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专题:运用基本不等式解题常见问题对策探求


运用基本不等式解题常见问题对策探求
利用基本不等式求最值是高中数学中常用方法之一, 在使用时应注意基本不等式的条件 “一正、二定、三相等”.在解题的过程中,往往不能直接套用公式,即出现“变量是负数” 、 “和(或积)不是定值” 、 “等号取不到”等情形,这时该怎么办?下面针对部分情况提出对 策. 一、和(或积)不是定值 对策:变量为正数时“若和为定值,积有最大值;积为定

值,和有最小值”.当和(或 积)不是常数时,可以用凑项法、配系数法、拆项法、平方法、纳入根号内法、取倒数法等. 对策一、拆项 分拆已知项在注意等号成立的条件下,把和(积)变成定值

3 ( x ? 0) 的最小值。 x 3 3 3 3 3 3 解析: y ? 2 x 2 ? ,所以 ? 33 2 x 2 ? ? ? 3 36(2 x 2 ? 时取等号) ? 2x 2x 2 2x 2x 2x
例 1、求函数 y ? 2 x ?
2

????

3

仅当

6 3 ,y min ? 3 36 。 2 2
3 为相同的两项,同时使得含变量 x

评析:目标求和的最值,凑定积是关键,因此均分

的因子 x 的次数和为零。思路不教练,功底不扎实是无法完成变形目标的。 1 练习 1:已知 0 ? x ? ( a 为已知常数) ,求函数 y ? a 2 x 2 (1 ? ax) 的最大值 a 对策二:使用均值不等式时,若能从等号成立的条件入手巧妙地配项则可把

问题转化 例 2:已知 a1 、 a 2 、 ? 、 a n 为整数,且 a1 ? a2 ? ? ? an ? 1,求证:
a2 a12 a2 2 1 ? ??? n ? a1 ? a2 a2 ? a3 an ? a1 2

1 3 对策三、添、凑项 在凑“和”或“积”为定值时,还要注意凑“等号”成立,此时 必须合理凑项,常见的凑项方法有: (1) 、系数变形

练习:已知 a, b, c ? R ? 满足 a ? b ? c ? 1 ,求证: a2 ? b2 ? c2 ?

在利用均值不等式时, 有时系数并不满足均值不等式的要求, 需要对系数加以变形处理, 使之满足要求,利用均值不等式求解。
2 2 例 3、已知 a ? 0 , b ? 0 ,且 2a ? b ? 3 ,求 2a 1 ? b 2 的最大值。

分 析 : 已 知 2a ? b ? 3 的 系 数 与 所 要 求 的 2a 1 ? b 2 的 系 数 不 相 吻 合 。 要 对
2 2

2a 1 ? b 2 的系数加以变形,使之满足 2a 2 ? b 2 ? 3 中的系数要求。

解析: 2a 1 ? b 2 ?

2 ? 2a 1 ? b 2 ? 2 ?

( 2a) 2 ? ( 1 ? b 2 ) 2 2

? 2?

2a 2 ? 1 ? b 2 ? 2 2, 2

当且仅当 2a ? 1 ? b 2 时,即 a ? 1 , b ? 1 时等号成立, 所以当 a ? 1 , b ? 1 时, 2a 1 ? b 2 的最大值为 2 2 。 (2) 、项数变形 在利用均值不等式时, 有时往往需要对项数加以变形处理, 使之满足均值不等式的要求, 为利用均值不等式求解创造条件。 例 4、求函数 y ? 3 x ?
2

16 的最小值。 2 ? x2

解析:

y ? 3(2 ? x 2 ) ?
所以当 x ? ?

16 16 16 ? 6 ? 2 3(2 ? x 2 )( ) ? 8 3 ? 6 [3(2 ? x 2 ) ? 取等号] 2 2 2? x 2? x 2 ? x2

4 3 ? 2 , y min ? 8 3 ? 6 3
2

评析:目标求和的最值,尽可能凑定积, 因此添 6,减 6(即使得含变量的因子 2 ? x 的 次数和为零,同时取到等号)是解决本题的关键之所在。

5 1 ,求函数 f ( x) ? 4 x ? 2 ? 的最大值。 4 4x ? 5 1 分析: 题目中的 4 x ? 5 为负数, 又 (4 x ? 2) ? 不是定值, 所以要对常数加以增减、 4x ? 5
练习: 已知 x ? 拆、凑等处理。

5 ,∴ 5 ? 4 x ? 0 , 4 1 1 ? ?(5 ? 4 x ? )?3 ∴ f ( x) ? 4 x ? 2 ? 4x ? 5 5 ? 4x
解析:∵ x ?

