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中考数学专题复习第21讲:矩形


第二十一讲 矩形 菱形 正方形
【教材链接: 九(下) 第十九章 四边形】 【基础知识回顾】 一、 矩形: 1、定义:有一个角是 角的平行四边形叫做矩形 2、矩形的性质: ⑴矩形的四个角都 ⑵矩形的对角线 3、矩形的判定: ⑴用定义判定 ⑵有三个角是直角的 是矩形 ⑶对角线相等的 是矩形 【名师提醒:1、矩形是 对称到对称中心是 又是 对称 图形对称轴有 条 2、矩形被

它的对角线分成四个全等的 三角形和两个全 等的 三角形 3、矩形中常见题目是对角线相交成 600 或 1200 角时,利用直角 三角形、等边三角形等知识解决问题】 菱形: 1、定义:有一组邻边 的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质:⑴菱形的四条边都 ⑵菱形的对角线 且每条对角线 3、菱形的判定:⑴用定义判定 ⑵对角线互相垂直的 是菱形 ⑶四条边都相等的 是菱形 【名师提醒: 1、 菱形即是 对称图形, 也是 对称图形, 它有 条 对称轴,分别是 2 、菱形被对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 三角形 3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算,也可以用两对角 线积的 来计算 4、菱形常见题目是内角为 1200 或 600 时,利用等边三角形或直角 三角形知识洁具的题目】 三、正方形: 1、定义:有一组邻边相等的 是正方形,或有一个角是直角的 是 正方形 2、性质:⑴正方形四个角都 都是 角, ⑵正方形四边条都 ⑶正方形两对角线 、 且 每条对角线平分一组 内角 3、判定:⑴先证是矩形,再证 ⑵先证是菱形,再证

【名师提醒:菱形、正方形具有平行四边形的所有性质,正方形具有以上特殊 四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示为:

⑴正方形也即是 对称图形,又是 ⑵几种特殊四边形的性质和判定都是从 的,要注意它们的和联系】 【重点考点例析】 考点一:和矩形有关的折量问题

对称图形,有 、 、

条对称轴 三个方面来看

例 1 (2012?肇庆)如图,四边形 ABCD 是矩形,对角线 AC、BD 相交于点 O,BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E. (1)求证:BD=BE; (2)若∠DBC=30°,BO=4,求四边形 ABED 的面积.

思路分析: (1)根据矩形的对角线相等可得 AC=BD,然后证明四边形 ABEC 是平行四边形, 再根据平行四边形的对边相等可得 AC=BE,从而得证; (2)根据矩形的对角线互相平分求出 BD 的长度,再根据 30°角所对的直角边等于斜边的 一半求出 CD 的长度,然后利用勾股定理求出 BC 的长度,再利用梯形的面积公式列式计算 即可得解. 解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AC=BD,AB∥CD, ∵BE∥AC, ∴四边形 ABEC 是平行四边形, ∴AC=BE, ∴BD=BE; (2)解:∵在矩形 ABCD 中,BO=4, ∴BD=2BO=2×4=8, ∵∠DBC=30°, ∴CD=

1 1 BD= ×8=4, 2 2

∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8, 在 Rt△BCD 中,BC=

BD2 - CD2 ?

82 - 42 =4 3 ,

∴四边形 ABED 的面积=

1 (4+8)×4 3 =24 3 . 2

点评:本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质,平行四边形的判定与性质,30°角 所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记性质是解题的关键.

对应训练
1. (2012?哈尔滨)如图,四边形 ABCD 是矩形,点 E 在线段 CB 的延长线上,连接 DE 交 AB 于点 F,∠AED=2∠CED,点 G 是 DF 的中点,若 BE=1,AG=4, 则 AB 的长为 .

1. 15 考点:矩形的性质;勾股定理.专题:计算题. 分析:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 AG=DG,然后根据等边对等角的 性质可得∠ADG=∠DAG,再结合两直线平行,内错角相等可得∠ADG=∠CED,再根据三 角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGE=2∠ADG,从而得到∠AED=∠ AGR,再利用等角对等边的性质得到 AE=AG,然后利用勾股定理列式计算即可得解. 解:∵四边形 ABCD 是矩形,点 G 是 DF 的中点, ∴AG=DG, ∴∠ADG=∠DAG, ∵AD∥BC, ∴∠ADG=∠CED, ∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED, ∵∠AED=2∠CED, ∴∠AGE=∠AED, ∴AE=AG=4, 在 Rt△ABE 中,AB= 故答案为: 15 . 点评:本题考查了矩形的性质,等边对等角的性质,等角对等边的性质,以及勾股定理的应 用,求出 AE=AG 是解题的关键.

AE2 - BE2 ?

42 -12 = 15 .

考点二:和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题
例 2 (2012?衡阳)如图,菱形 ABCD 的周长为 20cm,且 tan∠ABD= 的面积为 cm2.

3 ,则菱形 ABCD 4

思路分析:连接 AC 交 BD 于点 O,则可设 BO=3x,AO=4x,继而在 RT△ABO 中利用勾股 定理求出 AB,结合菱形的周长为 20cm 可得出 x 的值,再由菱形的面积等于对角线乘积的 一半即可得出答案.解答:解:连接 AC 交 BD 于点 O, 则 AC⊥BD,AO=OC,BO=DO, 设 BO=3x,AO=4x, 则 AB=5x, 又∵菱形 ABCD 的周长为 20cm, ∴4×5x=20cm, 解得:x=1, 故可得 AO=4,BO=3,AC=2AO=8cm,BD=2BO=6cm, 故可得

1 AC×BD=24cm2. 2

故答案为:24.

点评:此题考查了菱形的性质,掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质,及菱形的面积等 于对角线乘积的一半是解答本题的关键.

对应训练
2. (2012?山西)如图,已知菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 的长分别为 6cm、8cm,AE⊥BC 于点 E,则 AE 的长是( ) A.5 3 cm B.2 5 cm C.

48 cm 5

D.

24 cm 5

2.考点:菱形的性质;勾股定理. 分析:根据菱形的性质得出 BO、CO 的长,在 RT△BOC 中求出 BC,利用菱形面积等于对 角线乘积的一半,也等于 BC×AE,可得出 AE 的长度.解答:解:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴CO= ∴BC=

1 1 AC=3cm,BO= BD=4cm,AO⊥BO, 2 2

AO2 +BO2 =5cm,

∴S 菱形 ABCD=BD?AC 2 = ∵S 菱形 ABCD=BC×AD, ∴BC×AE=24, ∴AE=

1 ×6×8=24cm2, 2

24 cm, 5

故选 D. 点评:此题考查了菱形的性质,也涉及了勾股定理,要求我们掌握菱形的面积的两种表示方 法,及菱形的对角线互相垂直且平分.

