. 1 得-7<t<- . 2 设 2t e1+7e2=λ (e1+t e2)(λ <0). ?2t=λ , ∴? ?7=tλ . ∴t=- 即 t=- ∴2t2=7.

e1

14 ,此时 λ =- 14. 2 14 时,向量 2te1+7e2 与 e1+te2 的夹角为 π . 2

∴夹角为钝角时,t 的取值范围是 ? 14? ? 14 1? ?-7,- ?∪?- ,- ? 2 ? ? 2 2? ?

【点评】 本题较好地体现了转化与化归思想.转化与化归思想在高考中占有十分 重要的地位,数学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的转化、新 知识向旧知识的转化、 复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转 化、实际问题向数学问题转化等.各种变换、具体解题方法都是转化的手段,转 化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.


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