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杭州新理想高复2009学年第二次月考试卷(理)


新理想高复 2009 学年第二次月考试卷

数学(理科)
本试题卷第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷

(选择题 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的)

/>2 1. 已知集合 A ? x lg x ? 0 , B ? x x ? 2 x ? 0 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A. x 2 ? x ? 10

?

?
?

B. x 1 ? x ? 10

?

?

C. x 0 ? x ? 2

?

?

D. x 1 ? x ? 2

?

?

2.设向量 a ? (1, x ?1), b ? ( x ? 1,3) ,则“ x ? 2 ”是“ a || b ”的 A.充分但不必要条件 C.充要条件 B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

? ?

3.下列四个函数中,以 π 为最小正周期,且在区间( A. y ? cos2 x 4. B. y ? 2 | sin x |

? ,π )上为减函数是
2

C. y ? ( ) cos x

1 3

D. y ? tan x

若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150°

?

?

?

? ?

?

?

?

?

5.把函数 y ? sin x( x ? R) 的图像上所有的点向左平行移动 所有点的横坐标缩短到原来的 A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin(

? 个单位长度,再把图像上 3

1 倍(纵坐标不变),得到的图像所表示的函数是 2
B. y ? sin(2 x ? D. y ? sin(2 x ?

?
3

), x ? R

?
3

), x ? R

x ? ? ), x ? R 2 6

2? ), x ? R 3

6 . 右 图 是 函 数 f ( x) ? x 2 ?ax ? b 的 部 分 图 象 , 则 函 数
g ( x) ? ln x ? f ?( x) 的零点所在的区间是
1

A. ( , )

1 1 4 2

B. (1, 2)

C. ( ,1)

1 2

D. (2,3)

7.设函数 f ( x) ? sin( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) 若函数

f ( x) ? f ?( x) 为偶函数,则 ? =
5? 6
D.

6 3 8.函数 y ? ln | x ? 1| 的图象大致是

A.

?

B.

?

C.

2? 3

A

B

C

D

9.已知函数 y ? sin x ? a cos x 的图象关于 x ? 象的一条对称轴是 A. x ?

5? 对称,则函数 y ? a sin x ? cos x 的图 3

?
3

B. x ?

2? 3

C. x ? ?

D. x ?

11? 6

10.已知 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 2 x ,则当 x ? (?3, ?2) 时, f ( x) 的表达式是 A. ? 2 x ? 2
w. k.s.5. u.c.o.m

B. ?2?( x ? 2)

C. 2 ? x

D. ?2? x

第Ⅱ卷

(非选择题 100 分)

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分)把答案填在题中横线上 1 ? 11. 若 sin(? ? ? ) ? , 则a ? ? (? , 0 ) , t n ? ? _________
2 2
12 .已知二次函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 4 ,若 f ( x ? 1) 是偶 函数,则实数 a 的值为 13.执行右边的程序框图,输出的 T= 14.已知 a, b, c 是锐角 ?ABC 中 ?A, ?B, ?C 的对边,若

a ? 3, b ? 4, ?ABC 的面积为 3 3 ,则 c ?
2

15.设 f ( x) ? 3ax ? 2a ? 1 , a 为常数.若存在 x0 ? (0,1) ,使得 f ( x0 ) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是
0 , AC ? 4 , P 是 AB 上的点,则点 P 到 16 .已知在 ?ABC 中, ?ACB ? 90 , BC ? 3

AC、BC 的距离乘积的最大值是
17.函数 f (x)的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x ) 在 D 上为非减函数 . 设函数 f (x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个 条件:○ 1 f (0) = 0 ;
科网

2 f ( )= ○ 3

x

1 f ( x) ; 2

3 f (1○

x) = 1- f ( x) .

w.w. w. k.s .5.u.c.o.m

则 f ( ) + f ( ) 等于

1 3

1 8

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤.)
18.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? a cos2 x(a ? R, a 为常数) ,且 (Ⅰ)求 a 的值,并求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? ?0,

? 是函数 y ? f ( x) 的零点. 4

? ?? 时,求函数 f ( x ) 的值域,并写出 f ( x ) 取得最大值时的 x 的值. ? 2? ?

19.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? bx ? 1 ( x ? R, a, b为实数) 有极值, 3 2

且在 x ? ?1处的切线与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直. (1)求实数 a 的取值范围. (2)是否存在实数 a,使得函数 y=f ?( x) ? x 的两个零点 x1 , x2 满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,若存在, 求实数 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

3

20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中, 已知 A(5, 0) 、 B(0, 5) 、 C (cos ? , sin ? ) , 且 ? ? (? , 2? ) . (Ⅰ)若 AB ? OC (O 为坐标原点) ,求角 ? 的值; (Ⅱ)若 AC ? BC ? 2 ,求

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

2sin 2 ? ? sin 2? 的值. 2(1 ? tan ? )

21. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x , x ? R . (1)求函数 f ( x) 在 [0,2? ] 内的单调递增区间; (2)若函数 f ( x) 在 x ? x0 处取到最大值,求 f ( x0 ) ? f (2x0 ) ? f (3x0 ) 的值; (3)若 g ( x) ? e x ( x ? R ) ,求证:方程 f ( x) ? g ( x) 在 ?0,??? 内没有实数解. (参考数据: ln 2 ? 0.69 , ? ? 3.14 )

22.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ?