考点三:和正方形有关的证明题
例 3 (2012?黄冈)如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,E、F 分别在 OD、OC 上,且 DE=CF,连接 DF、AE,AE 的延长线交 DF 于点 M. 求证:AM⊥DF.

考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质.专题:证明题. 分析:根据 DE=CF,可得出 OE=OF,继而证明△AOE≌△DOF,得出∠OAE=∠ODF,然 后利用等角代换可得出∠DME=90°,即得出了结论.解答:证明:∵ABCD 是正方形, ∴OD=OC, 又∵DE=CF, ∴OD-DE=OC-CF,即 OF=OE,

? AO=DO ? 在 RT△AOE 和 RT△DOF 中, ??AOD= ?DOF , ?OE=OF ?
∴△AOE≌△DOF, ∴∠OAE=∠ODF, ∵∠OAE+∠AEO=90°,∠AEO=∠DEM, ∴∠ODF+∠DEM=90°, 即可得 AM⊥DF. 点评:此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是通过全等的 证明得出∠OAE=∠ODF,利用等角代换解题. 对应训练 12. (2012?贵阳)如图,在正方形 ABCD 中,等边三角形 AEF 的顶点 E、F 分别在 BC 和 CD 上. (1)求证:CE=CF;

(2)若等边三角形 AEF 的边长为 2,求正方形 ABCD 的周长.

考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;等腰直角三角形. 分析: (1)根据正方形可知 AB=AD,由等边三角形可知 AE=AF,于是可以证明出△ABE≌ △ADF,即可得出 CE=CF; (2)连接 AC,交 EF 与 G 点,由三角形 AEF 是等边三角形,三角形 ECF 是等腰直角三角 形,于是可知 AC⊥EF,求出 EG=1,设 BE=x,利用勾股定理求出 x,即可求出 BC 的上, 进而求出正方形的周长. 解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD, ∵△AEF 是等边三角形, ∴AE=AF, 在 Rt△ABE 和 Rt△ADF 中, ∵ AB=AD AE=AF , ∴Rt△ABE≌Rt△ADF, ∴CE=CF, (2)解:连接 AC,交 EF 于 G 点, ∵△AEF 是等边三角形,△ECF 是等腰直角三角形, ∴AC⊥EF, 在 Rt△AGE 中,EG=sin30°AE= ∴EC= 2 , 设 BE=x,则 AB=x+ 2 , 在 Rt△ABE 中,AB2+BE2=AE2,即(x+ 2 )2+x2=4,

1 ×2=1, 2

解得 x=

? 2? 6 , 2

∴AB=

? 2? 6 2? 6 ? 2= , 2 2

∴正方形 ABCD 的周长为 4AB= 2 2 ? 6 .

点评:本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质和等腰三角 形的性质,解答本题的关键是对正方形和三角形的性质的熟练运用,此题难度不大,是一道 比较不错的试题.

考点四:四边形综合性题目
例 4 (2012?江西)如图,正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合,将△AEF 绕顶点 A 旋转,在旋转过程中,当 BE=DF 时,∠BAE 的大小可以是 .

7.15°或 165° 15°或 165°考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;旋转的性质.专题:分类讨 论. 分析:利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF(SSS) ,有相似三角形的 性质和已知条件即可求出当 BE=DF 时,∠BAE 的大小,应该注意的是,正三角形 AEF 可以 再正方形的内部也可以在正方形的外部,所以要分两种情况分别求解. 解答:解:①当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的内部时,如图 1, ∵正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合, 当 BE=DF 时,

? AB=AD ? ∴ ? BE=DF , ? AE=AF ?
∴△ABE≌△ADF(SSS) , ∴∠BAE=∠FAD, ∵∠EAF=60°, ∴∠BAE+∠FAE=30°, ∴∠BAE=∠FAD=15°,

②当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的外部时. ∵正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合, 当 BE=DF 时, ∴AB=AD BE=DF AE=AF, ∴△ABE≌△ADF(SSS) , ∴∠BAE=∠FAD, ∵∠EAF=60°, ∴∠BAE=(360°-90°-60°)× ∴∠BAE=∠FAD=165° 故答案为:15°或 165°.

1 +60°=165°, 2

点评:本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和 全等三角形的性质和分类讨论的数学思想,题目的综合性不小.

对应训练
4. (2012?铜仁地区)以边长为 2 的正方形的中心 O 为端点,引两条相互垂直的射线,分别 与正方形的边交于 A、B 两点,则线段 AB 的最小值是 .

4. 2 考点: 正方形的性质; 垂线段最短; 全等三角形的判定与性质; 直角三角形斜边上的中线. 专 题:证明题.分析:证△COA≌△DOB,推出等腰直角三角形 AOB,求出 AB= 2 OA,得出要使 AB 最小,只要 OA 取最小值即可,当 OA⊥CD 时,OA 最小,求出 OA 的值 即可. 解答:解:∵四边形 CDEF 是正方形, ∴∠OCD=∠ODB=45°,∠COD=90°,OC=OD, ∵AO⊥OB, ∴∠AOB=90°,

∴∠CAO+∠AOD=90°,∠AOD+∠DOB=90°, ∴∠COA=∠DOB, ∵在△COA 和△DOB 中

??OCA= ?ODB ? , ? OC=OD ??AOC= ?DOB ?
∴△COA≌△DOB, ∴OA=OB, ∵∠AOB=90°, ∴△AOB 是等腰直角三角形, 由勾股定理得:AB=

OA2 +OB2 = 2 OA,

要使 AB 最小,只要 OA 取最小值即可, 根据垂线段最短,OA⊥CD 时,OA 最小, ∵正方形 CDEF, ∴FC⊥CD,OD=OF, ∴CA=DA, ∴OA=

1 CF=1, 2

即 AB= 2 , 故答案为: 2 .

点评:本题考查了勾股定理,全等三角形的性质和判定,正方形的性质,垂线段最短等知识 点的应用,关键是求出 AB= 2 OA 和得出 OA⊥CD 时 OA 最小,题目具有一定的代表性, 有一定的难度.

