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(11)2014届哈师大附中、东北师大附中辽宁省实验中学高三第二次模拟考试 数学试卷(文史类)


2015 年宁夏海南(黑吉辽宁琼豫晋新冀蒙滇甘黔青)高考考生必备用卷 新课标高考模拟试题汇编(数学试卷)

2015 年普通高等学校招生模拟考试(新课标 第十一套)

12. 设函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,若对任意 x ? R 都有 f ?( x) ? f ( x) 成立,则 A. f (ln 2014) ? 2014 f (0) C. f (ln 2014) ? 2014 f (0) B. f (ln 2014) ? 2014 f (0) D. f (ln 2014) 与 2014 f (0) 的大小关系不确定

数学试卷(文史类) (选自 2014 届东北三省三校高三第二次联合模拟考试)
(东北三省三校:哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22、23、24 题为选考题,其它题为必考题。满分 150 分,考试时间 120 分钟

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分。 )

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答, 第 22 题~第 24 题为选考题, 考生根据要求做答。 13. 观察下列等式 13 ? 12 ,13 ? 23 ? 32 ,13 ? 23 ? 33 ? 62 ,13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102 , … ,根据上述规律,第 n 个等式为 __________。 14. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为____________。

第Ⅰ卷

选择题
(CU B) =

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 )
1. 若 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8}, A ? {1, 2,3}, B ? {5,6,7} ,则 (CU A) A. {4,8} 2. 已知复数 z ? ? B. {2,4,6,8} C. {1,3,5,7} D. {1,2,3,5,6,7}

1 3 ? i ,则 z ? | z | = 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 A. ? ? B. ? ? C. D. i i ? i ? i 2 2 2 2 2 2 2 2 3. 已知数列 {an } 满足 2an?1 ? an ? 0, a2 ? 1,则数列 {an } 的前 10 项和 S10 为 4 10 4 10 4 ?10 4 (2 ? 1) (2 ? 1) (2 ? 1) D. (2 ?10 ? 1) A. B. C. 3 3 3 3 1 2 ? 4. 已知 sin ? ? cos ? ? ,则 sin ( ? ? ) ? 3 4 1 17 8 2 A. B. C. D. 9 18 18 9 3 ? 1 ,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则 k 的取值范围是 5. 已知: p : x ? k , q : x ?1 A. [2, ??) B. (2, ??) C. [1, ??) D. (??, ?1] 1 C ? 3 sin B ,且 6. 已知 △ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c ,若 cos A ? , sin 3 S?ABC ? 2 ,则 b ?
A. 1 B. 2 3 C. 3 2 D. 3 7. 已知△ ABC 中, | BC |? 10, AB ? AC ? ?16, D 为边 BC 的中点,则 | AD | 等于 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 在某次测量中得到的 A 样本数据如下:42,43,46,52,42,50,若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都减 5 后所得数据,则 A、B 两样本的下列数字特征对应相同的是 A. 平均数 B. 标准差 C. 众数 D. 中位数 9. 已知某算法的流程图如图所示,若输入 x ? 7, y ? 6 ,则输出的有序数对为 A. (13,14) B. (12,13) C. (14,13) D. (13,12) 10. 将函数 h( x) ? 2sin(2 x ? 的图象与函数 h( x) 的图象 A. 关于直线 x ? 0 对称
2 2

?x ? 0 ?y ? 0 ? 15. 设 x , y 满足 ? ,则 z ? 3x ? 4 y 的最大值为___________。 ? x ? y ?1 ? 0 ? ?x ? 2 y ? 2 ? 0 16. P 为正方体 ABCD ? A1B1C1D1 对角线 BD1 上的一点,且 BP ? ? BD1 (? ? (0,1)) 。
下面结论: ① A1D ? C1P ;

1 ; 3 ? 1? ③ 若△ PAC 为钝角三角形,则 ? ? ? 0, ? ; ? 2? 2 ④ 若 ? ? ( ,1) ,则△ PAC 为锐角三角形。 3
② 若 BD1 ? 平面 PAC,则 ? ? 其中正确的结论为___________。 (写出所有正确结论的序号)

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 )
17. (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对任意的正整数 n,都有 an ? 5Sn ? 1 成立。 (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )设 bn ? log4 | an | ,求数列 {

1 } 前 n 项和 Tn 。 bn ? bn?1

?

