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3.1.2共线向量与共面向量2


共线向量与共面向量

练习
A

在立方体AC1中,点E是面A’C’的中心,求下 列各式中的x,y.
E D C
' '

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
'

B

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习 在立方体AC1中,点E是面A’C’ 的中心,求下列

各式中的x,y.
A E B C D
' '

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
'

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习2
A

在立方体AC1中,点E是面A’C’ 的中心,求下 列各式中的x,y. (2) AE ? AA ' ? x AB ? y AD D
E C

B

A

D

B

C

例2 用向量的方法证明:顺次连结空间 四边形各边中点所得的四边形为平行四 边形。
A E

H D F C G

B

1.下列说明正确的是:
A.在平面内共线的向量在空间不一定共 线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共 线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共 线

D.在空间共线的向量在平面内一定共线

2.下列说法正确的是:

A.平面内的任意两个向量都共线
B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面

3.对于空间任意一点O,下列命题正确的 是:
??? ??? ? ? ???? A.若 OP ? OA ? t AB ??? ??? ???? ? ? B.若 3OP ? OA ? AB ??? ??? ???? ? ? C.若 OP ? OA ? t AB
??? ? ??? ???? ? D.若 OP ? ?OA ? AB

,则P、A、B共线 ,则P是AB的中点 ,则P、A、B不共线 ,则P、A、B共线

??? ? ??? ? ???? 4.若对任意一点O,且 OP ? xOA ? y AB ,

则x+y=1是P、A、B三点共线的:
A.充分不必要条件

B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

???? ??? ? 5.设点P在直线AB上并且AP ? ? PB(? ? ?1)

,O为空间任意一点,求证: ??? ? ??? ? ??? OA ? ? OB ? OP ? 1? ?

一、共线向量: 1.共线向量:如果表示空间向量的
有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b 零向量与任意向量共线.

2.共线向量定理:对空间任意两个 向量 a, b(b ? o), a // b 的充要条件是存在实 数λ使 a ? ?b

已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量a叫做直线的 方向向量. P
a

推论:如果 l 为经过已知点A且平行

若P为A,B中点, ? ? ? 则 ??? 1 ??? ??? OP ? OA ? OB 2

?

?
O

B A

例1 已知A、B、P三点共线,O为空间任
??? ? ??? ? ??? ? 意一点,且OP ? ? OA ? ? OB,求 ? ? ? 的值.

二.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.
O

a
A

?

a

注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量就不一定共面的了。

? ? 2.共面向量定理:如果两个向量 a , b ?? ? ? 不共线,则向量 p 与向量 a , b共面的充要 ?? ? ? 条件是存在实数对x, y 使P ? xa ? yb
?B b? M a A
?? p

P
A?

O

推论:空间一点P位于平面MAB内的充
要条件是存在有序实数对x,y使 ???? ? ???? ? ???? ? MP ? xMA ? yMB ??? ???? ? ? ???? ? ???? ? 或对空间任一点O,有OP ? OM ? xMA ? yMB

例3 对空间任意一点O和不共线的三点

A、B、C,试问满足向量关系式 ??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中 )的四点P、A、B、 x ? y ? z ?1
C是否共面?

例4

已知A、B、M三点不共线,对于平面

ABM外的任一点O,确定在下列各条件下, 点P是否与A、B、M一定共面?

??? ???? ? ? ??? ??? ? ? (1) OB+OM ? 3OP-OA
??? ? ??? ??? ???? ? ? ? (2) OP ? 4OA ? OB ? OM
注意:

空间四点P、M、A、B共面 ???? ? ???? ? ???? ? ( ) ? 存在唯一实数对 x , y , 使得 MP ? xMA ? yMB ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ? OP ? xOM ? yOA ? zOB(其中,x ? y ? z ? 1)

例5 如图,已知平行四边形ABCD,过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD, 在四条射线上分别取点E、F、G、H,并且使 O OE OF OG OH ? ? ? ?k OA OB OC OD 求证:
D A ⑴四点E、F、G、H共面; B C

⑵平面EG//平面AC。
D' A' B' C'

1.下列命题中正确的有:

? ? ? ? ? ? ? ? (1) p ? xa ? yb  p 与 a 、 共面 ; ? b ? ? ? ? ? ? ? ? (2) p 与 a 、 共面 ? p ? xa ? yb  b ;

???? ? ???? ? ???? ? (3) MP ? xMA ? yMB ? P、M、A、B共面;

???? ? ???? ? ???? ? (4) P、M、A、B共面 ? MP ? xMA ? yMB ;

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

三、课堂小结:
1.共线向量的概念。

2.共线向量定理。
3.共面向量的概念。 4.共面向量定理。


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