? ?2 (5 ? 4 x) ?

1 ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1, 5 ? 4x

1 时,即 x ? 1 时等号成立, 5 ? 4x 1 所以当 x ? 1 时,函数 f ( x) ? 4 x ? 2 ? 的最大值为 1。 4x ? 5
当且仅当 5 ? 4 x ? 。例 5、已知 a ? b ? c ,求 a ? c ?

1 的最小值。 b ? ab ? c(a ? b)
2

分析:题目中 a ? c ?

1 的各项有正数也有负数,直接利用均值不等式 b ? ab ? c(a ? b)
2

无法下手,通过项数的变化整理,使之符合要求。 解析:由 a ? b ? c ,得 a ? b ? 0 , b ? c ? 0 , 则a ?c?

1 1 ? (a ? b) ? (b ? c) ? (a ? b)(b ? c) b ? ab ? c(a ? b)
2

? 33 (a ? b) ? (b ? c) ?

1 ? 3, (a ? b)(b ? c)
1 时等号成立, (a ? b)(b ? c)

当且仅当 a ? b ? b ? c ?

所以当 a ? b ? b ? c ?

1 1 时, a ? c ? 2 的最大值为 3。 (a ? b)(b ? c) b ? ab ? c(a ? b)

(3) 、指数变形 在利用均值不等式时, 有时未知数的指数并不满足均值不等式的要求, 需要对指数加以 变形处理,使之满足要求,利用均值不等式求解。 例 6、已知实数 x , y 满足 xy ? 0 ,且 x 2 y ? 2 ,求 x 2 ? xy 的最小值。 分析:由均值不等式直接求解 x 2 ? xy ,得出的结果与已知不满足,需要变形指数,通 过协调好实数 x , y 的指数关系,使之满足条件。 解析: x ? xy ? x ?
2 2

1 1 1 1 xy ? xy ? 33 x 2 ? xy ? xy 2 2 2 2

? 33

1 4 2 1 x y ? 33 ( x 2 y) 2 ? 3 , 4 4
2

当且仅当 x ?

1 xy 时,即 x ? 1 , y ? 2 时等号成立, 2

2 所以当 x ? 1 , y ? 2 时, x ? xy 的最小值为 3。

对策四、放入根号或两边平方 例 7、求函数 y ? x 2 1 ? x 2 (0 ? x ? 1) 的最大值。 解析:

y ? x2
(仅当

x2 x2 ? ?1? x2 2 2 x x 2 3 2 1 ? x 2 ? x 4 (1 ? x 2 ) ? 4 ? ? (1 ? x 2 ) ? 4( 2 )3 ? 2 2 3 9

x2 6 2 3 ? 1 ? x 2 时取等号) , y max ? ,即当 x ? 。 2 3 9
4 2 2 2 2

另解:

1 2 2 x 2 ? x 2 ? (2 ? 2 x 2 ) 3 8 2 y ? x (1 ? x ) ? x ? x (1 ? x ) ? x ? x (2 ? 2 x ) ? [ ] ? 2 3 27
2

(仅当 x ? 2 ? 2 x 时取等号) ,即当 x ?
2 2

6 2 3 。 , y max ? 3 9

评析: 目标求积的最值, 把变量都放在同一条件下的根号里或者将原式两边平方去根号, 整合结构形式,凑成定和,是解决本题的关键之所在。 对策五、分子常数化

3x 2 的最大值。 x3 ? 4 3x 2 3 3 ? ? 解:由题意知 y ? 3 4 x x 4 x ?4 x? 2 ? ? 2 2 x2 x x x 4 x x 4 x 4 而 x ? R ? , ? ? ? 2 ? 33 ? ? 2 ? 3( ? 2 取等号) ,所以仅当 2 2 x 2 2 x 2 x x ? 2, y max ? 1 。
例 8、设求函数 y ? 评析: 当分子变量因子次数比分母的小且变量因子不为零, 都可采用同时除以分子所含 变量因子使分子变量常数化,以实现变量形式的统一,从而使问题得以解决。 例 9、设 x ? ?1 ,求函数 y ? 解析:

( x ? 5)( x ? 2) 的最小值。 x ?1

y?

