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考纽蜷线的绘制


武汉理工大学《专业课程设计 4》课程设计说明书

目录
1 技术指标 .............................................................................................................................................

...............1 2 基本原理 ...........................................................................................................................................................1 2.1 惠更斯原理 ............................................................................................................................................1 2.2 惠更斯-菲涅尔原理................................................................................................................................2 2.3 菲涅耳衍射积分的推导 ........................................................................................................................4 3 建立模型描述 ...................................................................................................................................................4 3.1 菲涅耳积分模型 ....................................................................................................................................4 3.2 考纽曲线模型 ........................................................................................................................................5 4 模型组成模块功能描述(或程序注释) .............................................................................................................5 5 调试过程及结论 ...............................................................................................................................................8 5.1 调试过程 ................................................................................................................................................8 5.2 结论 ........................................................................................................................................................8 6 心得体会 ...........................................................................................................................................................9 7 参考文献 ...........................................................................................................................................................9

武汉理工大学《专业课程设计 4》课程设计说明书

菲涅耳积分的计算及考纽蜷线的绘制

1 技术指标
利用 Matlab(或 c 语言)计算矩孔的菲涅耳衍射积分值和绘制相应的考纽蜷线图。要求 (1)有用户任意输入矩孔参量 a、b (2)相应的 Matlab(或 c 语言)绘制的考纽蜷线。

2 基本原理
2.1 惠更斯原理
在研究波的传播时,总可以找到同位相各点的几何位置,这些点的轨迹是一个等相面, 叫做波面,惠更斯曾提出次波的假设来阐述波的传播现象,从而建立了惠更斯原理。惠更 斯原理可表述如下:任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源,各自发出球面次波; 在以后的任何时刻,所有这些次波波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面。 根据这个原理,可以从某一时刻已知的波面位置求出另一时刻波面的位置。

s' r=vt s
图1

s'

s

图 1 可以用来说明这个原理,图中 SS 是某一时刻( t ? 0 )的波面,箭头表示光的传 播方向,若光速为 ? ,为了求得另一时刻 ? 的波面的位置,可以把原波面上的每一点作为 次波源, 各点均发出次波, 经时间 ? 后, 次波传播的距离为 ? ? ?? , 于是各次波的包络面 S ' S ' 就是在时刻 ? 的波面,光的直线传播、反射、折射等都能以此来进行较好的解释。此外, 惠更斯原理还可解释晶体的双折射现象,但是,原始的惠更斯原理是十分粗糙的,用它不 能说明衍射的存在,更不能解释波的干涉和衍射现象,而且由惠更斯原理还会导致有倒退
1

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波的存在,而其实并不存在倒退波。 由于惠更斯原理的次波假设不涉及波的时空周期特性——波长,振幅和位相,因而不 能说明在障碍物边缘波的传播方向偏离直线的现象。事实上,光的衍射现象要细微得多。 例如还有明暗相间的条纹出现,表明各点的振幅大小不等,因此必须能够定量计算光所到 达的空间范围内任何一点的振幅,才能更精确地解释衍射现象。

2.2 惠更斯-菲涅尔原理
菲涅尔根据惠更斯的“次波”假设,补充了描述次波的基本特征——相位和振幅的定量表 示式,并增加了“次波相干叠加”的原理,使之发展为惠更斯-菲涅尔原理。这个原理的内 容表示如下:如图所示的波面 S 上每个面积元 dS 都可以看成新的波源,他们均发出次波。 波面前方空间某一点 P 的振动可以由 S 面上所有面积元所发出的次波在该点叠加后的合振 幅来表示。

ds

?
r r0
图2

Q S

p

面积元 dS 所发出的各次波的振幅和相位符合下列四个假设: (1)在波动理论中,波面是一个等相位面。因而可以认为 dS 面上各点所发出的所有次波 都有相同的初相位(可令φ =0) 。 (2)次波在 P 点处所引起的振动的振幅与 r 成反比。这相当于表明次波是球面波。 (3)从面积元 dS 所发出的次波在 P 处的振幅正比于 dS 的面积,而且与倾角θ 有关,θ 为
dS 的法线 n 与 dS 到 P 点的连线 r 之间的夹角, 即从 dS 发出的次波到达 P 点时的振幅随θ