4

) 的图象向右平移

? 个单位, 再向上平移 2 个单位,得到函数 f ( x ) 的图象, 则函数 f ( x ) 4
C. 关于点(1,0)对称 D. 关于点(0,1)对称

B. 关于直线 x ? 1 对称

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦点 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) (c ? 0) ,过 F2 的直线 l 交双曲线于 A,D 两点,交 2 a b 渐近线于 B,C 两点。设 F ? m, F1 A ? F1D ? n ,则下列各式成立的是 1B ? FC 1 A. | m |?| n | B. | m |?| n | C. | m ? n |? 0 D. | m ? n |? 0
11. 已知双曲线

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18. (本小题满分 12 分) 某个团购网站为了更好地满足消费者,对在其网站发布的团购产品展 开了用户调查,每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分,最 高分是 10 分。上个月该网站共卖出了 100 份团购产品,所有用户打分的 平均分作为该产品的参考分值,将这些产品按照得分分成以下几组:第一 组[0,2) ,第二组[2,4) ,第三组[4,6) ,第四组[6,8) ,第五组[8,10], 得到的频率分布直方图如图所示。 (Ⅰ )分别求第三,四,五组的频率; (Ⅱ )该网站在得分较高的第三,四,五组中用分层抽样的方法抽取 了 6 个产品作为下个月团购的特惠产品,某人决定在这 6 个产品中随机抽 取 2 个购买,求他抽到的两个产品均来自第三组的概率。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? b ln x, g ( x) ? ax2 ? x(a ? R) 。 (Ⅰ )若曲线 f ( x ) 与 g ( x) 在公共点 A(1,0)处有相同的切线,求实数 a , b 的值; (Ⅱ )在第(Ⅰ )的条件下,证明: f ( x) ? g ( x) 在 (0, ??) 上恒成立; (Ⅲ )若 a ? 1, b ? 2e ,求方程 f ( x) ? g ( x) ? x 在区间 (1, eb ) 内实根的个数(e 为自然对数的底数) 。

22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已知 PQ 与圆 O 相切于点 A,直线 PBC 交圆于 B,C 两点,D 是圆上一点, 且 AB∥ CD,DC 的延长线交 PQ 于点 Q。 (Ⅰ )求证: AC 2 ? CQ ? AB ; (Ⅱ )若 AQ ? 2 AP, AB ? 3, BP ? 2 ,求 QD。 19. (本小题满分 12 分) 已 知 四 棱 柱 ABCD ? A1B1C1D1 的 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 菱 形 , ,点 M 是棱 AA1 的中点。 AA1 ? 2 3, BD ? A1 A ,∠BAD=∠A1 AC =60° (Ⅰ )求证: AC 平面 BMD; 1 ∥ (Ⅱ )求点 C1 到平面 BDD1B1 的距离。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线 C1 的极坐标方程为

?2 ?

2 4 ,直线 l 的极坐标方程为 ? ? 。 2 1 ? sin ? 2 sin ? ? cos ? (Ⅰ )写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ )设 Q 为曲线 C1 上一动点,求 Q 点到直线 l 距离的最小值。

20. (本小题满分 12 分) 已知圆 M: x ? ( y ? 2) ? 1,直线 l : y ? ?1 ,动圆 P 与圆 M 相外切,且与直线 l 相切,设动圆圆心 P 的轨迹为 E。 (Ⅰ )求 E 的方程;
2 2

(Ⅱ )若点 A,B 是 E 上的两个动点,O 为坐标原点,且 OA ? OB ? ?16 ,求证:直线 AB 恒过定点。 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a, b, c ? R, a ? b ? c ? 1 。
2 2 2