[(x ? 1) ? 4][(x ? 1) ? 1] 4 4 4 ? x ?1? ? 5 ? 2 ( x ? 1) ? 5 ? 9( x ? 1 ? 取等) x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

所以仅当 x ? 1 时, ymin ? 9 。 评析: 先尽可能的让分子变量项和分母相同 (常用于分子所含变量因子的次数比分母的 含变量因子的次数大或相等时) ,然后裂项转化为求和的最值,进而凑定积(即使得含变量 的因子 x ? 1 的次数和为零,同时取到等号) 。 对策六、代换变形 利用题目当中的已知条件, 对要求解的代数式加以代换变形, 使之符合均值不等式的条 件,再应用均值不等式加以求解。
? 例 10、已知 x, y ? R ,且 2 x ? y ? 1 ,求

1 1 ? 的最小值。 x y

分析:直接利用均值不等式对

1 1 ? 求解不符合不等式成立的条件,只有通过变形, x y

把已知条件 2 x ? y ? 1 中的 1 加以代换变形,进而求解。 解析:由 2 x ? y ? 1 ,得

1 1 2x ? y 2x ? y y 2x ? ? ? ? 3? ? x y x y x y

? 3? 2

y 2x ? ? 3? 2 2 , x y

当且仅当

y 2x 2? 2 ? 时,即 x ? , y ? 2 ? 1时等号成立, x y 2 1 1 2? 2 , y ? 2 ? 1时, ? 的最小值为 3 ? 2 2 。 x y 2

所以当 x ?

在应用均值不等式时, 有时可以单独利用其中的一种变形技巧, 有时还要综合应用以上 的几个变形技巧加以变形求解,使问题加以巧妙处理。 练习:已知 0 ? x ? 1求函数 y ? 对策七、取倒数
4 1 的最小值 ? x 1? x

4 3 ? ? 1,求 x 2 y 的最小值。 x y 2 2 3 ? ? 1 1 2 2 3 1 x x y 3 1 2 3 解: 2 ? ,因此仅当 ? ? ? ? ( ) ? ( ? 时取等) 3 324 x y x y 12 x x y 12 ?2 3 ?x ? y ?x ? 6 2 ? ?? , ( x y ) max ? 324 ? 4 3 y ? 9 ? ? ? ?1 ? ?x y
例 11、已知 x, y ? R ,
?

评析:已知变量出现在分母,所求为变量积且出现在分子,取倒数法不失是一种有效的 变形的对策,值得欣赏。 二、变量是负数 对策:在求最值中,当变量是负数时,先利用相反数将其转化为正数,再利用基本不等 式及不等式的性质来解决. 4 例 12、已知 0 ? x ? 1 ,求 y ? lg x ? 的最大值. lg x
∵0 ? x ? 1 , ∴ lg x ? 0 ,? lg x ? 0 . 解:

? 4 ? ? 4 ? ∴ ? y ? ? lg x ? ? ? ≥ 2 (? lg x) ? ? ? ?4, ? lg x ? ? ? ? lg x ?

当且仅当 ? lg x ?

4 1 ,即 x ? 时,等号成立,即 ymax ? ?4 . ? lg x 100

三、取不到等号(均值不等式失效情形的处理) 对策:在求解的过程中,有时会出现“凑出了‘常数’却取不到‘等号’ ”的现象,建 议用:实施均拆、待定系数法及非基本不等式法(如单调性法、配方法等). 例13、 求函数 y ?
x2 ? 5 x2 ? 4 ( x ? R ) 的最小值.

解: 由y?

x2 ? 5 x ?4
2

? x2 ? 4 ?

1 , 令 t ? x2 ? 4 ≥ 2 , 则易证 y ? f (t ) ? t ? (t ≥ 2) t x ?4
2

1

为增函数.∴ ymin ? f (2) ? 2 ?