1 ? ln x . x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 极值点,并说明是极大值点还是极小值点. (Ⅱ)如果当 x ? 1 时,不等式 f ( x ) ?

k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1

(Ⅲ)求证: [(n ? 1)!]2 ? (n ? 1)? e n ? 2 (n ? N * ) .

4

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新理想高复 2009 学年第二次月考

数学(理科)答题卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

姓名

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分)把答案填在题中横线上 11 15 12 16 13 17 14

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.18、19、20 每题 14 分,21、22 每题 15 分;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18、

试场号

座位号

班号

班级

5

19、

20、

6

21、

7

22、

8

新理想高复 2009 学年第二次月考

数学(理科)试卷评分标准
一、选择题:本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 C 5 B 6 C 7 A 8 C 9 D 10 B

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11、 ?

3 ; 3

12、2 ; 17、

13、30 ;

14、 13 ;

15、(??, ?1) ? ( , ??) ;

1 2

16、 3;

3 ; 4

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18. 解: (Ⅰ)由于

? ? 是函数 y ? f ( x) 的零点,既 x ? 是方程 f ( x) ? 0 的解, 4 4 ? ? 2 ? ? 0 (???1 分) 所以 f ( ) ? sin ? a cos 4 2 4 1 即 1 ? a ? 0 ,解得 a=—2. (???1 分) 2
所以 f ( x) ? sin 2 x ? 2cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ?1
2

(???2 分)

即 f ( x) ?

2 sin(2 x ? ) ? 1 4

?

(???2 分) (???1 分)

故函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 x ? ?0,

? ? ? 3? ? ? ?? , 得2 x ? ? ? ? , ? , ? 4 ? 4 4 ? ? 2?
?
? 2 ? ) ? ?? ,1? , 4 ? 2 ?

(???1 分)

所以 sin(2 x ? 所以 ?1 ?

(???1 分)

2 sin(2 x ? ) ? 2 ,故 ?2 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? 2 ? 1 , (??2 分) 4 4

?

?

所以 f ( x ) 的值域为 ? ?2, 2 ? 1? .

?

?

(???1 分)

当 sin(2 x ?

?
4

) ? 1时,f ( x) 取得最大值, (???1 分)
9

此时, 2 x ?

?

4 2 3? 所以当 x ? 时, f ( x ) 取得最大值 2 ? 1 . 8
19.解: (1) f ?( x) ? x 2 ? ax ? b 因为 f ( x) 有极值,? ? ? a 2 ? 4b ? 0

?

?

,即x ?

3? 8

(???1 分)

(??1 分) (*) (??2 分)

又在 x ? ?1处的切线与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直,? f ?(?1) ? 1 ? a ? b ? 1 (??1 分)
? b ? a 代入(*)式得, a 2 ? 4a ? 0 ,? a ? 4或 a ? 0

(??3 分)

(2)假若存在实数 a,使 f ?( x) ? x ? 0 的两个根 x1、x2 满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 , 即 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 的两个根 x1、x2 满足 0<x1<x2<1,
?? ? (a ? 1) 2 ? 4a ? 0 ① ? 1? a ? ?1 ② ?0 ? 2 令 g ( x) ? x ? (a ? 1) x ? a ,则有: ? 2 ? g (0) ? a ? 0 ③ ? ? ④ ? g (1) ? 2a ? 0

? a ? 4或 a ? 0 (??5 分)

解之得 a 不存在 ∴存在实数 a,且 0 ? a ? 3 ? 2 2 使是 f ?( x) ? x 的两个根满足 0 ? x1 ? x2 ? 1 .(??2 分) 20、 解 (Ⅰ) ? AB ? (?5, 5), OC ? (cos ? , sin ? ) ,(??2 分) 而 AB ? OC ,∴ AB ? OC ? 0 代入化简得 sin ? ? cos ? (??3 分) 又 ? ? (? , 2? ) ,?? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

5? .(??2 分) 4

(Ⅱ)由 AC ? BC ? 2 ,得 (cos ? ? 5) cos ? ? sin ? (sin ? ? 5) ? 2 (??1 分)

???? ??? ?

? sin ? ? cos ? ?
且 ? ? (? , 2? ) ,则

1 12 24 ? 0, ,(??1 分) ? sin ? ? cos ? ? ? ,由于 2sin ? ? cos ? ? ? 5 25 25

? ?(

7 3? , 2? ) ,? cos ? ? sin ? ? (sin ? ? cos ? ) 2 ? 4sin ? cos ? ? (??2 分) 5 2

10

2 又 2sin ? ? sin 2? = 2sin 2 ? ? 2sin ? cos ?