的增大而减小。 (4)次波在 P 点处的相位,由光程Δ =nr 决定(φ =2π Δ ╱λ ). 根据以上的假设,可知面积元 dS 发出的次波在 P 点的合振动可表示为 K (? ) dSK (? ) dS ? cos( kr ? wt ) 或 dE =C cos(kr-wt) dS r r
2

(2-1)

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其中 K(θ )为随着θ 角增大而缓慢减小的函数,叫做倾斜因子,C 为比例系数。 如果波面上各点的振幅有一定的分布, 则面积元 dS 发出次波到达 P 点的振幅与该面积元上 的振幅成正比,若分布函数为 A(Q),则波面在 P 点产生的振动为
dE = c

K (? ) A(Q) cos( kr ? wt )dS r
K (? ) A(Q) cos( kr ? ?t )dS r

(2-2)

如果将波面 S 上所有面积元在 P 点的作用加起来, 即可求得波面 S 在 P 点所产生的合振动
E ? ? S dE ? C ?

(2-3)

上式称为菲涅尔衍射积分。一般说来,计算此积分式相当复杂的,但在波面关于通过 P 点的波面法线具有旋转对称性的情况下,这个积分就比较简单,并可用代数加法或矢量 加法来代替积分。

图 3 菲涅尔衍射

借助于惠更斯 -菲涅尔原理可以解释和描述光束通过各种形状的障碍物时所产生的衍 射现象。以下将讨论几种特殊形状的孔和障碍物所产生的衍射图样的光强分布,通常讨论 时,通常可以根据光源和考察点到障碍物的距离,把衍射现象分为两类。第一种是障碍物 到光源和考察点的距离都是有限的,或其中之一为有限的,称为菲涅尔衍射;又称近场衍 射;第二类是障碍物到光源和考察点的距离可认为是无限远的,即实际上使用的是平行光 束。这种衍射称为夫琅禾费衍射,又称远场衍射。

3

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2.3 菲涅耳衍射积分的推导
观察屏上孔径 ? 的菲涅耳衍射的复振幅分布为:
E(x, y) ? exp(ikz1 ) ik E ( x1, y1 ) exp{ [(x ? x1 ) 2 ? ( y ? y1 ) 2 ]}dx1dy1 ?? i?z1 2 z1

(2-4)

考虑单位振幅单色平面波垂直入射,且引入变量代换:

E(x1, y1) ?1

(2-5) (2-6)

u?

2 2 ( x ? x1 ),V ? ( y ? y1 ) ?z1 ?z1

考虑到直边衍射时孔径的边缘与 x 1 和 y 1 平行,上面积分可分解成两个有独立 积分限的形 式:
2 exp( ikz1 ) u2 ?u 2 i?v 2 E (u,v) ? exp( i ) du exp( )dv ?u1 ? 2i 2 2 v1

v

(2-7)

菲涅耳积分:

F ? ? exp(i
0

w

?x 2
2

)dx ? C ( w) ? iS ( w)

(2-8)

其中:

C(w) ? ? cos
0

w

?t 2
2

dt, S ( w) ? ? sin
0

w

?t 2
2

dt

(2-9)

这些积分不易以解析函数形式求出,通常它们的积分需要数值计算.根椐计算结果以 C (? ) 为 横坐标,以 S (? ) 为纵坐标画出的曲线就是科纽曲线. 同一个复数在复平面上可用一个矢量表示一样,菲涅耳积分也可用一个矢量表示。例如:

F(w1) ? ? exp(i
0

?

?x 2
2

)dx

(2-10)

3 建立模型描述
3.1 菲涅耳积分模型
C (? ) , S (? ) 与 ? 的关系为

4

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?

C (? ) ? ? cos(
0

?t 2
2

)dt

(2-11)

S (? ) ? ? sin (
0

?

?t 2
2

)dt

(2-12)

— ? , S (? ) — ? 的关系曲线,即菲涅耳积分随 ? 的变化曲线。 由此我们可以做出 C(?)