1 5 5 ? .所以当 x 2 ? 4 ? 2 ,即 x ? 0 时, ymin ? . 2 2 2

四、用重要不等式证明不等式 应用重要不等式证明不等式的规律和变形的技巧较多,应灵活掌握. 型结构,用不同的方法技巧应对。下面举例说明 同时要注意不同的题



14





a, b, c

















a?b b?c c?a ? lg ? lg . 2 2 2 a?b b?c c?a ? ab , ? bc , ? ca , 证法 1 ∵ a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,∴ 2 2 2 a?b b?c c?a )( )( ) ? ab bc ca ? abc ,两边取常用对数得 三式相乘得 ( 2 2 2 a?b b?c c?a lg[( )( )( )] ? lg(abc ) ,即 lg a ? lg b ? lg c ? lg a ? b ? lg b ? c ? lg c ? a . 2 2 2 2 2 2 a?b a?b 证法 2 ∵ a ? 0, b ? 0 , ∴ ab ? , 两边取常用对数得 lg ab ? lg , 2 2 1 a?b 1 b?c 1 c?a 即 (lg a ? lg b) ? lg ,同理得 (lg b ? lg c) ? lg , (lg c ? lg a) ? lg . 2 2 2 2 2 2 a?b b?c c?a ? lg ? lg 三式相加得 lg a ? lg b ? lg c ? lg . 2 2 2 lg a ? lg b ? lg c ? lg

点评:因为待证的不等式具有对称轮换的结构特征,所以一般要连续使用重 要不等式;之后再变形的方法技巧有:两边取对数,各式相加,各式相乘等. 例 15 已知 x, y, z 都是正数,且
y z 1 2 3 ? ? ? 1 ,求证: x ? ? ? 9 . 2 3 x y z

证明

x?

y z y z y z 1 2 3 ? ? ( x ? ? ) ? 1 ? ( x ? ? )( ? ? ) 2 3 2 3 2 3 x y z

? 3? (

y 2x z 3x 2z 3y ? )?( ? )?( ? ) 2x y 3x z 3 y 2z

? 3? 2
故x?

y 2x z 3x 2z 3 y ? ?2 ? ?2 ? ? 9. 2x y 3x z 3 y 2z

y z ? ? 9 . (当且仅当 x ? 3, y ? 6, z ? 9 时取等号) 2 3

点评:先变形后再用重要不等式,其变形的技巧有:拆并项,凑配项,添零 乘壹,平方开方等;若待证不等式的一边是常数,则变形的目的是为了使用重要

不等式时,其积(或和)是一个定值,并且等号取得到. 例 16 设 a, b, c 为 不 全 相 等 的 正 数 , 求 证 :

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? . 2a 2b 2c b ? c c ? a a ? b

证明

∵ a ? 0, b ? 0 ,∴ a ? b ? ab ? 0 ,从而

1 1 ; ? a ? b 2 ab



1 2 ab

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 . ? ? ( ? ) ,∴ ( ? ) ? 2 2a 2b a?b 2a 2b 2 2a 2b

1 1 1 1 1 1 1 1 同理 ( ? ) ? , ( ? )? . 2 2b 2c b?c 2 2c 2a c?a

∵ a, b, c 不全相等,∴三个不等式的等号不能同时取到,故三式相加得
1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? . 2a 2b 2c b ? c c ? a a ? b

点评:用了重要不等式后,其重要不等式本身也可以变形,变形的技巧有: 取倒数,两边同时加上一个数(或式) ,两边同时除以一个数(或式)等;变形 的目的是为了再次使用重要不等式,从而由不等式的传递性达到目的.. 例 17 证法 1 已知 a, b, c 都是正数,且 a ? b ? c ? 1 ,求证: a ? b ? c ? 3 . ∵ a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,则 a ? b ? c ? 0 ,

∴ ( a ? b ? c ) 2 ? a ? b ? c ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca ? 1 ? 2 ab ? 2 bc ? 2 ca . 又 2 ab ? a ? b , 2 bc ? b ? c , 2 ca ? c ? a , ∴ 2 ab ? 2 bc ? 2 ca ? 2(a ? b ? c) ? 2 , 故 ( a ? b ? c ) 2 ? 3 ,即 a ? b ? c ? 3 . 证法 2 ∵ a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,

∴ a ? b ? c ? 3( a ?

1 1 1 ? b? ? c? ) 3 3 3

1 1 1 b? c? 3? 3? 3 ) ? 3( a ? b ? c ? 1) ? 3 . ? 3( 2 2 2 2 a?

故 a? b? c? 3. 点评: ,例 15 是先用条件再用重要不等式,而例 4 是先用重要不等式再用条 件. 仔细体会,才有收获,才能融会贯通.


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