2(1 ? tan ? )

2(1 ?

sin ? ) cos ?

?

? sin ? cos ? (cos ? ? sin ? ) sin ? ? cos ?

所以

2sin 2 ? ? sin 2? 84 =. (??3 分) 25 2(1 ? tan ? )

21. (本小题满分 15 分)解: (1) f ( x) ? sin x ? cos x ? 令x?

2 sin( x ?

?
4

),

?
4

? [2k? ?

?
2

,2k? ?

?
2

]( k ? Z )

3? (------------------------------------------3 分) ], 4 4 7? 3? 由于 x ? [0,2? ] ,则 f ( x) 在 [0,2? ] 内的单调递增区间为 [0, ] 和 [ (-------2 分) ,2? ] ; 4 4
则 x ? [ 2k? ?

?

,2k? ?

(注:将单调递增区间写成 [0, (2)依题意, x0 ? 2k? ?

3? (k ?Z ) , (-----------------------------2 分) 4

3? 7? ] ? [ ,2? ] 的形式扣 1 分) 4 4

由周期性, f ( x0 ) ? f (2x0 ) ? f (3x0 )

? (sin

3? 3? 3? 3? 9? 9? ? cos ) ? (sin ? cos ) ? (sin ? cos ) ? 2 ? 1 (------------2 分) 4 4 2 2 4 4

(3)函数 g ( x) ? e x ( x ? R )为单调增函数, 且当 x ? [0, 当x??

?
4

] 时, f ( x) ? 0 , g ( x) ? e x ? 0 ,此时有 f ( x) ? g ( x) ; (----------2 分)
?

1 ? ?? ? ,?? ? 时,由于 ln e 4 ? ? 0.785,而 ln 2 ? ln 2 ? 0.345 , 2 4 ?4 ?
?

则有 ln e 4 ? ln 2 ,即 g ( ) ? e 4 ?

?

?

4

2,

又? g ( x) 为增函数,? 当 x ? ? ? ,?? ? ? 时, g ( x) ? ?
?4 ?

2

(----------2 分)

而函数 f ( x) 的最大值为 2 ,即 f ( x) ? 2 ,则当 x ? ? ? ,?? ? ? 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ,综 ?
?4 ?

上,在 ?0,??? 恒有 f ( x) ? g ( x) ,即方程 f ( x) ? g ( x) 在 ?0,??? 内没有实数解. 22. 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??)
11

(----------2 分)

因为

f ( x) ?

1 ? ln x ln x , x >0,则 f ?( x ) ? ? 2 , (?????1 分) x x

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x ) 在(0,1)上单调递增;在 (1, ??) 上单调递减, (?????2 分) 所以函数 f ( x ) 只有极大值点 1. (Ⅱ)不等式 f ( x) ? 所以 g ?( x) ? ? (?????1 分)

k , 即为 ( x ? 1)(1 ? ln x) ? k , 记 g ( x) ? ( x ? 1)(1 ? ln x) , x ?1 x x
x
2

( x ? 1)(1 ? ln x)?? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x)

?

x ? ln x x2

(????1 分)

令 h( x) ? x ? ln x ,则 h?( x ) ? 1 ?

1 , x

(????1 分)

? x ? 1,

? h?( x) ? 0,

? h( x) 在 ?1, ??) 上单调递增, (????1 分)

??h( x)?min ? h(1) ? 1 ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0 ,
故 g ( x) 在 ?1, ??) 上也单调递增, 所以 ? g ( x)?min ? g (1) ? 2 ,所以 k ? 2 . (Ⅲ)又(Ⅱ)知: f ( x) ? (????1 分) (????1 分)

2 , 恒成立,即 ln x ? x ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 , (?1 分) x ?1 x ?1 x ?1 x
2 , n(n ? 1)

令 x ? n(n ? 1) ,则 ln ? n(n ? 1)? ? 1 ? 所以 ln(1? 2) ? 1 ?
ln(2 ? 3) ? 1 ?

2 , 1? 2

(?????1 分)
ln(3 ? 4) ? 1 ? 2 , 3? 4

2 , 2?3 2 , ln ? n(n ? 1) ? ? 1 ? n(n ? 1)

(????1 分)

叠加得: ln ?1? 22 ? 33 ????? n2 (n ? 1) ? ? n ? 2 ? ? ? ??? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) ?

? 1 ?

1

1

? ?

? n ? 2(1 ?

1 1 ) ? n?2? ? n?2 . n ?1 n ?1

(????2 分)

则 1? 22 ? 32 ????? n2 (n ? 1) ? en?2 , 所以 [(n ? 1)!]2 ? (n ? 1)? en?2 (n ? N * ) . (????1 分)
12


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