【聚焦山东中考】

2. (2012?青岛)已知:如图,四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O,BE⊥AC 于 E,

DF⊥AC 于 F,点 O 既是 AC 的中点,又是 EF 的中点. (1)求证:△BOE≌△DOF; (2)若 OA=

1 BD,则四边形 ABCD 是什么特殊四边形?说明理由. 2

考点:矩形的判定;全等三角形的判定与性质. 分析: (1)首先根据垂直可得∠BEO=∠DFO=90°,再由点 O 是 EF 的中点可得 OE=OF, 再加上对顶角∠DOF=∠BOE,可利用 ASA 证明△BOE≌△DOF; (2)首先根据△BOE≌△DOF 可得 DO=BO,再加上条件 AO=CO 可得四边形 ABCD 是平 行四边形,再证明 DB=AC,可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论. 解答: (1)证明:∵BE⊥AC.DF⊥AC, ∴∠BEO=∠DFO=90°, ∵点 O 是 EF 的中点, ∴OE=OF, 又∵∠DOF=∠BOE, ∴△BOE≌△DOF(ASA) ; (2)解:四边形 ABCD 是矩形.理由如下: ∵△BOE≌△DOF, ∴OB=OD, 又∵OA=OC, ∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∵OA=

1 1 BD,OA= AC, 2 2

∴BD=AC, ∴?ABCD 是矩形. 点评:此题主要考查了全等三角形的判定与性质,以及矩形的判定,关键是熟练掌握矩形的 判定定理:①矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形;②有三个角是直角的四边 形是矩形;③对角线相等的平行四边形是矩形(或“对角线互相平分且相等的四边形是矩 形” ) . 3. (2012?威海)如图,在?ABCD 中,AE,CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线,添加一个 条件,仍无法判断四边形 AECF 为菱形的是( ) A.AE=AF B.EF⊥AC C.∠B=60° D.AC 是∠EAF 的平分线

考点:菱形的判定;平行四边形的性质.分析:根据平行四边形性质推出∠B=∠D,∠DAB= ∠DCB,AB=CD,AD=BC,求出∠BAE=∠DCF,证△ABE≌△CDF,推出 AE=CF,BE=DF, 求出 AF=CE,得出四边形 AECF 是平行四边形,再根据菱形的判定判断即可.解答:解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠B=∠D,∠DAB=∠DCB,AB=CD,AD=BC, ∵AE,CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线, ∴∠DCF=

1 1 ∠DCB,∠BAE= ∠BAD, 2 2

∴∠BAE=∠DCF, ∵在△ABE 和△CDF 中 ∠D=∠B AB=CD ∠DCF=∠BAE , ∴△ABE≌△CDF, ∴AE=CF,BE=DF, ∵AD=BC, ∴AF=CE, ∴四边形 AECF 是平行四边形, A、∵四边形 AECF 是平行四边形,AE=AF, ∴平行四边形 AECF 是菱形,故本选项正确; B、∵EF⊥AC,四边形 AECF 是平行四边形, ∴平行四边形 AECF 是菱形,故本选项正确; C、根据∠B=60°和平行四边形 AECF 不能推出四边形是菱形,故本选项错误; D、∵四边形 AECF 是平行四边形, ∴AF∥BC, ∴∠FAC=∠ACE, ∵AC 平分∠EAF, ∴∠FAC=∠EAC, ∴∠EAC=∠ECA, ∴AE=EC, ∵四边形 AECF 是平行四边形, ∴四边形 AECF 是菱形,故本选项正确; 故选 C.点评:本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判 定、平行线的性质等知识点,主要考查学生的推理能力. 4. (2012?聊城)如图,矩形 ABCD 的对角线相交于点 O,DE∥AC,CE∥BD. 求证:四边形 OCED 是菱形.

考点:菱形的判定;矩形的性质.专题:证明题. 分析:首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形 OCED 是平行四边形, 再根据矩形的性质可得 OC=OD,即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论. 解答:证明:∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形 OCED 是平行四边形, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴OC=OD, ∴四边形 OCED 是菱形. 点评: 此题主要考查了菱形的判定, 矩形的性质, 关键是掌握菱形的判定方法: ①菱形定义: 一组邻边相等的平行四边形是菱形; ②四条边都相等的四边形是菱形; ③对角线互相垂直的 平行四边形是菱形. 5. (2012?济宁)如图,AD 是△ABC 的角平分线,过点 D 作 DE∥AB,DF∥AC,分别交 AC、AB 于点 E 和 F. (1)在图中画出线段 DE 和 DF; (2)连接 EF,则线段 AD 和 EF 互相垂直平分,这是为什么?

考点:菱形的判定与性质;作图—复杂作图. 分析: (1)根据题目要求画出线段 DE、DF 即可; (2)首先证明四边形 AEDF 是平行四边形,再证明∠EAD=∠EDA,根据等角对等边可得 EA=ED,由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证明四边形 AEDF 是菱形,再根据菱形 的性质可得线段 AD 和 EF 互相垂直平分. 解答:解(1)如图所示;

(2)∵DE∥AB,DF∥AC, ∴四边形 AEDF 是平行四边形, ∵AD 是△ABC 的角平分线, ∴∠FAD=∠EAD, ∵AB∥DE,

∴∠FAD=∠EDA, ∴∠EAD=∠EDA, ∴EA=ED, ∴平行四边形 AEDF 是菱形, ∴AD 与 EF 互相垂直平分. 点评:此题主要考查了画平行线,菱形的判定与性质,关键是掌握菱形的判定方法,判定四 边形为菱形可以结合菱形的性质证出线段相等,角相等,线段互相垂直且平分.

【备考真题过关】 一、选择题
1. (2012?南通) 如图,矩形 ABCD 的对角线 AC=8cm, ∠AOD=120°, 则 AB 的长为 ( A. 3cm B.2cm C.2 3 D.4cm )

考点:矩形的性质;等边三角形的判定与性质. 分析:根据矩形的对角线相等且互相平分可得 AO=BO=

1 AC,再根据邻角互补求出∠AOB 2

的度数,然后得到△AOB 是等边三角形,再根据等边三角形的性质即可得解. 解:在矩形 ABCD 中,AO=BO=

1 AC=4cm, 2

∵∠AOD=120°, ∴∠AOB=180°-120°=60°, ∴△AOB 是等边三角形, ∴AB=AO=4cm. 故选 D. 点评:本题考查了矩形的性质,等边三角形的判定与性质,判定出△AOB 是等边三角形是 解题的关键. 2.(2012?黄冈)若顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是矩形,则四边形 ABCD 一定是( ) A.矩形 B.菱形 C.对角线互相垂直的四边形 D.对角线相等的四边形 考点:矩形的判定;三角形中位线定理. 分析:此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解;首先根据三角形中位线定理知:所 得四边形的对边都平行且相等,那么其必为平行四边形,若所得四边形是矩形,那么邻边互 相垂直,故原四边形的对角线必互相垂直,由此得解. 解:已知:如右图,四边形 EFGH 是矩形,且 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的 中点,求证:四边形 ABCD 是对角线垂直的四边形.

证明:由于 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点, 根据三角形中位线定理得:EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG; ∵四边形 EFGH 是矩形,即 EF⊥FG, ∴AC⊥BD, 故选 C.