(Ⅰ )求证: | a ? b ? c |? 3 ; (Ⅱ )若不等式 | x ?1| ? | x ? 1|? (a ? b ? c) 对一切实数 a, b, c 恒成立,求实数 x 的取值范围。
2

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2015 年宁夏海南(黑吉辽宁琼豫晋新冀蒙滇甘黔青)高考考生必备用卷 新课标高考模拟试题汇编(数学试卷)

2015 年普通高等学校招生模拟考试(新课标 第十一套)

数学试卷(文)参考答案(选自 2014 届东北三省三校高三第二次联合模拟考试)
(东北三省三校:哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)
题号 答案 13. 1 ? 2 ? ??? ? n ?
3 3 3

1 A

2 D

3 C 14.

4 B

5 B

6 A 15. 3

7 D

8 B

9 A

10 D

11 C

12 C

A1M ? MA? ? ? ? MO // A1C ? AO ? OC ? ? ? MO ? 平面BMD ? ? A1C // 平面BMD ? A1C ? 平面BMD ? ? ?

………4 分

n 2 (n ? 1)2 4

125 2 ? 3

16.① ② ④

(Ⅱ )设过 C1 作 C1 H ? 平面 BDD1B1 于 H , BD ? AA1,BD ? AC得BD ? 面A1AC 于是 BD ? A1O

17. (Ⅰ )解:当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又

1 …2 分 4

an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1
………4 分

?an?1 ? an ? 5an?1 ,



an ?1 1 1 1 数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? ,公比为 q ? ? 的等比数列, ?? ∴ 4 4 an 4
1 4
………6 分

n ∴an ? ( ? )

? ABCD ? ? 1 ? ? ? ?BAD ? 60 ? ? AO ? AC ? 3 ? ? 2 ? ? AB ? 2 ? ? ? ? ? AA1 ? 2 3 ? ? A1O ? AC ? ? ? ? A1O ? 平面ABCD ………8 分 ? cos ?A1 AC ? 60 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A1O ? BD ? ?
又因为平面 ABCD // 平面 A1B1C1D1 ,

1 n (Ⅱ ) bn ? log4 (? ) ? ?n , 4
所以

………8 分

所以点 B 到平面 A1B1C1D1 的距离等于点 A ?3 1 到平面 ABCD 的距离 AO 1

………10 分

1 1 1 1 ? ? ? bnbn?1 n(n ? 1) n n ? 1 1 1 ? n ………12 分 ?( ? )? ? n n ?1 ? n ?1

………10 分

1 1 1 1 3 VB ? B1C1D1 ? VC1 ? BB1D1 ? ? A1O ? ? 2 ? 3 ? ? C1H ? ? 2 ? 2 3 ? C1H ? ………12 分 3 2 3 2 2
2 2 2 20. (Ⅰ )设 P ( x, y ) ,则 x ? ( y ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 ? x ? 8 y

1 1 1 ? Tn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3 ?

………4 分

(Ⅱ )设直线 AB : y ? kx ? b , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 18.(Ⅰ )解:第三组的频率是 0.150× 2=0.3;第四组的频率是 0.100× 2=0.2;第五组的频率是 0.050× 2=0.1 ………3 分 (Ⅱ )设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件 A , 由题意可知,分别抽取 3 个,2 个,1 个。 ………6 分 不妨设第三组抽到的是 A1 , A2 , A3 ;第四组抽到的是 B1 , B2 ;第五组抽到的是 C1 ,所含基本事件总数为:
2 将直线 AB 代入到 x ? 8 y 中得 x ? 8kx ? 8b ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 8k , x1 x2 ? ?8b ………6 分
2

又因为 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 所以恒过定点 (0, 4) 21. (Ⅰ ) f ( x) ?
'

2 x12 x2 ? ?8b ? b 2 ? ?16 ? b ? 4 64

………10 分

?A1, A2?,?A1, A3?,?A2 , A3?,?A1, B1?,?A1, B2?,?A1, C1?,?A2 , B1?, ?A2 , B2?,?A2 , C1?,?A3 , B1?,?A3 , B2?,?A3 , C1?, ?B1, B2?,?B1, C1?,?B2 , C1?
………10 分 所以 P ( A) ?