图 4 菲涅耳积分 C(?) , S( ? )

3.2 考纽曲线模型
同时我们可以 C(?) 为横坐标,以 S(?) 为纵坐标,将 ? 作为自变量得到考纽曲线。

图 5 考纽(A.Cornu)螺线

4 模型组成模块功能描述(或程序注释)
5

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clear; C=[0.0000,0.1000,0.1999,0.2994,0.3975,0.4932,0.5811,0.6597,0.7230,0.7648,0.7799,0.7638,0.7 154,0.6386,0.5431,0.4453,0.3655,0.3238,0.3336,0.3944,0.4882,0.5815,0.6363,0.6266,0.5550,0. 4574,0.3890,0.3925,0.4675,0.5624,0.6058,0.5616,0.4664,0.4058,0.4385,0.5326,0.5880,0.5420,0 .4481,0.4223,0.4984,0.5738,0.5418,0.4494,0.4383,0.5261,0.5673,0.4914,0.4338,0.5002,0.5637, 0.5450,0.4998,0.4553,0.4389,0.4610,0.5078,0.5490,0.5573,0.5269,0.4784,0.4456,0.4517,0.4926 ,0.5385,0.5551,0.5298,0.4819,0.4486,0.4566]; % C作为横轴的数据

S=[0.0000,0.0005,0.0042,0.0141,0.0334,0.0647,0.1105,0.1721,0.2493,0.3398,0.4383,0.5365,0.6 234,0.6863,0.7135,0.6975,0.6389,0.5492,0.4508,0.3734,0.3434,0.3743,0.4557,0.5531,0.6197,0. 6192,0.5500,0.4529,0.3915,0.4101,0.4963,0.5818,0.5933,0.5192,0.4296,0.4152,0.4923,0.5750,0 .5656,0.4752,0.4204,0.4758,0.5633,0.5540,0.4622,0.4342,0.5162,0.5672,0.4968,0.4350,0.4992, 0.5442,0.5624,0.5427,0.4969,0.4536,0.4405,0.4662,0.5140,0.5519,0.5537,0.5181,0.4700,0.4441 ,0.4595,0.5049,0.5461,0.5513,0.5163,0.4688]; a=pi; n=input('请输入节点个数'); sk=(6-(-6))/n; x(1:n+1)=0; y(1:n+1)=0; for i=1:n+1 s=-6+sk*(i-1); tk=s/(2*n); for j=1:2*n+1 t=0+tk*(j-1); x(i)=x(i)+cos(t^2*a*1/2)*tk; y(i)=y(i)+sin(t^2*a*1/2)*tk; end end sk1=-6:sk:6; Figure
6

%

S作为纵轴的数据

% C (? ), S (? ) 的极近似解算法

%再次绘图

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plot(sk1,x,'g:',sk1,y,'r:'); title(['红+表c-a; 绿o表s-a']); Figure plot(C,S,'*',-C,-S,'*');hold on; set(gca,'xtick',-0.8:0.1:0.8); set(gca,'ytick',-0.8:0.1:0.8); plot (x,y); title(['考纽螺线C为横轴,S为纵轴']);

% 输出 C (? ) ? ? , S (? ) ? ? 的关系曲线 %标注曲线的含义 %再次绘图 %在曲线上画点 %确定横轴的范围和间隔 %确定纵轴的范围和间隔 %输出 C (? ) 和 S (? ) 的曲线图 %标注曲线的含义

grid on; text(0.4923,0.0647,'0.5'); text(0.7799,0.4383,'1.0'); text(0.4453,0.6975,'1.5'); text(0.4882,0.3434,'2.0'); text(0.4574,0.6192,'2.5'); text(0.6058,0.4963,'3.0'); text(0.5326,0.4152,'3.5'); text(0.4984,0.4204,'4.0'); text(0.5261,0.4342,'4.5'); text(0.5637,0.4992,'5.0'); text(0.4784,0.5537,'5.5'); text(0.4995,0.4470,'6.0'); text(0.4816,0.5454,'6.5'); text(-0.4923,-0.0647,'-0.5'); text(-0.7799,-0.4383,'-1.0'); text(-0.4453,-0.6975,'-1.5'); text(-0.4882,-0.3434,'-2.0'); text(-0.4574,-0.6192,'-2.5'); text(-0.6058,-0.4963,'-3.0');
7

%画网格 %给取值的点加标注

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text(-0.5326,-0.4152,'-3.5'); text(-0.4984,-0.4204,'-4.0'); text(-0.5261,-0.4342,'-4.5'); text(-0.5637,-0.4992,'-5.0'); text(-0.4784,-0.5537,'-5.5'); text(-0.4995,-0.4470,'-6.0'); text(-0.4816,-0.5454,'-6.5');