点评: 本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理, 解题的关键是构造三角形利用三角 形的中位线定理解答. 3. (2012?大连)如图,菱形 ABCD 中,AC=8,BD=6,则菱形的周长是( ) A.20 B.24 C.28 D.40

3.考点:菱形的性质;勾股定理.专题:数形结合. 分析:据菱形对角线互相垂直平分的性质,可以求得 BO=OD,AO=OC,在 Rt△AOD 中, 根据勾股定理可以求得 AB 的长,即可求菱形 ABCD 的周长. 解:∵菱形对角线互相垂直平分, ∴BO=OD=3,AO=OC=4, ∴AB=

AO2 ? BO2 =5,

故菱形的周长为 20. 故选 A.

点评:本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了菱形各边长相等的性质,本题中 根据勾股定理计算 AB 的长是解题的关键. 4. (2012?张家界)顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 考点:菱形的判定;三角形中位线定理;矩形的性质.

分析:因为题中给出的条件是中点,所以可利用三角形中位线性质,以及矩形对角线相等去 证明四条边都相等,从而说明是一个菱形. 解答:解:连接 AC、BD, 在△ABD 中, ∵AH=HD,AE=EB

1 BD, 2 1 1 1 同理 FG= BD,HG= AC,EF= AC, 2 2 2
∴EH= 又∵在矩形 ABCD 中,AC=BD, ∴EH=HG=GF=FE, ∴四边形 EFGH 为菱形. 故选 C.

5. (2012?丹东)如图,菱形 ABCD 的周长为 24cm,对角线 AC、BD 相交于 O 点,E 是 AD 的中点,连接 OE,则线段 OE 的长等于( ) A.3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm

考点:菱形的性质;三角形中位线定理. 分析: 先求出菱形的边长 AB, 再根据菱形的对角线互相平分判断出 OE 是△ABD 的中位线, 然后根据三角形的中位线等于第三边的一半解答. 解:∵菱形 ABCD 的周长为 24cm, ∴边长 AB=24÷4=6cm, ∵对角线 AC、BD 相交于 O 点, ∴BO=DO, 又∵E 是 AD 的中点, ∴OE 是△ABD 的中位线, ∴OE=

1 1 AB= ×6=3cm. 2 2

故选 A. 点评:本题考查了菱形的对角线互相平分的性质,三角形的中位线定理,是基础题,求出

OE 等于菱形边长的一半是解题的关键. 6. (2012?泸州)如图,菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O,若 AC=6,BD=4,则菱形的周 长是( ) A.24 B.16 C.4 13 D.2 3

考点:菱形的性质;勾股定理. 分析:由菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O,AC=6,BD=4,即可得 AC⊥BD,求得 OA 与 OB 的长,然后利用勾股定理,求得 AB 的长,继而求得答案. 解答:解:∵四边形 ABCD 是菱形,AC=6,BD=4, ∴AC⊥BD,OA=

1 1 AC=3,OB= D=2,AB=BC=CD=AD, 2 2

∴在 Rt△AOB 中,AB= OA2 +OB2 = 13 , ∴菱形的周长是:4AB=4 13 . 故选 C. 点评:此题考查了菱形的性质与勾股定理.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.

7. (2012?恩施州)如图,菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3,∠A=120°,则 图中阴影部分的面积是( ) A. 3 B.2 C.3 D. 2

考点:菱形的性质;解直角三角形.专题:常规题型. 分析:设 BF、CE 相交于点 M,根据相似三角形对应边成比例列式求出 CG 的长度,从而得 到 DG 的长度,再求出菱形 ABCD 边 CD 上的高与菱形 ECGF 边 CE 上的高,然后根据阴影 部分的面积=S△BDM+S△DFM,列式计算即可得解. 解答:解:如图,设 BF、CE 相交于点 M, ∵菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3, ∴△BCM∽△BGF,

CM BC ? , GF BG CM 2 ? 即 , 3 2?3
∴ 解得 CM=1.2, ∴DM=2-1.2=0.8, ∵∠A=120°, ∴∠ABC=180°-120°=60°, ∴菱形 ABCD 边 CD 上的高为 2sin60°=2×

3 ? 3, 2

菱形 ECGF 边 CE 上的高为 3sin60°=3×

3 3 3 , ? 2 2 3 3 = 2

∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM=1 2 ×0.8× 3 +1 2 ×0.8× 故选 A.

3.

点评:本题考查了菱形的性质,解直角三角形,把阴影部分分成两个三角形的面积,然后利 用相似三角形对应边成比例求出 CM 的长度是解题的关键.

8. (2012?贵港)如图,在菱形 ABCD 中,AB=BD,点 E、F 分别在 BC、CD 上,且 BE=CF, 连接 BF、DE 交于点 M,延长 ED 到 H 使 DH=BM,连接 AM,AH,则以下四个结论: ①△BDF≌△DCE;②∠BMD=120°;③△AMH 是等边三角形;④S 四边形 ABCD= 其中正确结论的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

3 AM2. 4

考点:菱形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的判定与性质. 分析:根据菱形的四条边都相等,先判定△ABD 是等边三角形,再根据菱形的性质可得∠ BDF=∠C=60°,再求出 DF=CE,然后利用“边角边”即可证明△BDF≌△DCE,从而判 定①正确;根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠EDC,然后利用三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个内角的和可以求出∠DMF=∠BDC=60°, 再根据平角等于 180°即可求 出∠BMD=120°,从而判定②正确;根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和以及平行线的性质求出∠ABM=∠ADH,再利用“边角边”证明△ABM 和△ADH 全等, 根据全等三角形对应边相等可得 AH=AM,对应角相等可得∠ BAM=∠DAH,然后求出∠ MAH=∠BAD=60°,从而判定出△AMH 是等边三角形,判定出③正确;根据全等三角形的 面积相等可得△AMH 的面积等于四边形 ABMD 的面积,然后判定出④错误. 解:在菱形 ABCD 中,∵AB=BD, ∴AB=BD=AD, ∴△ABD 是等边三角形, ∴根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°, ∵BE=CF, ∴BC-BE=CD-CF, 即 CE=DF,

?CE=DF ? 在△BDF 和△DCE 中, ??BDF= ?C=60 ?BD=CD ?



∴△BDF≌△DCE(SAS) ,故①小题正确; ∴∠DBF=∠EDC, ∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°, ∴∠BMD=180°-∠DMF=180°-60°=120°,故②小题正确; ∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°,∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°, ∴∠DEB=∠ABM, 又∵AD∥BC, ∴∠ADH=∠DEB, ∴∠ADH=∠ABM,

?AB=AD ? 在△ABM 和△ADH 中, ??ADH= ?ABM , ?DH=BM ?
∴△ABM≌△ADH(SAS) , ∴AH=AM,∠BAM=∠DAH, ∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°,

∴△AMH 是等边三角形,故③小题正确; ∵△ABM≌△ADH, ∴△AMH 的面积等于四边形 ABMD 的面积, 又∵△AMH 的面积=

1 AM? 2

3 AM= 2

3 AM2, 4

∴S 四边形 ABMD=

3 AM2, 4

S 四边形 ABCD≠S 四边形 ABMD,故④小题错误, 综上所述,正确的是①②③共 3 个. 故选 C.