………12 分

b ' , g ( x) ? 2ax ? 1 x
………3 分
2

3 1 ? 15 5

………12 分

则?

? g (1) ? f (1) ? 0 ?a ? 1 ?? ' ' ? g (1) ? f (1) ?b ? 1

19. (Ⅰ )证明: 连结 MO

(Ⅱ )设 u( x) ? g ( x) ? f ( x) ? x ? x ? ln x ? x ? 0?

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? 2 x ? 1?? x ? 1? u ( x) ?
'

………5 分 ………4 分 (Ⅱ )

x

令 u ' ( x) ? 0 ? x ? 1

x
u ' ( x)
u ( x)

? 0,1?
?
?

1

?1, ???
?
?
………7 分

AB // CD ? ? BP AP AB 1 ? ? ? ? ? AP 1 ? ? ? ? PC PQ QC 3 ? ? ? QC ? 3 3, PC ? 6 AQ 2 ? ? ? BP ? 2, AB ? 3 ?
AP 为 O 切线 ? AP2 ? PB ? PC ? 12 ? QA ? 4 3
2 又因为 AQ 为 O 切线 ? AQ ? QC ? QD ? QD ?

0
极小

16 3 3

………10 分

所以, u ? x ? ? u ?1? ? 0 即 g ( x) ? f ( x) (Ⅲ )
2 b 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? b ln x ? x x ? (1, e ) ,

23. (Ⅰ ) C1 : x2 ? 2 y 2 ? 2 , l : 2 y ? x ? 4

………5 分

?

?

(Ⅱ )设 Q

?

2 cos ? ,sin ? ,则点 Q 到直线 l 的距离

?

b ? 2 x2 b ' h ( x) ? ,令 h ( x) ? 0 ? x ? ? e x 2
'

………8 分

d?

2 sin ? ? 2 cos ? ? 4 3

x
h ' ( x)
h( x )
所以,原问题 h极大 ? x ? ? h ?

? b? ? ?1, 2 ? ? ? ?

1

? b b? ? ? 2,e ? ? ? ?

2sin(? ? ) ? 4 2 4 ? ? 3 3

?

………8 分

当且仅当 ? ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,即 ? ? 2 k? ?

?
4

( k ? Z )时取等

………10 分

?
?
? b ? b? b ? ln ? 1? ? 0 ? 2? ?? 2? ? 2 ? ? ?

0
极大

?
?
………10 分

24.解: (Ⅰ )由柯西不等式得, (a ? b ? c)2 ? (12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? 3 ∴? 3 ? a ? b ? c ? 3 所以 a ? b ? c 的取值范围是 [? 3,

3]

………5 分 ………7 分

b b 又因为 h ?1? ? ?1, h e ? b ? e

? ? ?

?? b ? e ?
b

2 (Ⅱ )同理, (a ? b ? c)2 ? [12 ? (?1) ? 12 ](a2 ? b2 ? c2 ) ? 3

设 t ( x) ? e x ? x ( x ? ? 2e, ?? ? )

若不等式 | x ?1| ? x ? 1 ? (a ? b ? c) 对一切实数 a, b, c 恒成立,
2

t ' ( x) ? e x ? 1 ? 0
x b 所以 t ( x) 在 ? 2e, ?? ? 上单调递增, t ( x) ? t (2e) ? 0 ? e ? x ? h e ? 0

则 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,解集为 ( ??, ? ] ? [ , ?? )

3 2

3 2

………10 分

? ?

所以有两个交点 22. (Ⅰ )

………12 分

? ? ? ? ?AQC ? ?ACB ? PA为圆O切线 ? ?PAB ? ?ACB ? ? ? ?ACB ~ ?CQA ? AQ为圆O切线 ? ?QAC ? ?CBA ? ? AC AB ? ? AC 2 ? AB ? CQ CQ AC

AB / / CD ? ?PAB ? ?AQC

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