5 调试过程及结论
5.1 调试过程
在 M 文件中编好程序后,点 Debug 按钮可调试运行程序,运行结果在 Command Windows 窗口中查看。 将上面的程序放到 matlab 中运行,由于有两个绘图指令,我们可以让 matlab 输出两张 图片,分别为菲涅耳积分 C(?) , S( ? ) ,和考纽曲线图片。在绘制考纽曲线图片时,运 用了重复画图,将 ? 取不同值的点打在了曲线上,这样就使得实验结果更加简单明了。最 后经过不断的修改与调试,我们画出了正确的菲涅耳积分 C(?) , S( ? ) 图以及考纽曲线 图。

5.2 结论
由图 4 我们可以得出以下结论:C(?) 的幅值在 ? ? 0 附近振荡非常剧烈,当 ? ? 0 时, 随着 ? 值的增加,C(?) 逐渐稳定,最后趋向于 0.5,当 ? ? 0 时,其曲线与 ? ? 0 的关系曲 线关于坐标原点成中心对称; S(?) 与 C(?) 的性质基本一样。 由图 5 我们可以得出下结论:当 ? ? 0 时,随着 ? 值的增加,S (? ) ? C (? ) 的关系曲线构
(0.5,0.5) 成一个不断旋转缩小的螺旋线,最后其中心不断靠近 坐标点,这也使得图 4 的关

系曲线得到了进一步的印证,同理,当 ? ? 0 时,其曲线与 ? ? 0 的关系曲线关于坐标原点 成中心对称。另外,由公式(7)可知,曲线上两点之间的线段长度表示的就是这两点之
(0,0) (0,0) 间的光强之差,如果以 点为其中的原点,且取 ? ? 0 ,连接 于曲线上的另一点,

我们会发现随着 ? 值的增加,线段的长度会先增加再减少,之后会又增加再减少。 。 。 。 。 。 由此我们可以得到以下结论:随着矩孔的边长不断增加,在观察屏上的某一点的光强会不 断的有规则的变化,由此可以得到矩孔尺寸和衍射光强的关系。
8

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6 心得体会
通过本次试验,我们在对菲涅耳衍射的基本性质有了一定的了解的前提下,通过菲涅
— ? 和 S(?) — ? 的关系曲线,由此 耳积分来求得衍射屏上的光强特性,最后作出 C(?) — C(?) 我们得出衍射屏上某一方向上的光强随着 ? 的值的改变规律;同理,作出 S(?)

的关系曲线,得出衍射屏上总光强随 ? 的变化规律。通过这两条曲线的绘制,我们掌握了 菲涅耳衍射的基本原理,了解了影响其衍射结果的各种因素;同时定量的知道了光强随矩 形长度的变化规律和最后的一般解。 在这次实验中,我们运用以前学过的 matlab 软件来制图,以前学习这款软件的时候会 遇到很多不会的问题,但一直苦苦找不到解决方法,在这次的绘制菲涅耳积分图形的过程 中,我们小组的同学一起讨论,互相帮助,请教老师,使我们学到了很多新的 matlab 的用 法以及注意要点, 这将使得我们能在以后的工作与学习生活中更加熟练的运用 matlab 软件 进行相关的工作。 最后还要感谢范希智老师在物理光学和刘子龙老师在 Matlab 方面提供的帮助。

7 参考文献
[1]、 谢敬辉、 赵达尊、 阎吉祥编著. 物理光学教程[M] 北京, 北京理工大学出版社, 2005.1: 219-224 [2]、 季家镕编著. 高等物理光学——光学的电磁基本电磁理论[M] 北京, 北京科学出版社, 2007.10:206-220 [3]马科斯·波恩,光学原理.第七版.2009.10 ISBN 7121095149/9787121095146 [4]付永发,介绍一种菲涅耳园孔衍射测定光波波长的方法.大学物理.1995.8 [5]朱振,经历 300 年以后,惠更斯原理被修正.物理.1993.7. [6]蔡覆中,王成彦,周玉芳.光学.山东大学出版社.2002.4 ISBN 7-5607-0695-9

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