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高中平面几何讲义


高中平面几何
(上海 叶中豪)

焦点话题
1. 三角形中的巧合点 2. Simson 线及垂足三角形 3. 圆幂与根轴

例题和习题
1.已知 ABCD 是圆内接四边形,IA、IB、IC、ID 分别是△BCD、△ACD、△ABD、△ABC 的内心。求证:IAIBICID 是矩形。 (Fuhrmann 定理)<

br />A D IC IB

ID

IA

B

C

2.已知:△ABC 中,AB=AC,BE、CF 是高,H 是垂心,过 H 作 AB 的平行线交 AC 于 D,AH 延长交外接圆于 G 点。求证:DF⊥FG。
A

D

F H B G

E

C

3.已知△ABC 中,AB=AC,O、I 分别是△ABC 的外心和内心,点 D 在 AB 边上,且

OD⊥BI。求证:ID∥AC。
A

D

O

I

B

C

4.已知圆内接四边形 ABCD,有一半圆直径落在 BC 边上,且与 AB、CD、AD 都相切。 求证:AB+CD=BC。
D

A

B

O

C

5.在△ABC 左右两边上截取 BE=CF=BC,O 是△AEF 的外心,I 是△ABC 的内心。 求证:OI⊥BC。
A

O E F

I

B

C

6.已知:E、F 在△ABC 的 AB、AC 两边上,且 BE=CF=BC,I 是△ABC 的内心,S 是

△ABC 外接圆 BC 弧中点,T 是△AEF 外接圆 EF 弧中点。求证:SI=IT。
A

F E T

I

B S

C

7. 已知:△ABC ≌ △ADE,延长底边 BC,ED 交于 P 点, O 是△PCD 的外心。 求证:AO⊥BE。
A

B

E C D O

P

8.已知 D 是△ABC 的 BC 边上任一点,O、O1、O2 分别是△ABC、△ABD、△ACD 的外 心。求证:A、O、O1、O2 四点共圆。 (Salmon 定理)

A O1

O

O2

B

D

C

9.已知 ABCD 是梯形(AD∥BC) ,E 是腰 AB 上的动点,O1、O2 分别是△ADE、△BCE

的外心。求证:O1O2 的长度不随 E 点的运动而变化。
A D

E

O1

O2 B C

10.已知:点 D、E、F 分别在△ABC 的 BC、CA、AB 边上,O1、O2、O3 分别是△AEF、 △BFD、△CDE 的外心。求证:△O1O2O3∽△ABC。
A O1 E O2 B D O3 C

F

11.已知:AM 是△ABC 的中线,P 是△ABC 内一点,满足∠BAM=∠CAP,O、O1、O2 分别是△ABC、△ABP、△ACP 的外心。求证:AO 平分 O1O2。
A

O1 O2 O P

B

M

C

12.在△ABC 中,D 是 BC 边上一点,设 O1、O2 分别是△ABD、△ACD 的外心,O′
是经过 A、O1、O2 三点的圆之圆心。求证:O′D⊥BC 的充要条件是:AD 恰好经过△ABC 的九点圆心。
A

O' O2 O1 Ni

B

D

C

13.过矩形 ABCD 的顶点作一条直线,分别与 BA、BC 的延长线交于 E、F,点 O 是矩形的

中心,且 OE=OF。求证:

CF EA AD = = 。 AB CF EA

E

A

D

O B C F

14.已知 O 是△ABC 的外心,点 E、F 分别在 AB、BC 边上,L、M、N 分别是 EF、BF、CE 中点。求证:过 L、M、N 三点的圆与 EF 相切的充要条件是 OE=OF。
A E L F O M B N

C

15.设⊙O1 与⊙O2 交于 C、D,过 D 的直线交⊙O1 与⊙O2 于 A、B,点 P 在弧 AD 上, PD 与 AC 的延长线交于 M, Q 在弧 BD 上, QD 与 BC 的延长线交与 N, O 为△ABC 的外心。 求证:MN⊥OD 是 P、Q、M、N 四点共圆的充要条件。

N M C O1 D O2

A

P Q

B

O

16.已知 E、F 是△ABC 两边 AB、AC 的中点,CM、BN 是 AB、AC 边上的高,连线 EF、

MN 相交于 P 点。又设 O、H 分别是△ABC 的外心和垂心。联结 AP、OH。求证:AP⊥OH。
A

M E O N H B Q C L P F

17.已知 E,F 是∠AOB 内的两点,并且满足∠AOE=∠BOF。自 E,F 向 OA 作垂线, 垂足分别为 E1,F1;自 E、F 向 OB 作垂线,垂足分别为 E2,F2。连接 E1E2,F1F2,并设两线交 于点 P。求证:OP⊥EF。
O

F1

P E1

E2

F2 A E F B

18. 设△ABC 中,E、F 是 AC、AB 边上的任意点,O、O′分别是△ABC、△AEF 的外 心,P、Q 是 BE、CF 上的点,满足

BP FQ BF 2 = = 。求证:OO′⊥ PQ。 PE QC CE 2

A

O'

F O P Q E

B

C


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