点评:本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,题目 较为复杂, 特别是图形的识别有难度, 从图形中准确确定出全等三角形并找出全等的条件是 解题的关键. 9. (2012?丹东)如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,点 E、F 分别在边 AB、BC 上,且 AE=BF=1,CE、DF 交于点 O.下列结论:①∠DOC=90°,②OC=OE,③tan∠OCD= ④S△ODC=S 四边形 BEOF 中,正确的有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 )

4 , 3

考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;锐角三角函数的定义. 分析:由正方形 ABCD 的边长为 4,AE=BF=1,利用 SAS 易证得△EBC≌△FCD,然后全等 三角形的对应角相等,易证得①∠DOC=90°正确;②由线段垂直平分线的性质与正方形的 性质,可得②错误;易证得∠OCD=∠DFC,即可求得③正确;由①易证得④正确. 解答:解:∵正方形 ABCD 的边长为 4, ∴BC=CD=4,∠B=∠DCF=90°, ∵AE=BF=1, ∴BE=CF=4-1=3, 在△EBC 和△FCD 中,

? BC=CD ? ∵ ??B= ?DCF ? BE=CF ?



∴△EBC≌△FCD(SAS) , ∴∠CFD=∠BEC, ∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°, ∴∠DOC=90°; 故①正确; 若 OC=OE, ∵DF⊥EC, ∴CD=DE, ∵CD=AD<DE(矛盾) , 故②错误; ∵∠OCD+∠CDF=90°,∠CDF+∠DFC=90°, ∴∠OCD=∠DFC, ∴tan∠OCD=tan∠DFC=

DC 4 = , FC 3

故③正确; ∵△EBC≌△FCD, ∴S△EBC=S△FCD, ∴S△EBC-S△FOC=S△FCD-S△FOC, 即 S△ODC=S 四边形 BEOF. 故④正确. 故选 C.

点评:此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函 数等知识.此题综合性较强,难度适中,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用. 10. (2012?泸州) 如图, 边长为 a 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°得到正方形 A′B′ C′D′,图中阴影部分的面积为( ) A.

1 2 a 2

B.

3 2 a 3

C. (1 ?

3 2 )a 4

D. (1 ?

3 2 )a 3

考点:正方形的性质;旋转的性质;解直角三角形. 分析:设 B′C′与 CD 交于点 E.由于阴影部分的面积=S
ABCD=

正方形 ABCD

-S

四边形 AB′ED

,又 S

正方形

a 2 ,所以关键是求 S 四边形 AB′ED.为此,连接 AE.根据 HL 易证△AB′E≌△ADE,得

出 ∠ B ′ AE= ∠ DAE=30 ° . 在 直 角 △ ADE 中 , 由 正 切 的 定 义 得 出 DE=AD ? tan ∠ DAE=

3 a .再利用三角形的面积公式求出 S 四边形 AB′ED=2S△ADE. 3

解答:解:如图,设 B′C′与 CD 交于点 E,连接 AE.

? ?AB?E= ?ADE=90 ? 在△AB′E 与△ADE 中, ? AE=AE , ?AB?=AD ?
∴△AB′E≌△ADE(HL) , ∴∠B′AE=∠DAE. ∵∠BAB′=30°,∠BAD=90°, ∴∠B′AE=∠DAE=30°, ∴DE=AD?tan∠DAE=

3 a. 3
1 3 ×a× a= 2 3

∴S 四边形 AB′ED=2S△ADE=2×

3 2 a. 3

∴阴影部分的面积=S 正方形 ABCD-S 四边形 AB′ED= (1 ? 故选:D.

3 2 )a . 3

点评:本题主要考查了正方形、旋转的性质,直角三角形的判定及性质,图形的面积以及三 角函数等知识,综合性较强,有一定难度.

二、填空题

11. (2012?十堰)如图,矩形 ABCD 中,AB=2,AD=4,AC 的垂直平分线 EF 交 AD 于点 E、 交 BC 于点 F,则 EF= . 11. 5

考点:矩形的性质;线段垂直平分线的性质;勾股定理;相似三角形的判定与性质.专题: 计算题. 分析:过 D 作 DK 平行 EF 交 CF 于 K,得出平行四边形 DEFK,推出 EF=DK,证△DCK∽ △CBA,求出 CK,根据勾股定理求出 DK 即可. 解:过 D 作 DK 平行 EF 交 CF 于 K, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,∠ABC=∠DCB=90°,AD=BC=4,AB=CD=2, ∵AD∥BC,EF∥DK, ∴DEFK 为平行四边形, ∴EF=DK, ∵EF⊥AC, ∴DK⊥AC, ∴∠DPC=90°, ∵∠DCB=90°, ∴∠CDK+∠DCP=90°,∠DCP+∠ACB=90°, ∴∠CDK=∠ACB, ∵∠DCK=∠ABC=90°, ∴△CDK∽△BCA,

CD BC ? , CK AB 2 4 ? , 即 CK 2
∴ CK=1,

根据勾股定理得:EF=DK= 5 , 故答案为: 5 . 点评:本题考查了矩形性质,相似三角形的性质和判定,勾股定理,线段的垂直平分线性质 的应用,关键是求出 EO 长,用的数学思想是方程思想. 12. (2012?山西)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的对角线 AC 平行于 x 轴,边 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 30°,OC=2,则点 B 的坐标是 .

12. (2, 2 3) 考点:矩形的性质;坐标与图形性质;解直角三角形. 分析:过点 B 作 DE⊥OE 于 E,有 OC=2,边 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 30°,可求出 AC 的长, 根据矩形的性质可得 OB 的长, 进而求出 BE,OE 的长,从而求出点 B 的坐标.解答: 解:过点 B 作 DE⊥OE 于 E, ∵矩形 OABC 的对角线 AC 平行于 x 轴,边 OA 与 x 轴正半轴的夹角为 30°, ∴∠CAO=30°, ∴AC=4, ∴OB=AC=4, ∴OE=2, ∴BE=2 3 , ∴则点 B 的坐标是 (2, 2 3) , 故答案为: (2, 2 3) .

点评: 本题考查了矩形的性质, 直角三角形的性质以及勾股定理的运用和解直角三角形的有 关知识,解题的关键是作高线得到点的坐标的绝对值的长度, 13. (2012?宁夏) 如图, 在矩形 ABCD 中, 对角线 AC、 BD 相交于 O, DE⊥AC 于 E, ∠EDC: ∠EDA=1:2,且 AC=10,则 DE 的长度是 .

13.考点:矩形的性质;含 30 度角的直角三角形;勾股定理. 分析:根据∠EDC:∠EDA=1:2,可得∠EDC=30°,∠EDA=60°,进而得出△OCD 是等 边三角形,再由 AC=10,求得 DE.解答:解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠ADC=90°,AC=BD=10,OA=OC=

1 1 AC=5,OB=OD= BD=5, 2 2

∴OC=OD, ∴∠ODC=∠OCD, ∵∠EDC:∠EDA=1:2,∠EDC+∠EDA=90°, ∴∠EDC=30°,∠EDA=60°, ∵DE⊥AC, ∴∠DEC=90°, ∴∠DCE=90°-∠EDC=60°, ∴∠ODC=∠OCD=60°, ∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°, ∴∠COD=60°, ∴△OCD 是等边三角形, DE=sin60°?OD=

3 5 3 ?5 ? , 2 2

故答案为

5 3 . 2

点评:本题主要考查了勾股定理和矩形的性质,根据已知得出三角形 OCD 是等边三角形是 解题关键,此题难度不大.

14. (2012?龙岩)如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=6,E 是斜边 AB 上任意一点, 作 EF⊥AC 于 F,EG⊥BC 于 G,则矩形 CFEG 的周长是 .

14.12 考点:矩形的性质;等腰三角形的性质;等腰直角三角形. 分析:推出四边形 FCGE 是矩形,得出 FC=EG,FE=CG,EF∥CG,EG∥CA,求出∠BEG= ∠B,推出 EG=BG,同理 AF=EF,求出矩形 CFEG 的周长是 CF+EF+EG+CG=AC+BC,代 入求出即可. 解:∵∠C=90°,EF⊥AC,EG⊥BC, ∴∠C=∠EFC=∠EGC=90°, ∴四边形 FCGE 是矩形, ∴FC=EG,FE=CG,EF∥CG,EG∥CA, ∴∠BEG=∠A=45°=∠B, ∴EG=BG, 同理 AF=EF, ∴矩形 CFEG 的周长是 CF+EF+EG+CG=CF+AF+BG+CG=AC+BC=6+6=12, 故答案为:12. 点评:本题考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形、矩形的判定和性质,能求出矩形 CFEG 的周长=AC+BC 是解此题的关键.

16. (2012?毕节地区)我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形.现 有一个对角线分别为 6cm 和 8cm 的菱形,它的中点四边形的对角线长是 . 16.5cm 考点:矩形的判定与性质;勾股定理;三角形中位线定理;菱形的性质. 分析: 顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形, 且矩形的边长分别是菱形对角线的 一半,问题得解. 解答:解:∵顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形; 理由如下: ∵E、F、G、H 分别为各边中点 ∴EF∥GH∥DB,EF=GH= EH=FG=

1 DB 2

1 AC,EH∥FG∥AC 2

∵DB⊥AC, ∴EF⊥EH, ∴四边形 EFGH 是矩形, ∵EH= ∴HF=

1 1 BD=3cm,EF= AC=4cm, 2 2

EH 2 ? EF 2 =5cm.

故答案为:5cm.

点评:本题考查菱形的性质,菱形的四边相等,对角线互相垂直,连接菱形各边的中点得到 矩形,且矩形的边长是菱形对角线的一半以及勾股定理的运用. 17. (2012?肇庆)菱形的两条对角线长分别为 6 和 8,则这个菱形的周长为 .

17.20 考点:菱形的性质;勾股定理. 分析:根据菱形的对角线互相垂直平分的性质,利用对角线的一半,根据勾股定理求出菱形 的边长,再根据菱形的四条边相等求出周长即可. 解:如图所示, 根据题意得 AO=

1 1 ×8=4,BO= ×6=3, 2 2

∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=BC=CD=DA,AC⊥BD, ∴△AOB 是直角三角形, ∴AB=

AO2 +BO2 = 16+9 =5,

∴此菱形的周长为:5×4=20. 故答案为:20.

点评:本题主要考查了菱形的性质,利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键,同学们也 要熟练掌握菱形的性质:①菱形的四条边都相等;②菱形的两条对角线互相垂直,并且每一 条对角线平分一组对角.

18. (2012?西宁)如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,AC=12,BD=16, E 为 AD 中点,点 P 在 x 轴上移动,小明同学写出了两个使△POE 为等腰三角形的 P 点坐 标(-5,0)和(5,0) .请你写出其余所有符合这个条件的 P 点坐标 .

18. (8, 0), (

25 , 0) 8

考点: 菱形的性质; 坐标与图形性质; 等腰三角形的判定. 分析: 由在菱形 ABCD 中, AC=12, BD=16,E 为 AD 中点,根据菱形的性质与直角三角形的性质,易求得 OE 的长,然后分别 从①当 OP=OE 时,②当 OE=PE 时,③当 OP=EP 时去分析求解即可求得答案. 解答:解:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AC⊥BD,OA=

1 1 1 1 1 2 AC= ×12=6,OD= BD= ×16=8, 2 2 2 2

∴在 Rt△AOD 中,AD= ∵E 为 AD 中点, ∴OE=

OA2 +OD2 =10,

1 1 AD= ×10=5, 2 2

①当 OP=OE 时,P 点坐标(-5,0)和(5,0) ; ②当 OE=PE 时,此时点 P 与 D 点重合,即 P 点坐标为(8,0) ; ③如图,当 OP=EP 时,过点 E 作 EK⊥BD 于 K,作 OE 的垂直平分线 PF,交 OE 于点 F, 交 x 轴于点 P, ∴EK∥OA, ∴EK:OA=ED:AD=1:2, ∴EK= ∴OK=

1 OA=3, 2

OE2 -EK2 =4,

∵∠PFO=∠EKO=90°,∠POF=∠EOK, ∴△POF∽△EOK, ∴OP:OE=OF:OK, 即 OP:5=5 2 :4,

25 , 8 25 ∴P 点坐标为 ( , 0) . 8
解得:OP= ∴其余所有符合这个条件的 P 点坐标为: (8, 0), ( 故答案为: (8, 0), (

25 , 0) . 8

25 , 0) . 8

点评:此题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质.此题 难度较大,注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用.

19. (2012?宁德)如图,在菱形 ABCD 中,点 E、F 分别是 BD、CD 的中点,EF=6cm,则 AB= cm.

19.考点:菱形的性质;直角三角形斜边上的中线;三角形中位线定理.分析:连接 AC, 得出∠DEC=90°,根据直角三角形斜边上中线性质得出 EF= 解答:解: 连接 AC, ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB=CD,AC⊥BD, ∴∠DEC=90°, ∵F 为 CD 的中点, ∴EF=

1 CD,求出 CD 即可. 2

1 CD=6, 2

∴CD=12, ∴AB=CD=12, 故答案为:12.

点评:本题考查了直角三角形斜边上中线,三角形的中位线,菱形的性质,关键是求出 EF=

1 CD. 2

20. (2012?沈阳)如图,菱形 ABCD 的边长为 8cm,∠A=60°,DE⊥AB 于点 E,DF⊥BC 于点 F,则四边形 BEDF 的面积为 cm2.

20. 16 3 考点:菱形的性质;等边三角形的判定与性质. 分析:连接 BD,可得△ABD 是等边三角形,根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得 四边形 BEDF 的面积等于△ABD 的面积,然后求出 DE 的长度,再根据三角形的面积公式 列式计算即可得解. 解答:解:如图,连接 BD,∵∠A=60°,AB=AD(菱形的边长) , ∴△ABD 是等边三角形, ∴DE=

3 3 AD= ×8=4 3 cm, 2 2

根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得,四边形 BEDF 的面积等于△ABD 的面积,

1 ×8×4 2

3 = 16 3 cm2.

故答案为: 16 3 .

点评:本题考查了菱形的性质,等边三角形的判定与性质,作出辅助线构造出等边三角形是 解题的关键.

21. (2012?绵阳)如图,正方形的边长为 2,以各边为直径在正方形内画半圆,则图中阴影 部分的面积为 (结果保留两位有效数字,参考数据π ≈3.14)

21.1.7 考点:正方形的性质.专题:数形结合. 分析: 根据四个半圆的面积正好是正方形的面积但空白部分被重叠算了两次, 所以空白部分

的面积等于四个半圆的面积减去正方形的面积求出空白部分的面积, 再利用阴影部分的面积 等于正方形的面积减去空白部分的面积计算即可得解. 解答:解:根据图形,空白部分的面积=

1 2 π ( )2×4-2×2=2π -4, 2 2

阴影部分的面积=2×2-(2π -4) , =4-2π +4, =8-2π , ≈8-2×3.14, =8-6.28, =1.72, ≈1.7. 故答案为:1.7. 点评:本题考查了正方形的性质,观察图形,得出四个半圆的面积减去正方形的面积等于空 白部分的面积,然后列式求出空白部分的面积是解题的关键. 22. (2012?深圳)如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE,且 正方形对角线交于点 O,连接 OC,已知 AC=5,OC=6 2,则另一直角边 BC 的长为 .

22.7 考点:正方形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.专题:计算题.分析: 过 O 作 OF 垂直于 BC, 再过 A 作 AM 垂直于 OF, 由四边形 ABDE 为正方形, 得到 OA=OB, ∠AOB 为直角,可得出两个角互余,再由 AM 垂直于 MO,得到△AOM 为直角三角形,其 两个锐角互余,利用同角的余角相等可得出一对角相等,再由一对直角相等,OA=OB,利 用 AAS 可得出△AOM 与△BOF 全等, 由全等三角形的对应边相等可得出 AM=OF, OM=FB, 由三个角为直角的四边形为矩形得到 ACFM 为矩形,根据矩形的对边相等可得出 AC=MF, AM=CF,等量代换可得出 CF=OF,即△COF 为等腰直角三角形,由斜边 OC 的长,利用勾 股定理求出 OF 与 CF 的长,根据 OF-MF 求出 OM 的长,即为 FB 的长,由 CF+FB 即可求 出 BC 的长. 解答:解法一:如图 1 所示,过 O 作 OF⊥BC,过 A 作 AM⊥OF, ∵四边形 ABDE 为正方形, ∴∠AOB=90°,OA=OB, ∴∠AOM+∠BOF=90°, 又∠AMO=90°,∴∠AOM+∠OAM=90°, ∴∠BOF=∠OAM, 在△AOM 和△BOF 中,

??AMO= ?OFB=90 ? , ??OAM= ?BOF ?OA=OB ?
∴△AOM≌△BOF(AAS) , ∴AM=OF,OM=FB, 又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°, ∴四边形 ACFM 为矩形, ∴AM=CF,AC=MF=5, ∴OF=CF, ∴△OCF 为等腰直角三角形, ∵OC= 6 2 , ∴根据勾股定理得:CF2+OF2=OC2, 解得:CF=OF=6, ∴FB=OM=OF-FM=6-5=1, 则 BC=CF+BF=6+1=7. 故答案为:7.

解法二:如图 2 所示, 过点 O 作 OM⊥CA,交 CA 的延长线于点 M;过点 O 作 ON⊥BC 于点 N. 易证△OMA≌△ONB,∴OM=ON,MA=NB. ∴O 点在∠ACB 的平分线上,∴△OCM 为等腰直角三角形. ∵OC=6 2 ,∴CM=6. ∴MA=CM-AC=6-5=1, ∴BC=CN+NB=6+1=7. 故答案为:7.

点评:此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,以及等腰直角三角 形的判定与性质, 利用了转化及等量代换的思想, 根据题意作出相应的辅助线是解本题的关 键.

三、解答题

23. (2012?云南) 如图, 在矩形 ABCD 中, 对角线 BD 的垂直平分线 MN 与 AD 相交于点 M, 与 BD 相交于点 N,连接 BM,DN. (1)求证:四边形 BMDN 是菱形; (2)若 AB=4,AD=8,求 MD 的长.

考点:矩形的性质;线段垂直平分线的性质;勾股定理;平行四边形的判定;菱形的性质; 菱形的判定.专题:计算题;证明题.分析: (1)根据矩形性质求出 AD∥BC,根据 OB=OD 和 AD∥BC 推出 OM=ON,得出平行四边形 BMDN,推出菱形 BMDN; (2)根据菱形性质求出 DM=BM,在 Rt△AMB 中,根据勾股定理得出 BM2=AM2+AB2,推 出 x2=x2-16x+64+16,求出即可.解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BC,∠A=90°, ∵MN 是 BD 的中垂线, ∴OB=OD,BD⊥MN,

OM OD ? , ON OB

∴BM=DM, ∵OB=OD, ∴四边形 BMDN 是平行四边形, ∵MN⊥BD, ∴平行四边形 BMDN 是菱形. (2)解:∵四边形 BMDN 是菱形, ∴MB=MD, 设 MD 长为 x,则 MB=DM=x, 在 Rt△AMB 中,BM2=AM2+AB2 即 x2=(8-x)2+42,

解得:x=5, 答:MD 长为 5. 点评:本题考查了矩形性质,平行四边形的判定,菱形的判定和性质,勾股定理等知识点的 应用,对角线互相平分的四边形是平行四边形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

24. (2012?吉林)如图,在△ABC 中,AB=AC,D 为边 BC 上一点,以 AB,BD 为邻边作? ABDE,连接 AD,EC. (1)求证:△ADC≌△ECD; (2)若 BD=CD,求证:四边形 ADCE 是矩形.

考点:矩形的判定;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;平行四边形的性质.专 题:证明题. 分析: (1)根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质,利用全等三角形的判定定理 SAS 可以证得△ADC≌△ECD; (2)利用等腰三角形的“三合一”性质推知 AD⊥C=BC,即∠ADC=90°;由平行四边形 的判定定理(对边平行且相等是四边形是平行四边形)证得四边形 ADCE 是平行四边形, 所以有一个角是直角的平行四边形是矩形. 解答:证明: (1)∵四边形 ABDE 是平行四边形(已知) , ∴AB∥DE,AB=DE(平行四边形的对边平行且相等) ; ∴∠B=∠EDC(两直线平行,同位角相等) ; 又∵AB=AC(已知) , ∴AC=DE(等量代换) ,∠B=∠ACB(等边对等角) , ∴∠EDC=∠ACD(等量代换) ; 在△ADC 和△ECD 中,

? AC ? DE ? ??ACD ? ?EDC , ? DC ? CD ?
∴△ADC≌△ECD(SAS) ; (2)∵四边形 ABDE 是平行四边形(已知) , ∴BD∥AE,BD=AE(平行四边形的对边平行且相等) , ∴AE∥CD; 又∵BD=CD, ∴AE=CD(等量代换) , ∴四边形 ADCE 是平行四边形(对边平行且相等的四边形是平行四边形) ; 在△ABC 中,AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC(等腰三角形的“三合一”性质) , ∴∠ADC=90°,

∴?ADCE 是矩形. 点评: 本题综合考查了平行四边形的判定与性质、 全等三角形的判定以及矩形的判定. 注意: 矩形的判定定理是“有一个角是直角的‘平行四边形’是矩形” ,而不是“有一个角是直角 的‘四边形’是矩形” .

25. (2012?青海)已知:如图,D 是△ABC 的边 AB 上一点,CN∥AB,DN 交 AC 于点 M, MA=MC. ①求证:CD=AN; ②若∠AMD=2∠MCD,求证:四边形 ADCN 是矩形.

考点:矩形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的判定与性质.专题:证明题. 分析: ①根据两直线平行, 内错角相等求出∠DAC=∠NCA, 然后利用“角边角” 证明△AND 和△CMN 全等,根据全等三角形对应边相等可得 AD=CN,然后判定四边形 ADCN 是平行 四边形,再根据平行四边形的对边相等即可得证; ②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD=∠MDC, 再根据等角 对等边可得 MD=MC,然后证明 AC=DN,再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证. 解答:证明:①∵CN∥AB, ∴∠DAC=∠NCA, 在△AND 和△CMN 中,

??DAC ? ?NCA ? ∵ ? MA ? MC , ??AMD ? ?CMN ?
∴△AND≌△CMN(ASA) , ∴AD=CN, 又∵AD∥CN, ∴四边形 ADCN 是平行四边形, ∴CD=AN; ②∵∠AMD=2∠MCD∠AMD=∠MCD+∠MCD, ∴∠MCD=∠MDC, ∴MD=MC, 由①知四边形 ADCN 是平行四边形, ∴MD=MN=MA=MC, ∴AC=DN, ∴四边形 ADCN 是矩形. 点评:本题考查了矩形的判定,平行四边形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,熟练 掌握平行四边形与矩形之间的关系,并由第一问求出四边形 ADCN 是平行四边形是解题的

关键. 27. (2012?温州)如图,△ABC 中,∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm.将△ABC 沿射线 BC 方向平移 10cm,得到△DEF,A,B,C 的对应点分别是 D,E,F,连接 AD.求证:四边 形 ACFD 是菱形.

考点:菱形的判定;勾股定理;平移的性质.专题:证明题. 分析: 根据平移的性质可得 CF=AD=10cm, DF=AC, 再在 Rt△ABC 中利用勾股定理求出 AC 的长为 10,就可以根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论. 解答:证明:由平移变换的性质得: CF=AD=10cm,DF=AC, ∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm, ∴AC=

AB2 +CB2 = 36+64 =10,

∴AC=DF=AD=CF=10, ∴四边形 ACFD 是菱形. 点评:此题主要考查了平移的性质,菱形的判定,关键是掌握平移的性质:各组对应点的线 段平行且相等;菱形的判定:四条边都相等的四边形是菱形.

28. (2012?重庆)已知:如图,在菱形 ABCD 中,F 为边 BC 的中点,DF 与对角线 AC 交 于点 M,过 M 作 ME⊥CD 于点 E,∠1=∠2. (1)若 CE=1,求 BC 的长; (2)求证:AM=DF+ME.

考点:菱形的性质;全等三角形的判定与性质.专题:综合题. 分析: (1)根据菱形的对边平行可得 AB∥CD,再根据两直线平行,内错角相等可得∠1= ∠ACD,所以∠ACD=∠2,根据等角对等边的性质可得 CM=DM,再根据等腰三角形三线合 一的性质可得 CE=DE,然后求出 CD 的长度,即为菱形的边长 BC 的长度; (2) 先利用 “边角边” 证明△CEM 和△CFM 全等, 根据全等三角形对应边相等可得 ME=MF, 延长 AB 交 DF 于点 G,然后证明∠1=∠G,根据等角对等边的性质可得 AM=GM,再利用

“角角边”证明△CDF 和△BGF 全等,根据全等三角形对应边相等可得 GF=DF,最后结合 图形 GM=GF+MF 即可得证. 解答: (1)解:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB∥CD, ∴∠1=∠ACD, ∵∠1=∠2, ∴∠ACD=∠2, ∴MC=MD, ∵ME⊥CD, ∴CD=2CE, ∵CE=1, ∴CD=2, ∴BC=CD=2; (2)证明:如图,∵F 为边 BC 的中点, ∴BF=CF=

1 BC, 2

∴CF=CE, 在菱形 ABCD 中,AC 平分∠BCD, ∴∠ACB=∠ACD, 在△CEM 和△CFM 中,

?CE=CF ? ∵ ? ?ACB= ?ACD ? CM=CM ?



∴△CEM≌△CFM(SAS) , ∴ME=MF, 延长 AB 交 DF 于点 G, ∵AB∥CD, ∴∠G=∠2, ∵∠1=∠2, ∴∠1=∠G, ∴AM=MG, 在△CDF 和△BGF 中,

? ?G= ?2 ? ∵ ??BFG= ?CFD ? BF=CF ?



∴△CDF≌△BGF(AAS) , ∴GF=DF, 由图形可知,GM=GF+MF, ∴AM=DF+ME.

点评:本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等角对等边的性质,作出辅助线 构造出全等三角形是解题的关键.


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